高三第一轮复习 离散型随机变量分布列期望及方差.docx

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高三第一轮复习离散型随机变量分布列期望及方差

离散型随机变量，分布列，期望及方差

【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）

主干知识归纳

1.随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫作；所有取值可以一一列出，这样的随机变量叫作.

2.若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xn，X取每个值xi（i＝1,2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi，则称表

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

为随机变量X的概率分布列，简称为X的.

3.离散型随机变量的两个性质：

①；

②.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率.

4．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的概率分布为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

（1）均值：

称EX＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的.

（2）方差：

称DX＝为X的方差，叫作随机变量X的，记作.方差和标准差，它刻画了随机变量X与其均值EX的.

（3）离散型随机变量的期望与方差的性质

E（aX＋b）＝（其中a，b为常数）；

D（aX＋b）＝（其中a，b为常数）．

方法规律总结

1.求离散型随机变量的分布列常见类型有：

类型1：

由统计数据得到离散型随机变量的分布列；

类型2：

用古典概型求出离散型随机变量的分布列；

类型3：

由互斥事件、独立事件等的概率求出离散型随机变量的分布列．

2.分布列求解，一般步骤如下：

第一步，确定X的所有可能取值xi（i＝1,2,3，…），并明确每一个取值的代表意义；

第二步，求出相应的概率P（X＝xi）＝pi（i＝1,2,3，…）；

第三步，列出分布列；

第四步，根据需要求期望、方差等．

【指点迷津】

【类型一】离散型随机变量的均值（数学期望）

【例1】：

某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

【解析】：

（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则P（A）＝××＝.

（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.

又P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××1＝，

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

所以E（X）＝1×＋2×＋3×＝.

答案：

.

【例2】：

已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：

元），求X的分布列和均值（数学期望）

【解析】：

（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P（A）＝＝.

（2）X的可能取值为200,300,400.

P（X＝200）＝＝，P（X＝300）＝＝，

P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－－＝.

故X的分布列为

X

200

300

400

P

EX＝200×＋300×＋400×＝350.

答案：

350.

【类型二】离散型随机变量的方差

【例1】：

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励．规定：

每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求顾客所获的奖励额X的分布列及数学期望．

（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

【解析】：

（1）依题意，得X的所有可能取值为20，60.

P（X＝20）＝＝，P（X＝60）＝＝，

故X的分布列为

X

20

60

P

所以顾客所获的奖励额的数学期望

E（X）＝20×＋60×＝40.

（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元．易知可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为

X1

20

60

100

P

因此X1的期望E（X1）＝20×＋60×＋100×＝60，

X1的方差D（X1）＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝.

对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为

X2

40

60

80

P

因此X2的期望E（X2）＝40×＋60×＋80×＝60，

X2的方差D（X2）＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.

答案：

（1）40.

（2）应该选择方案2.

【例2】：

某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，各点被堵塞的概率分别为，.

（1）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个堵塞的概率；

（2）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望E（X），并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准选择一条抢险路线，并说明理由．

【解析】：

（1）设“L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个堵塞”为事件A，

则P（A）＝C30×1－3＋C31××1－2＝.

（2）依题意，X的可能取值为0，1，2.

P（X＝0）＝1－×1－＝，P（X＝1）＝×1－＋1－×＝，

P（X＝2）＝×＝，

所以随机变量X的分布列为

X

0

1

2

P

故E（X）＝0×＋1×＋2×＝.

方法一：

设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3.

P（Y＝0）＝C30×1－3＝，P（Y＝1）＝C31××1－2＝，

P（Y＝2）＝C32×2×1－＝，P（Y＝3）＝C33×3＝.

所以随机变量Y的分布列为

Y

0

1

2

3

P

故E（Y）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

因为E（X）

方法二：

设L1巷道中堵塞点个数为ξ，则随机变量ξ～B3，，

所以E（ξ）＝3×＝.

因为E（X）

答案：

（1）.

