中考数学压轴题及解析分类汇编.docx
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中考数学压轴题及解析分类汇编
20XX年中考数学压轴题及解析分类汇编
2013中考数学压轴题:
函数相似三角形问题
（一）
例1直线1后yx1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°3
得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．
（1）写出点A、B、C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；
（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，
△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨
1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．
2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．
3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．
4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．
满分解答
（1）A（3，0），B（0，1），C（0，3），D（－1，0）．
（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（3，0）、C（0，3）、D（－1，0）三点，所以9a3bc0,a1,解得c3,b2,
abc0.c3.
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，顶点G的坐标为（1，4）．
（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．
因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．
因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为（x，3x＋1），
那么BQ．Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：
①当BQ
33．解得x3．所以Q1（3,10），Q2（3,8）．BA②当BQ
11．解得x1．所以Q3（1,2），Q4（1,0）．
BA33333
图2图3
考点伸展
第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：
一是用旋转的性质说明AB⊥BG；
二是BQ．
我们换个思路解答第（3）题：
如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N．
通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°．在Rt△BGH
中，sin1
cos1①当BQ
3时，BQBA
在Rt△BQN中，QNBQsin13，BNBQcos19．
当Q在B上方时，Q1（3,10）；当Q在B下方时，Q2（3,8）．②当BQ
1时，BQQ3（1,2），Q4（1,0）．BA333
例2
Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数yk（k0）在第一象限x
内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠A＝1时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；2
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在
（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP相似存在两种情况．
思路点拨
1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．
2．第
（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．
3．如果△AEO与△EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答
（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数yk的图像上，所以x
4mk,整理，得n＝2m．2nk.
（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝1，EH＝2，所以BH＝1．因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）．2
已知△BDE的面积为2，所以11解得m＝1．因此D（4，BDEH（m1）22．22
k的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解x1），E（2，2），B（4，3）．因为点D（4，1）在反比例函数y
析式为y4．x
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B（4，3）、E（2，2），得4k,b31解得k，2k.b22
b1．
因此直线AB的函数解析式为y1x1．
2
图2图3图4
（3）如图3，因为直线y1x1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，2
1），所以FD//x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：
①如图3，当EAEF．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．
AOFP
EAFP．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．
AOEF②如图4，当
考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：
第
（1）题的结论m与n的数量关系不变．第
（2）题反比例函数的解析式为y
直线AB为y12，x1x7．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．
2
图5
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题
（二）
例3
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．
思路点拨
1．第
（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：
直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．
满分解答
111
（1）抛物线的对称轴为直线x1，解析式为yx2x，顶点为M（1，）．848
2（x11x21）3（x1x2）6，由此得到2
s12111x1x22．由于y2y13，所以y2y1x2x2x12x13．整理，得38484
（2）梯形O1A1B1C1的面积S
1721．（x2x1）（x2x1）3．因此得到x2x14S8
x2x114,x16,解得此时点A1的坐标为（6，3）．x2x12.x28.当S=36时，
（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．
在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于tanGAFDQt33t20，tanPQD，所以．解得t．QP5t445t7
图3图4
考点伸展
第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？
如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
例4
如图1，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线ymx22mxn上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形AA′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况．
思路点拨
1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第
（1）题用在待定系数法中；第
（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长．
2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．
3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．
满分解答
（1）因为点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线ymx22mxn上，所以
44m4mn4,解得，n4．m3m2mn0.
