2.椭圆的第二定义
⑴定义:
平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆.
⑵准线:
根据椭圆的对称性,（>>0）的准线有两条,它们的方程为.对于椭圆（>>0）的准线方程,只要把x换成y就可以了,即.
3.椭圆的焦半径:
由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设（-c,0）,（c,0）分别为椭圆（>>0）的左、右两焦点,M（x,y）是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为,.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有+、两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆（>>0）的参数方程为（θ为参数）.
说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同:
;
⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.92.椭圆的参数方程是.
5.椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
6.椭圆的切线方程
椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）椭圆与直线相切的条件是
双曲线及其标准方程
双曲线的定义:
平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a<||,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a||,则动点的轨迹是两条射线;若2a>||,则无轨迹.
若<时,动点的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若>时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
双曲线的标准方程:
和（a>0,b>0）.这里,其中||2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是:
如果项的系数是正数,则焦点在x轴上;如果项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:
⑴正确判断焦点的位置;⑵设出标准方程后,运用待定系数法求解.
双曲线的简单几何性质
双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率>1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是,即,那么双曲线的方程具有以下形式:
其中k是一个不为零的常数.
双曲线的第二定义:
平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线,它的焦点坐标是（-c,0）和（c,0）,与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式
.
双曲线的内外部
点在双曲线的内部.
点在双曲线的外部.
双曲线的方程与渐近线方程的关系
1）若双曲线方程为渐近线方程:
.
若渐近线方程为双曲线可设为.
若双曲线与有公共渐近线,可设为（,焦点在x轴上,,焦点在y轴上）.
双曲线的切线方程
双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
（3）双曲线与直线相切的条件是.
抛物线的标准方程和几何性质
1.抛物线的定义:
平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线。
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线。
2.抛物线的方程有四种类型:
、、、.
对于以上四种方程:
应注意掌握它们的规律:
曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。
3.抛物线的几何性质,以标准方程y22px为例
（1）范围:
x≥0;
（2）对称轴:
对称轴为y0,由方程和图像均可以看出;
（3）顶点:
O（0,0）,注:
抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）;
（4）离心率:
e1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;
（5）准线方程;
（6）焦半径公式:
抛物线上一点P（x1,y1）,F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p>0）:
（7）焦点弦长公式:
对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。
设过抛物线y22px（p>O）的焦点F的弦为AB,A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB的倾斜角为α,则有①|AB|x+x+p
以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系:
直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:
x+bx+c0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果a0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。
4.抛物线上的动点可设为P或P,其中5.二次函数的图象是抛物线:
（1）顶点坐标为;
（2）焦点的坐标为;（3）准线方程是.
6.抛物线的内外部
点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
点在抛物线的内部.
点在抛物线的外部.
7.抛物线的切线方程
抛物线上一点处的切线方程是.
（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.
六.两个常见的曲线系方程
过曲线,的交点的曲线系方程是
为参数.
共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆;当时,表示双曲线.
直线与圆锥曲线相交的弦长公式或
（弦端点A,由方程消去y得到,,为直线的倾斜角,为直线的斜率）八.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.