（2）选择L2巷道为抢险路线较好.

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

1．选择题

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

则X的数学期望EX＝（）

A.B．2C.D．3

【解析】：

EX＝1¡Á＋2¡Á＋3¡Á＝.

答案：

.

2.已知随机变量ξ的分布列如下表所示

ξ

1

3

5

P

0.4

0.1

x

则ξ的标准差为（）

A.3.56B.C.3.2D.

【解析】：

因为x＋0.4＋0.1＝1，所以x＝0.5，所以Eξ＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，

所以Dξ＝2.22¡Á0.4＋0.22¡Á0.1＋1.82¡Á0.5＝3.56，所以标准差为¦Ò¦Î＝.

答案：

B.

3.若离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

P

则X的数学期望E（X）＝（　　）

A．2B．2或C.D．1

【解析】：

由离散型随机变量X的分布列知＋＝1，解得a＝1（舍去负值），所以E（X）＝0¡Á＋1¡Á＝.

答案：

C.

4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E（ξ）为（　　）

A.B.C.D.

【解析】：

依题意知，ξ的所有可能的取值为2，4，6.

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.

若一轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，本轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝×＝，P（ξ＝6）＝×1＝，

故E（ξ）＝2¡Á＋4¡Á＋6¡Á＝.

答案：

B.

5.已知随机变量ξ的分布列，其中α¡Ê，则E（ξ）＝（　　）

ξ

－1

0

2

P

cosα

A.2cosα＋sinαB．cosα＋sinαC．0D．1

【解析】：

由随机变量的分布列的性质，得＋＋cosα＝1，即sinα＋2cosα＝2，则由得5cos2α－8cosα＋3＝0，解得cosα＝或cosα＝1（舍），则sinα＝，故E（ξ）＝－＋2cosα＝－×＋2¡Á＝1

答案：

D．

二．填空题

6.若离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

P

9c2－c

3－8c

则常数c＝.

【解析】：

由离散型分布列的性质可知：

解得c＝.

答案：

.

7.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是.

【解析】：

EX＝1¡Á0.7＋0¡Á0.3＝0.7.

8.从装有3个红球，3个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为

ξ

0

1

2

P

答案：

;;.

三．解答题

9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

（1）设A为事件¡°选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会¡±，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

【解析】：

（1）由已知，有P（A）＝＝.所以事件A发生的概率为.

（1）.

（2）

（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）．

所以随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

随机变量X的数学期望E（X）＝1¡Á＋2¡Á＋3¡Á＋4¡Á＝.

答案：

（1）.

（2）.

10.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：

元），求X的分布列和均值（数学期望）．

【解析】：

（1）记¡°第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品¡±为事件A，则P（A）＝＝.

（2）X的可能取值为200，300，400.P（X＝200）＝＝，P（X＝300）＝＝，

P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－－＝.

故X的分布列为

X

200

300

400

P

E（X）＝200¡Á＋300¡Á＋400¡Á＝350.

答案：

（1）.

（2）350.

【二级目标】能力提升题组

一．选择题

1．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c，且a，b，c¡Ê[0，1）．若已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为（　　）

A.B.C.D．0

【解析】：

依题意可知a＋b＋c＝1，10¡Áa＋9¡Áb＋0¡Ác＝9，即＋b＝1，所以＋＋b＝＋＋＋≥，当且仅当a＝9b，即a＝，b＝时取等号，此时c＝.

答案：

A.

2．设10¡Üx1

A．D（ξ1）＞D（ξ2）B．D（ξ1）＝D（ξ2）

C．D（ξ1）＜D（ξ2）D．D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

【解析】：

由题意可知E（ξ1）＝（x1＋x2＋x3＋x4＋x5），

E（ξ2）＝＝（x1＋x2＋x3＋x4＋x5），则E（ξ1）＝E（ξ2），且不妨设E（ξ1）＝E（ξ2）＝m，则D（ξ1）＝[（x1－m）2＋¡＋（x5－m）2]，D（ξ2）＝，

又10¡Üx1

答案：

A．

2．填空题

3.某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30道题，答对一题得5分，答错或不回答得0分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖．有一选手答对任一题的概率都是0.8，则该选手最可能拿到________等奖

【解析】：

由题意知该选手答对题的个数X～B（30，0.8），所以E（X）＝30¡Á0.8＝24，又24¡Á5＝120，所以最可能拿到二等奖.