（2）如图2，由点A（-2，4）和点B（1，0），可得AB＝5．因为四边形AA′B′B为菱形，所以AA′＝B′B＝AB＝5．因为y4284162xx4x1，所以3333原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4．因此平移后的抛物线的解析式为y,4x4216．
33
图2
（3）由点A（-2，4）和点B′（6，0），可得AB
′＝
如图2，由AM//CN，可得2B’NB’C，即
．解得B’C
8B’MB’A
ACABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．
ABB’C，解得B’D3．此时OD＝3，点D的
ACB’DB’D①如图3，当
坐标为（3，0）．
②如图4，当ABB’D513，解得B’D．此时OD＝，点D
ACB’C33的坐标为（13，0）．
3
图3图4
考点伸展
在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△ABB′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．
我们也可以讨论△B′CD与△CBB′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．
2013中考数学压轴题函数相似三角形问题（三）
例5
如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第（3）题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为
1ya（x1）（x4），代入点C的坐标（0，－2），解得a．所以抛物线的解析2
115式为y（x1）（x4）x2x2．222
（2）设点P的坐标为（x,（x1）（x4））．1
2
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM（x1）（x4），AM4x．1
2
1（x1）（x4）AMAO如果2，那么2．解得x5不合题意．PMCO4x
1（x1）（x4）AMAO11如果，那么．解得x2．PMCO24x2
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM1（x1）（x4），AMx4．2
1（x1）（x4）
解方程2，得x5．此时点P的坐标为（5,2）．x4
1（x1）（x4）1解方程，得x2不合题意．x42
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM1（x1）（x4），AM4x．2
1（x1）（x4）
解方程2，得x3．此时点P的坐标为（3,14）．4x
1（x1）（x4）1解方程，得x0．此时点P与点O重合，不合题意．4x2
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或（3,14）或（5,2）．
图2图3图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y1x2．2
125mm2），点E22
11511的坐标为（m,m2）．所以DE（m2m2）（m2）m22m．22222设点D的横坐标为m（1m4），那么点D的坐标为（m,
因此SDAC112（m2m）4m24m（m2）24．22
当m2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）（1m4），那么
S
由于n111（2n2）4m（n2）n（4m）m2n4．222125mm2，所以Sm24m．22
例6
如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝
点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．
（1）若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
（3）当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？
若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
3．D为射线BA上的点（点D不与10
图1备用图备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第
（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．
双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．
2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第
（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．
3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．
4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．
满分解答
（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝所以AH＝AH3，AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．22
因为DE//BC，所以ABAC5，即53．于是得到yx，（x0）．DBEC3yx
DEAEMNAN，，即DE|3x|，BCACBCAC53
（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以
1|3x|MN．因此DE5|3x|，圆心距MN5|6x|．
3653
图2图3图4
在⊙M中，rM11511BDyx，在⊙N中，rNCEx．22622
①当两圆外切时，5130xx5|6x|．解得x或者x10．62136
30，此时DE5（3x）15．13313如图5，符合题意的解为x②当两圆图6图7
（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．
如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．
如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时BF125．
34
图8图9图10图11
考点伸展
第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形．
例7
如图1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）．平移二次函数ytx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：
①顶点为Q；②与x轴相交于B、C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B．
（1）是否存在这样的抛物线F，使得OAOBOC？
请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO＝23，求抛物线F对应的二次函数的解析式．
2
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A在y轴上运动，可以体验到，AQ与BC保持平行，OA∶OB与OA∶OB′保持3∶2．
双击按钮“t＝3”，“t＝0．6”，“t＝－0．6”，“t＝－3”，抛物线正好经过点B（或B′）．
思路点拨
1．数形结合思想，把OAOBOC转化为t2x1x2．
2．如果AQ∥BC，那么以OA、AQ为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t＝b．
3．分类讨论tan∠ABO＝23，按照A、B、C的位置关系分为四种情况．A在y轴正2
半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；A在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况．
满分解答
（1）因为平移ytx2的图象得到的抛物线F的顶点为Q（t，b），所以抛物线F对应的解析式为yt（xt）2b．
因为抛物线与x轴有两个交点，因此tb0．
令y0，得OBtb，OCttb．t
所以|OB||OC||（tb）（ttbb）||t2|t2OA2．即tt
t2bt2．所以当b2t3时，存在抛物线F使得|OA|2|OB||OC|．t
（2）因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为yt（xt）2t．解得
x1t1,x2t1．
①当t0时，由|OB||OC|，得B（t1,0）．
如图2，当t10时，由tanABO
数的解析式为y3x218x24．t3|OA|，解得t3．此时二次函2|OB|t1
如图3，当t10时，由tanABO
函数的解析式为yt3|OA|3，解得t．此时二次2|OB|t15321848．
x＋x＋525125
图2图3
②如图4，如图5，当t0时，由|OB||OC|，将t代t,可得t时二次函数的解析式为y3，t3．此53218x＋x－48或y3x218x24．
525125
图4图5
考点伸展
第
（2）题还可以这样分类讨论：
因为AQ//BC，所以t＝b，于是抛物线F为yt（xt）2t．由tanABOOA32，得OBOA．OB23
①把B（t,0）代入yt（xt）2t，得t3（如图2，图5）．②把B（t,0）代入yt（xt）2t，得t（如图3，图4）．
232335
2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题
（一）
例1
如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点
D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第（3）题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第
（2）题”可以切换．
思路点拨
1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．
2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．
3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？
Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．
满分解答
（1）因为PC//DB，所以CPPMMC1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所BDDMMB
以AD＝4－m．于是得到点D的坐标为（2，4－m）．
（2）在△APD中，AD2（4m）2，AP2m2
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