（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是四.基本方法和数学思想
椭圆焦半径公式:
设P（x0,y0）为椭圆（ab0）上任一点,焦点为F1-c,0,F2c,0,则（e为离心率）;
双曲线焦半径公式:
设P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点,焦点为F1-c,0,F2c,0,则:
（1）当P点在右支上时,;
（2）当P点在左支上时,;（e为离心率）;
另:
双曲线（a0,b0）的渐进线方程为;
抛物线焦半径公式:
设P（x0,y0）为抛物线y22pxp0上任意一点,F为焦点,则;y22pxp<0上任意一点,F为焦点,;
涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;
共渐进线的双曲线标准方程为为参数,≠0）;
计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为Ax1,y1、Bx2,y2,则弦长
这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想;
椭圆、双曲线的通径（最短弦）为,焦准距为p,抛物线的通径为2p,焦准距为p;双曲线（a0,b0）的焦点到渐进线的距离为b;
中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2+Bx2=1;
抛物线y22pxp0的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A（x1,y1）、Bx2,y2,则有如下结论:
（1）=x1+x2+p;
（2）y1y2-p2,x1x2;
过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB,则,过右焦点的弦;
对于y22pxp≠0抛物线上的点的坐标可设为（,y0）,以简化计算;
处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设Ax1,y1、Bx2,y2为椭圆（ab0）上不同的两点,Mx0,y0是AB的中点,则KABKOM;对于双曲线（a0,b0）,类似可得:
KAB.KOM;对于y22pxp≠0抛物线有KAB=
求轨迹的常用方法:
（1）直接法:
直接通过建立x、y之间的关系,构成Fx,y=0,是求轨迹的最基本的方法;
（2）待定系数法:
所求曲线是所学过的曲线:
如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;
（3）代入法（相关点法或转移法）:
若动点Px,y依赖于另一动点Qx1,y1的变化而变化,并且Qx1,y1又在某已知曲线上,则可先用x、y的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程;
（4）定义法:
如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程;
（5）参数法:
当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。
例题1求过点（2,1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解:
设所求直线方程为。
∵（2,1）在直线上,∴,①
又,即ab8,②
由①、②得a4,b2。
故所求直线方程为x+2y4。
剖析:
本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中,由于对截距概念模糊不清,误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为,而不是ab。
故所求直线方程应为:
x+2y4,或（+1）x-2（-1）y?
40,或（-1）x-2（+1）y+40。
例题2求过点A（-4,2）且与x轴的交点到（1,0）的距离是5的直线方程。
错解:
设直线斜率为k,其方程为y?
2k（x+4）,则与x轴的交点为（-4-,0）,
∴,解得k-。
故所求直线的方程为x+5y?
60。
剖析:
题中仅考虑了斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过A且垂直于x轴的直线,落入“陷阱”。
其实x-4也符合题意。
例题3求过点（1,1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解:
设所求方程为,将（1,1）代入得a2,
从而得所求直线方程为x+y?
20。
剖析:
上述错解所设方程为,其中不含横、纵截距为0的特殊情形,事实上,横、纵截距为0且过点（1,1）的直线yx也符合条件。
例题4已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a20,一定点为A（1,2）,要使过A点作圆的切线有两条,求a的取值范围。
错解:
将圆的方程配方得:
x+2+y+12。
∵其圆心坐标为C（-,-1）,半径r=。
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,则>r。
即>。
即a2+a+9>0,解得a∈R。
剖析:
本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a20表示圆的充要条件,上述解法仅由条件得出>r,即a2+a+9>0,却忽视了a的另一制约条件4?
3a2>0。
事实上,由a2+a+9>0及4?
3a2>0可得a的取值范围是（）。
例题5已知直线L:
yx+b与曲线C:
y有两个公共点,求实线b的取值范围。
错解:
由消去x得:
2y2-2by+b2?
10。
（*）
∵L与曲线C有两个公共点,∴4b2?
