实用参考等比数列知识点总结与典型例题全面版doc.docx

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等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：

，

称为公比

2、通项公式：

，首项：

；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果

成等比数列，那么

叫做

与

的等差中项，即：

或

注意：

同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列

是等比数列

4、等比数列的前

项和

公式：

（1）当

时，

（2）当

时，

（

为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：

对任意的

，都有

为等比数列

（2）等比中项：

为等比数列

（3）通项公式：

为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：

若

或

为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何

，在等比数列

中，有

。

（3）若

，则

。

特别的，当

时，得

注：

等差和等比数列比较：

等差数列

等比数列

定义

递推公式

；

；

通项公式

（

）

中项

（

）

（

）

前

项和

重要

性质

经典例题透析

类型一：

等比数列的通项公式

例1．等比数列

中，

求

.

思路点拨：

由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于

和

的二元方程组，解出

和

，可得

；或注意到下标

，可以利用性质可求出

、

，再求

.

解析：

法一：

设此数列公比为

，则

由

（2）得：

..........（3）

∴

.

由

（1）得：

∴

......（4）

（3）÷（4）得：

，

∴

解得

或

当

时，

，

；

当

时，

，

.

法二：

∵

又

∴

、

为方程

的两实数根，

∴

或

∵

∴

或

.

总结升华：

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

【答案】±96

法一：

设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；

法二：

a52=a1a9

a5=±48

q=±2，∴a6=±96。

【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。

【答案】64；

∵

，又an＞0，∴a45=4

∴

。

【变式3】已知等比数列

，若

，

，求

。

【答案】

或

；

法一：

∵

，∴

，∴

从而

解之得

，

或

，

当

时，

；当

时，

。

故

或

。

法二：

由等比数列的定义知

，

代入已知得

将

代入

（1）得

，

解得

或

由

（2）得

或

，以下同方法一。

类型二：

等比数列的前n项和公式

例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.

解析：

若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.

因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由

得，

，

整理得q3（2q6-q3-1）=0，

由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而（2q3+1）（q3-1）=0，

因q3≠1，故

，所以

。

举一反三：

【变式1】求等比数列

的前6项和。

【答案】

；

∵

，

，

∴

。

【变式2】已知：

{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.

【答案】

；

∵

，

，则a1=1或a1=9

∴

.

【变式3】在等比数列

中，

，

，

，求

和

。

【答案】

或2，

；

∵

，∴

解方程组

，得

或

①将

代入

，得

，

由

，解得

；

②将

代入

，得

，

由

，解得

。

∴

或2，

。

类型三：

等比数列的性质

例3.等比数列

中，若

求

.

解析：

∵

是等比数列，∴

∴

举一反三：

【变式1】正项等比数列

中，若a1·a100=100;则lga1+lga2+……+lga100=_____________.

【答案】100；

∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg（a1·a2·a3·……·a100）

而a1·a100=a2·a99=a3·a98=……=a50·a51

∴原式=lg（a1·a100）50=50lg（a1·a100）=50×lg100=100。

【变式2】在

和

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。

【答案】216；

法一：

设这个等比数列为

，其公比为

，

∵

，

，∴

，

∴

。

法二：

设这个等比数列为

，公比为

，则

，

，

加入的三项分别为

，

，

，

由题意

，

，

也成等比数列，∴

，故

，

∴

。

类型四：

等比数列前n项和公式的性质

例4．在等比数列

中，已知

，

，求

。

思路点拨：

等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。

解析：

法一：

令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n

观察b1=a1+a2+……+an,

b2=an+1+an+2+……+a2n=qn（a1+a2+……+an），

b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n（a1+a2+……+an）

易知b1,b2,b3成等比数列，∴

，

∴S3n=b3+S2n=3+60=63.

法二：

∵

，∴

，

由已知得

②÷①得

，即

③

③代入①得

，

∴

。

法三：

∵

为等比数列，∴

，

，

也成等比数列，

∴

，

∴

。

举一反三：

【变式1】等比数列

中，公比q=2,S4=1,则S8=___________.

【答案】17；

S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4（a1+a2+a3+a4）=S4+q4S4=S4（1+q4）=1×（1+24）=17

【变式2】已知等比数列

的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求：

S30=？

【答案】130；

法一：

S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴（S20-S10）2=S10·（S30-S20）

即302=10（S30-40）,∴S30=130.

法二：

∵2S10≠S20，∴

∵

∴

∴

∴

∴

.

【变式3】等比数列

的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n.

【答案】∵

，∴

（否则

）

∴

=80........

（1）

=6560.........

（2），

（2）÷

（1）得：

1+qn=82,∴qn=81......（3）

∵该数列各项为正数，∴由（3）知q>1

∴{an}为递增数列，∴an为最大项54.

∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,

∴81a1=54q..........（4）

∴

代入

（1）得

，

∴q=3,∴n=4.

【变式4】等比数列

中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=_____________.

【答案】4；

令b1=a1+a2=a1（1+q），b2=a3+a4=a1q2（1+q）,b3=a5+a6=a1q4（1+q）,

易知：

b1,b2,b3成等比数列，∴b3=

=

=4,即a5+a6=4.

【变式5】等比数列

中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。

【答案】448；

∵{an}是等比数列，∴（a4+a5+a6）=（a1+a2+a3）q3,∴q3=8,

∴a7+a8+a9=（a4+a5+a6）q3=56×8=448.

类型五：

等差等比数列的综合应用

例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.

思路点拨：

恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.

解析：

法一：

设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.

则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.

∴

由

（2）得a=

...........（3）

由

（1）得32a=d2+32d..........（4）

（3）代（4）消a，解得

或d=8.

∴当

时,

；当d=8时,a=10

∴原来三个数为

或2,10,50.

法二：

设原来三个数为a,aq,aq2，则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列

∴

由

（2）得

，代入

（1）解得q=5或q=13

当q=5时a=2；当q=13时

.

∴原来三个数为2，10，50或

，

.

总结升华：

选择适当的设法可使方程简单易解。

一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为

，G,GP。

但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。

举一反三：

【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.

【答案】为2，6，18或

；

设所求的等比数列为a，aq，aq2；

则2（aq+4）=a+aq2，且（aq+4）2=a（aq2+32）；

解得a=2，q=3或

，q=-5；

故所求的等比数列为2，6，18或

.

【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1

设这三个数分别为

，

由已知得

得

，所以

或

，

即

或

故所求三个数为：

1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。

【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；

设四个数分别是G,P,12-P,16-G

∴

由

（1）得G=3P-12，代入

（2）得144-24P+P2=P（16-3P+12）

∴144-24P+P2=-3P2+28P,∴4P2-52P+144=0,

∴P2-13P+36=0,∴P=4或9，

∴G=0或15，

∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.

类型六：

等比数列的判断与证明

例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：

log5（Sn+1）=n（n∈N+）,求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？

思路点拨：

由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型.

解析：

∵log5（Sn+1）=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1（n∈N+）,

∴a1=S1=51-1=4,

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（5n-1）-（5n-1-1）=5n-5n-1=5n-1（5-1）=4×5n-1

而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a1,

∴n∈N+时，an=4×5n-1

由上述