正态分布及其经典习题和答案.docx
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正态分布及其经典习题和答案
专题：
正态分布
【知识网络】
1取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；
2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；
3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】
例1:
（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44,则二项分布的参数n,p的值为（）
A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1
答案：
B。
解析：
EXnp2.4,VXnp（1p）1.44。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为（）。
A95%B.50%C.97.5%D.不能确定（与标准差的大小有关）答案：
B。
解析：
由正态曲线的特点知。
中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格
（I）求甲答对试题数E的概率分布及数学期望；
（H）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率
因为事件A、B相互独立,
方法一:
方法二:
•••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为
（2）EX10.320.130.62.3,EY10.320.430.32
DX0.855,DY0.6
【课内练习】
1.标准正态分布的均数与标准差分别为（A0与1B•1与0C•0与0D答案：
A。
解析：
由标准正态分布的定义知。
2.
相应的正态曲线的形状越扁平。
•越小
正态分布有两个参数与，（）
A越大B•越小C•越大D
答案：
C。
解析：
由正态密度曲线图象的特征知。
（X）
22,
B•C•D•（
C。
解析：
由方差的统计定义知。
8•有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:
甲单位
1200
1400
1600
1800
概率1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位
1000
1400
1800
2200
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。
答案：
由于E（甲）=E（乙）,V（甲）＜V（乙），故选择甲单位。
解析：
E（甲）=E（乙）=1400,V（甲）=40000,V（乙）=160000。
摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为）,求抽奖人获利的数学期望。
答案：
解：
因为
c28门
16
“1
162
18
26
10——
45
45
45
45
5
7-5
5
18_5
5
E
5）
/V
E
E
为抽到的2球的钱数之和，则可能取的值为2,6,10.
故，抽奖人获利的期望为-7。
5
10•甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求解出该题的人数的数学期望和方差•
答案：
解：
（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1,
乙为P2.
则P
（A）
=P=0.6,P（B）=P2
P（A
B）
1P（AB）1
（1R）（1P2）P1P2
P1P20.92
0.6
P2
0.6P20.92
则0.4
F2
0.32即P20.8
（6分）
⑵P（
0）P（A）P（B）
0.40.20.08
P（
1）
P（A）P（B）P（A）P（B）0.60.20.4
0.80.44
P（
2）
P（A）P（B）0.6
0.80.48
的概率分布为
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E00.0810.4420.480.440.961.4,
222
V（）（01.4）0.08（11.4）0.44（21.4）0.480.15680.07040.17280.4,
或利用V（）E
（2）（E）22.361.960.4。
【作业本】
A组
1袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于
D、4.75
（）
A.奇函数B.偶函数
答案：
B。
解析：
f（x）
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
C、4.5
A、4B、5
答案：
C。
解析：
X的分布列为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。
2.下列函数是正态分布密度函数的是
4.
x时达到最高点。
已知正态总体落在区间0.2,的概率是0.5,那么相应的正态曲线在
答案：
0.2。
解析：
正态曲线关于直线x对称，由题意知0.2。
5.一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选
错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望
为；方差为。
答案：
84;75.6。
解析：
设X为该生选对试题个数，n为成绩，则X〜B（50,0.7）,n=3X/•E（X）=40X0.7=28
V（X）=40X0.7X0.3=8.4
故E（n）=E（3X）=3E（X）=84V（n）=V（3X）=9V（X）=75.6
6•某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试
验，若此人每次试验成功的概率为-，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。
3
10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们
4
独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=,Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的
3
分布列及期望
42
答案：
解：
由已知可得X~B（2,s），故EX2s-,所以s-.
33
有Y的取值可以是0,1,2.
所以Y的分布列是
Y
1
2
3
r13
1
5
P
36
2
36
7所以Y的期望是E（Y）二一。
9
&一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回
10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花
费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8,若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售
60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.
（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率
（2）求开发商盈利的最大期望值
答案：
解：
（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功”软件成功开发且成功在发布会上发布的概
（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是巳
召开新闻发布会盈利的期望值是
E240（10.9）（10050）0.720.9（1
故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是
40（10.9）（755C）0.9185（万元）；
0.8）（6050）100.924.8（万元）
24.8万元..
率是P（AB）=P（A）P（B）=0.72.
B组
1某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是（）
A、0.5B、0.475C、0.05D、2.5
答案：
B。
解析：
X—B（10，0.05），V（X）100.050.950.475。
2
1
2.若正态分布密度函数f（x）_e2,（xR），下列判断正确的是（
J2
3•在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布（100,36），那么考试成绩在区间88,112内的概率是
（）
A.0.6826B.0.3174C.0.9544D.0.9974
答案：
C。
解析：
由已知X—N（100,36）,
88100112100故P（88X112）P（Z）P（2Z2）2P（Z2）10.9544。
66
4.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1
分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=;V（X）=.
14165
答案：
；165。
解析：
由题意知，X可取值是0,1,2,3,4。
易得其概率分布如下:
9162
X
0
1
2
3
4
P
1
1
11
1
1:
—
—
—
6
3
36
6
36
1
1
一11
C1,
1
14
E（X）=0
X-+1X
+2X
—
+3X+4X
=
6
3
36
6
36
9
21
/2
1
2112
1
2
1
14
2
165
V（X）=
0X+
1
X_
+2
X+3X
+
4X
—
6
3
36
6
36
9
162
注：
要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数
X的分布列。
x22
6•—本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。
1111
解：
•••X—B（100,）,E（X）1000.2,V（X）100
（1）0.1996
500500500500
X的标准差.V（X）0.04468。
7.某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使用情况
如下表所示：
电话同时打入次数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
概率
0.13
0.35
0.27
0.14
0.08
0.02
0.01
0
0
0
0
若这段时间内，公司只安排2位接线员（一个接线员只能接一部电话）
（1）求至少一路电话号不能一次接通的概率；
（2）在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”；
（3）求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X的数学期望.
答案：
解：
（1）只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是
1-0
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