8b2-10,解得-剖析:
上述解法忽视了方程y中y≥0,-1≤x≤1这一限制条件,得出了错误的结论。
事实上,曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。
解得1≤b≤。
例题6等腰三角形顶点是A（4,2）,底边的一个端点是B（3,5）,求另一个端点C的轨迹方程。
错解:
设另一个端点的坐标为（x,y）,依题意有:
即:
∴（x-4）2+y-2210即为C点的轨迹方程。
这是以A（4,2）为圆心、以为半径的圆。
剖析:
因为A、B、C三点为三角形三个顶点,所以A、B、C三点不共线,即B、C不能重合,且不能为圆A一直径的两个端点,这正是解题后没有对轨迹进行检验,出现增解,造成的解题错误。
事实上,C点的坐标须满足,且,
故端点C的轨迹方程应为（x-4）2+y-2210x3,y5;x5,y-1。
它表示以（4,2）为圆心,以为半径的圆,除去（3,5）（5,-1）两点。
例题7求z3x+5y的最大值和最小值,使式中的x,y满足约束条件:
错解:
作出可行域如图1所示,过原点作直线L0:
3x+5y0。
由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近,
故z3x+5y在B点取得最小值。
解方程组,得B点坐标为（3,0）,∴z最小=33+509。
由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大,
故z3x+5y在A点取得最大值。
解方程组,得A点坐标为（,）。
∴z最大=3+517。
剖析:
上述解法中,受课本例题的影响,误认为在对过原点的直线L0的平行移动中,与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点,即为目标函数Z取得最大值的点。
反之,即为Z取得最小值的点,并把这一认识移到不同情况中加以应用,由此造成了解题失误。
事实上,过原点作直线L0:
3x+5y0,由于使z3x+5y>0的区域为直线L0的
右上方,而使z3x+5y<0的区域为L0的
左下方。
由图知:
z3x+5y应在A点取得最大值,在C点取得最小值。
解方程组,得C（-2,-1）。
∴z最小=3（-2）+5（-1）-11。
例题8已知正方形ABCD对角线AC所在直线方程为.抛物线过B,D两点
（1）若正方形中心M为（2,2）时,求点Nb,c的轨迹方程。
（2）求证方程的两实根,满足
解答:
（1）设
因为B,D在抛物线上所以两式相减得则代入
（1）
得
故点的方程是一条射线。
（2）设
同上
（1）-
（2）得
（1）+
（2）得
（3）代入（4）消去得
得又即的两根满足
故。
易错原因:
审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。
例题9已知双曲线两焦点,其中为的焦点,两点A-3,2B1,2都在双曲线上,
（1）求点的坐标;
（2）求点的轨迹方程,并画出轨迹的草图;（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数t的取值范围。
解答:
（1）由得:
故
（2）设点,则又双曲线的定义得
又或点的轨迹是以为焦点的椭圆
除去点或除去点图略。
（3）联列:
消去得整理得:
当时得从图可知:
又因为轨迹除去点所以当直线过点时也只有一个交点,即或5
易错原因:
（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错;
（2）求点的轨迹时易少一种情况;（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
例题10已知圆,圆都内切于动圆,试求动圆圆心的轨迹方程。
错解:
圆O2:
即为
所以圆O2的圆心为,半径,
而圆的圆心为,半径,
设所求动圆圆心M的坐标为x,y,半径为r
则且,所以
即,化简得
即为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析:
上述解法将3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,这是双曲线的概念不清所致。
事实上,|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。
且,点M的轨迹为双曲线右支,方程为
例题11点P与定点F（2,0）的距离和它到直线x8的距离比是1:
3,求动点P与定点距离的最值。
错解:
设动点Px,y到直线x8的距离为d,则
即
两边平方、整理得1
（1）
由此式可得:
因为
所以
剖析由上述解题过程知,动点Px,y在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵坐标都是有限制的,上述错解在于忽视了这一取值范围,由以上解题过程知,的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决
即:
当时,
例题12已知双曲线的离心率e,过点A（）和Ba,0的直线与原点的距离为,直线ykx+m与该双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围。
错解由已知,有解之得:
所以双曲线方程为
把直线ykx+m代入双曲线方程,并整理得:
所以1
设CD中点为,则APCD,且易知:
所以2
将2式代入1式得解得m4或
故所求m的范围是
剖析上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系,
将代入1式时,m受k的制约。
因为所以故所求m的范围应为m4或
例题13椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是,求这个椭圆的方程。
错解设所求椭圆方程为
因为,所以a2b
于是椭圆方程为
设椭圆上点M（x,y）到点P的距离为d,
则:
所以当时,有
所以所求椭圆方程为
剖析由椭圆方程得
由1式知是y的二次函数,其对称轴为
上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类,
其正解应对fy的最值情况进行讨论:
（1）当,即时
7,方程为
（2）当,即时,
与矛盾。
综上所述,所求椭圆方程为
例题15已知双曲线,问过点A（1,1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?
