正态分布及其经典习题和答案.docx

1、正态分布及其经典习题和答案专题：正态分布【知识网络】1取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】例1 :( 1)已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)=2.4，V( X)=1.44,则二项分布的参数 n, p的值为 ( )A . n=4, p=0.6 B . n=6,p=0.4 C. n=8, p=0.3 D. n=24, p=0.1答案：B。解析：EX np 2.4 , V X n p(1 p) 1.44。(2)

2、正态曲线下、横轴上，从均数到 的面积为( ) 。A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案：B。解析：由正态曲线的特点知。中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格(I) 求甲答对试题数E的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率因为事件A、B相互独立,方法一:方法二:甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2DX 0.855, DY 0.6【课内练习】1. 标准正态分布的均数与标准差分别

3、为 （ A 0 与 1 B 1 与 0 C 0 与 0 D 答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2. 相应的正态曲线的形状越扁平。 越小 正态分布有两个参数 与，（）A 越大 B 越小 C 越大 D答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。(X)2 2 ,B C D （C。解析：由方差的统计定义知。8有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:甲单位1200140016001800概率10.40.30.20.1乙单位1000140018002200概率0.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。 答案：由于E （甲）=E （乙

4、）,V （甲）V （乙），故选择甲单位。解析：E （甲）=E （乙）=1400, V （甲）=40000, V （乙）=160000。摸奖者只能从中任取 2个球，他所得奖励是所抽 2球的钱数之和(设为 ),求抽奖人获利的数学期望。答案：解：因为c 28门16“ 1162182 6104545454557 - 5518_55E5)/VEE为抽到的2球的钱数之和，则 可能取的值为2, 6, 10.故，抽奖人获利的期望为-7。510甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92.(1) 求该题被乙独立解出的概率；(2) 求解出该题的人数 的数学期望和

5、方差答案：解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B.设甲独立解出此题的概率为 P1,乙为P2.则P(A)=P=0.6, P(B)=P 2P(AB)1 P(A B) 1(1 R)(1 P2) P1 P2P1P2 0.920.6P20.6 P2 0.92则0.4F20.32 即 P2 0.8(6分)P(0) P(A) P(B)0.4 0.2 0.08P(1)P( A) P(B) P(A)P(B) 0.6 0.2 0.40.8 0.44P(2)P(A) P(B) 0.60.8 0.48的概率分布为012P0.080.440.48E 0 0.08 1 0.44 2 0.48 0.44 0.96

6、 1.4,2 2 2V( ) (0 1.4) 0.08 (1 1.4) 0.44 (2 1.4) 0.48 0.1568 0.0704 0.1728 0.4 ,或利用 V( ) E( 2) (E )2 2.36 1.96 0.4。【作业本】A组1袋中装有5只球，编号为1 , 2, 3, 4, 5,从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则 E (X)等于D、4.75( )A .奇函数 B .偶函数答案：B。解析：f(x)C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数C、4.5A、4 B、5答案：C。解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故 E (X) =3 0.1+4 0.3+5 0.6

7、=4.5。2.下列函数是正态分布密度函数的是4. x 时达到最高点。已知正态总体落在区间 0.2, 的概率是0. 5,那么相应的正态曲线在答案：0.2。解析：正态曲线关于直线 x 对称，由题意知 0.2。5. 一次英语测验由40道选择题构成，每道有 4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得 3分，选错或不选均不得分，满分 120分，某学生选对一道题的概率为 0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。答案：84; 75.6。解析：设X为该生选对试题个数，n为成绩，则XB( 50 , 0.7), n =3X / E(X)=40 X 0.7=28V(X)=40 X 0.7X 0.3

8、=8.4故 E( n )=E(3X)=3E(X)=84 V( n )=V(3X)=9V(X)=75.66某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 -，求此人试验次数 X的分布列及期望和方差。310环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s,若他们4独立的射击两次，设乙命中 10环的次数为X，则EX= , Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的3分布列及期望4 2答案：解：由已知可得 X B(2,s)，故EX 2s -,所以s -.3 3有Y的取值可以是0, 1 , 2.所以Y的分布列是Y123r 1

9、315P362367 所以Y的期望是E（ Y）二一。9&一软件开发商开发一种新的软件，投资 50万元，开发成功的概率为 0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为 0.8,若发布成功则可以销售 100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售 75万元.（1） 求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率（2） 求开发商盈利的最大期望值答案：解：（1）设A= “软件开发成功” ，B= “新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概（

10、2）不召开新闻发布会盈利的期望值是 巳召开新闻发布会盈利的期望值是E2 40 （1 0.9） （100 50） 0.72 0.9 （1故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是40 (1 0.9) (75 5C) 0.9 185(万元)；0.8) (60 50) 10 0.9 24.8 (万元)24.8万元.率是 P（AB）=P（A）P（B）=0.72.B组1某产品的废品率为 0.05，从中取出10个产品，其中的次品数 X的方差是 ()A、0.5 B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：X B( 10，0.05)，V(X) 10 0.05 0.95 0.475。212.若正

11、态分布密度函数 f(x) _e 2 ,(x R)，下列判断正确的是 (J23在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布 (100,36)，那么考试成绩在区间 88,112内的概率是()A. 0. 6826 B. 0. 3174 C. 0. 9544 D. 0. 9974答案：C。解析：由已知 X N (100, 36),88 100 112 100 故 P(88 X 112) P( Z ) P( 2 Z 2) 2P(Z 2) 1 0.9544。6 64 .袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取 2个球，每取到一个黑球得 0分，每取到一个白球得 1分，若取到一个红球则得 2分，用X表示得分数

12、，则 E (X ) = ; V(X)= .14 165答案： ；165。解析：由题意知，X可取值是0, 1 , 2, 3, 4。易得其概率分布如下:9 162X01234P111111 :633663611一 11C 1 ,114E(X)=0X - +1 X+ 2X+ 3 X + 4 X= 633663692 1/ 212 11 21,21142165V(X)=0 X +1X _+ 2X + 3 X+4 X 63366369162注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。x 2 26本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数 X的均值、标准差。1

13、1 1 1解： X B(100, ), E(X) 100 0.2,V(X) 100 (1 ) 0.1996500 500 500 500X 的标准差 .V(X) 0.04468。7.某公司咨询热线电话共有 10路外线，经长期统计发现，在 8点至10点这段时间内，外线同时使用情况如下表所示：电话同时打入次数012345678910X概率0.130.350.270.140.080.020.010000若这段时间内，公司只安排 2位接线员(一个接线员只能接一部电话)(1) 求至少一路电话号不能一次接通的概率；(2) 在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损 害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；(3) 求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数 X的数学期望.答案：解：(1)只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是1-0