答案：

二等奖.

三．解答题

4.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：

t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：

元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（1）将T表示为X的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：

若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望．

【解析】：

（1）当X∈[100,130）时，

T＝500X－300（130－X）＝800X－39000.

当X∈[130,150]时，

T＝500×130＝65000.

所以T＝

（2）由

（1）知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

（3）依题意可得T的分布列为

T

45000

53000

61000

65000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

所以E（T）＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.

答案：

（1）T＝

（2）0.7.（3）59400.

【高考链接】

1.（2013·新课标卷Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：

先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：

元），求X的分布列及数学期望．

【解析】：

（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E＝（AC）∪（BD），且AC与BD互斥，

所以P（E）＝P（AC）＋P（BD）＝P（A）P（C|A）＋P（B）P（D|B）＝C（）3××（）4＋（）4×＝.

（2）X的可能取值为400,500,800，并且P（X＝400）＝1－C（）3×－（）4＝，

P（X＝500）＝，P（X＝800）＝C（）3×＝.

所以X的分布列为

X

400

500

800

P

EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.

答案：

（1）.

（2）X的分布列为

X

400

500

800

P

EX＝400×＋500×＋800×＝506.25.

2.[2015·陕西卷]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

T（分钟）

25

30

35

40

频数（次）

20

30

40

10

（1）求T的分布列与数学期望ET；

（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

【解析】：

（1）由统计结果可得T的频率分布为

T（分钟）

25

30

35

40

频率

0.2

0.3

0.4

0.1

以频率估计概率得T的分布列为

T

25

30

35

40

P

0.2

0.3

0.4

0.1

从而ET＝25¡Á0.2＋30¡Á0.3＋35¡Á0.4＋40¡Á0.1＝32（分钟）．

（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．

设事件A表示¡°刘教授共用时间不超过120分钟¡±，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于¡°刘教授在路途中的时间不超过70分钟¡±．

方法一：

P（A）＝P（T1＋T2≤70）＝P（T1＝25，T2≤45）＋P（T1＝30，T2≤40）＋P（T1＝35，T2≤35）＋P（T1＝40，T2≤30）＝0.2¡Á1＋0.3¡Á1＋0.4¡Á0.9＋0.1¡Á0.5＝0.91.

方法二：

P（A）＝P（T1＋T2>70）＝P（T1＝35，T2＝40）＋P（T1＝40，T2＝35）＋P（T1＝40，T2＝40）＝

0．4×0.1＋0.1¡Á0.4＋0.1¡Á0.1＝0.09.

故P（A）＝1－P（A）＝0.91.

答案：

（1）T的分布列为

T

25

30

35

40

P

0.2

0.3

0.4

0.1

ET＝25¡Á0.2＋30¡Á0.3＋35¡Á0.4＋40¡Á0.1＝32（分钟）．

（2）0.91.

3.[2015·四川卷]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．

【解析】：

（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名．

参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝.

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

（2）根据题意得，X的可能取值为1，2，3.

P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.

所以X的分布列为

X

1

2

3

P

因此，X的数学期望为:

E（X）＝1¡ÁP（X＝1）＋2¡ÁP（X＝2）＋3¡ÁP（X＝3）＝1×＋2¡Á＋3¡Á＝2.

答案：

（1）.

（2）所以X的分布列为

X

1

2

3

P

E（X）＝1¡ÁP（X＝1）＋2¡ÁP（X＝2）＋3¡ÁP（X＝3）＝1×＋2¡Á＋3¡Á＝2.