若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
错解设符合题意的直线存在,并设、
则
（1）得
因为A（1,1）为线段PQ的中点,所以
将4、5代入（3）得
若,则直线的斜率
所以符合题设条件的直线存在。
其方程为
剖析在（3）式成立的前提下,由4、（5）两式可推出6式,但由6式不能推出45两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。
应在上述解题的基础上,再由得
根据,说明所求直线不存在。
例题15已知椭圆,F为它的右焦点,直线过原点交椭圆C于A、B两点。
求是否存在最大值或最小值?
若不存在,说明理由。
错解设A、B两点坐标分别为、
因为,所以,
又椭圆中心为（1,0）,右准线方程为x5,所以
即,同理
所以
设直线的方程为ykx,代入椭圆方程得
所以
代入1式得
所以,所以|有最小值3,无最大值。
剖析上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当的斜率不存在时,
有
所以有最小值为3,最大值为25/4
课后练习题
1、圆x2+2x+y2+4y?
30上到直线x+y+10的距离等于的点共有（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
分析:
这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为,导致错选（D）。
事实上,已知圆的方程为:
（x+1）2+y+228,这是一个
以（-1,-2）为圆心,以2为
半径的圆,圆的圆心到直线
x+y+10的距离
为d,
这样只需画出（x+1）2+y+228
和直线x+y+10以及和x+y+10的距离为的平行直线即可。
如图2所示,图中三个点A、B、C为所求,故应选（C）。
2、过定点（1,2）作两直线与圆相切,则k的取值范围是
Ak2B-3k2Ck-3或k2D以上皆不对
解答:
D
易错原因:
忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑
3、设双曲线的半焦距为C,直线L过两点,已知原点到直线L的距离为,则双曲线的离心率为
A2B2或CD
解答:
D
易错原因:
忽略条件对离心率范围的限制。
4、已知二面角的平面角为,PA,PB,A,B为垂足,且PA4,PB5,设A、B到二面角的棱的距离为别为,当变化时,点的轨迹是下列图形中的ABCD
解答:
D
易错原因:
只注意寻找的关系式,而未考虑实际问题中的范围。
5、若曲线与直线+3有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是
ABCD
解答:
C
易错原因:
将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点2,-3且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。
6、已知圆+y4和直线ymx的交点分别为P、Q两点,O为坐标原点,
则?
OP?
?
?
OQ?
A1+mBC5D10
正确答案:
C错因:
学生不能结合初中学过的切割线定?
OP?
?
?
OQ?
等于切线长的平方来解题。
7、双曲线-=1中,被点P2,1平分的弦所在直线方程是（）
A8x-9y7B8x+9y25C4x-9y16D不存在
正确答案:
D错因:
学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。
8、已知是三角形的一个内角,且sin+cos则方程xsin-ycos1表示（）
A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线
C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆
正确答案:
D错因:
学生不能由sin+cos判断角为钝角。
9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线,分别交准线于P、Q两点,又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M?
N两点,则M?
N?
F三点
A共圆B共线C在另一条抛物线上D分布无规律
正确答案:
B错因:
学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。
10、已知实数x,y满足3x2+2y26x,则x2+y2的最大值是
A、B、4C、5D、2
正确答案:
B
错误原因:
忽视了条件中x的取值范围而导致出错。
11、过点0,1作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,这样的直线有（）
A.1条B.2条C.3条D.0条
正确答案:
C
错解:
设直线的方程为,联立,得,
即:
再由Δ=0,得k1,得答案A.
剖析:
本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。
12、已知动点P（x,y）满足,则P点的轨迹是（）
A、直线B、抛物线C、双曲线D、椭圆
正确答案:
A
错因:
利用圆锥曲线的定义解
升级会员 