七年级数学上册第5章一元一次方程教学案北师大版.docx

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七年级数学上册第5章一元一次方程教学案北师大版

第五章　一元一次方程

1.了解方程、一元一次方程及其相关概念.

2.理解等式的基本性质,并利用等式的基本性质学习一元一次方程的解法.

3.熟练掌握移项、去括号、合并同类项等化简方程的方法,会解一元一次方程.

4.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程,并利用一元一次方程模型解决简单的实际问题.

1.通过简单问题的思考和解决,使学生从中了解方程的一般概念以及用方程解决问题的重要性.

2.经历一元一次方程从易到难的解法,掌握等式基本性质是一元一次方程化简和求解的重要依据.

3.在教师的指导下,经历分析具体问题中的等量关系的过程,列方程进行求解,通过比较不同状态下方程解的情况,从中探索出规律.

1.经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和方法.

2.通过各种具体的例子,感受数学知识在现实生活中的广泛应用,进一步提高学习数学的信心.

3.在观察中思考问题,并选择适当的数学工具解决问题,初步培养分析问题、解决问题的意识和能力.

方程是中学数学的重要内容,一元一次方程作为内容最基本、形式最简单的方程,在初中数学中占有极其重要的地位.本章内容在整个代数知识的学习中起着承上启下的作用,一方面是对已经学过的代数式、有理数的运算、整式的加减等知识的巩固和加深,另一方面又为今后学习方程组、分式方程、函数等知识奠定基础,尤其是一元一次方程的应用,充分体现了数学知识来源于实践,又指导实践的辩证关系.

本章通过各种实例,让学生体会方程作为一个解决问题的模型,在现实生活中的应用是十分有效而且广泛的.学生在“建模”“理论联系实际”等数学思想的学习中,既可以增强应用数学的意识,提高分析问题、解决问题的能力,又可以养成学以致用的好习惯.教材十分强调具体问题具体分析,从而得到不同问题的不同解决方法.

本章重点是一元一次方程的解法和应用,学生习惯了应用算术方法解决实际问题,这给利用方程模型解决实际问题的理解带来难度,教师应及时给予适当的指导,让学生感受到方程解决问题所带来的方便.学好本章内容,不仅能使学生更好地理解和掌握代数的有关知识,对于学生学习初中数学的其他知识也至关重要.

【重点】

1.理解等式的两条基本性质,会用字母表示它们,并能熟练运用.

2.熟练掌握一元一次方程的基本解法.

3.能根据实际生活背景列一元一次方程解决问题.

【难点】

1.一元一次方程的解法.

2.通过对实际问题的分析,正确理解题目中隐含的等量关系,列出方程.

1.教学应结合具体内容多采用“问题情景——建立模型——应用拓展”的模式展开,从简单而具体的实例让学生经历方程的形成与应用的过程,从而更好地理解方程的基本概念及意义,使学生从小学算术的思维方式逐渐过渡到用方程的思想思考和解决实际问题,发展应用数学的意识和能力.

2.在讲解一元一次方程的化简及求解的时候,应该同时练习代数式的有关知识,让学生通过所学的知识,学习和掌握新的知识.这样教学既有利于培养学生综合运用所学知识的能力,又有利于通过知识间的内在联系,化解教学中的难点,使学生更加牢固地掌握知识.

3.有效的数学学习不是单纯的模仿和记忆,解方程的步骤也没有统一模式,教师应注意引导学生选择合理的解方程步骤,关注他们的个性发展.

4.在讲解如何用一元一次方程解决实际问题的各节中,应该鼓励学生自己分析问题中的量与量之间的关系,并寻找问题中的等量关系,经历从分析问题、解决问题到检验问题的完整过程.教师在这个过程中只是起到一个引导的作用,不宜代替学生的思维过程.

5.运用方程解决实际问题时,注意启发学生从多角度寻找等量关系,关注他们能否恰当地转化和分析量与量之间的关系,并鼓励学生大胆创新.

1　认识一元一次方程

2课时

2　求解一元一次方程

3课时

3　应用一元一次方程——水箱变高了

1课时

4　应用一元一次方程——打折销售

1课时

5　应用一元一次方程——“希望工程”义演

1课时

6　应用一元一次方程——追赶小明

1课时

本章概括整合

1课时

1　认识一元一次方程

1.在具体情景中,理解方程的意义和作用.

2.理解一元一次方程的概念.

3.掌握利用等式性质解一元一次方程的基本技能,进而熟练解简单的一元一次方程.

1.通过一元一次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.

2.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的基本性质.

3.体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a（a为常数）的形式.

1.通过观察、操作、归纳等数学活动,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性.

2.使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系.

【重点】　在实际背景中理解方程的概念,并运用等式的基本性质进行求解.

【难点】　能够运用等式的基本性质对一元一次方程进行求解.

第

课时

1.在具体情景中,理解方程的意义和作用.

2.理解一元一次方程的概念.

1.通过一元一次方程的引入,培养学生的建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.

2.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的基本性质.

1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

2.在分析实际问题情景的活动中体会数学与现实的密切联系.

3.经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和学习方法.

【重点】　建立一元一次方程的概念,会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程,体会数学的应用价值.

【难点】　能根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材.

导入一:

（出示投影）丢番图是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道得很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:

坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.——出自《希腊诗文选》第126题.

师:

谁能用方程求出丢番图去世时的年龄?

大家讨论、交流一下.

生:

可以利用我们所学的知识设他去世时的年龄为x岁,列方程为x+x+x+5+x+4=x.

师生交流:

你对方程有什么认识?

列方程解决实际问题的关键是什么?

本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第1节一元一次方程开始.（板书课题）

[设计意图]　通过阅读章前图中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模型.

导入二:

（出示投影）同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样猜出小彬的年龄的?

他是利用什么样的方法呢?

分析:

如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是　　　　,因此可以得到方程:

　　　　.

生:

我知道是怎么回事,如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是2x-5,因此可以得到方程:

2x-5=21.根据我们小学所学的方程的解法x=13,所以小彬的年龄为13岁.

师:

这位同学非常聪明,能够利用小学的知识把它解出来很好,而且非常正确,同学们给他掌声鼓励.

那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢?

这节课我们开始学习一元一次方程.（板书课题）

[设计意图]　通过小彬和小华进行的猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.

　　[过渡语]　同学们,生活中处处有数学,下面我们一起探究实际问题与数学的联系吧.

探究活动1　对实际问题通过列方程的形式表达

情景1:

如图所示,小颖种了一株树苗,开始时树苗高为40cm,栽种后每周树苗长高约15cm,大约几周后树苗长高到1m?

提示思考问题:

（1）原来高多少?

40cm.

（2）x周后长高了多少?

15xcm.

（3）本题中的等量关系是什么?

树苗开始的高度+长高的高度=树苗将达到的高度.

（4）如何列方程表达等量关系?

情景2:

甲、乙两地相距22km,张叔叔从甲地出发到乙地,每时比原计划多行走1km,因此提前12min到达乙地,张叔叔原计划每时行走多少千米?

思路一

若设张叔叔原计划每时行走xkm,则实际每小时走　　　　km,由此,我们可以列出方程:

　　　　　　.

师生活动:

设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元一次方程的数学模型,并整理.

思路二

小组活动,共同探究、思考:

（1）题中的已知条件是什么?

（2）题中的等量关系是什么?

动手写出来.

（3）如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?

[处理方式]　教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.

情景3:

根据第六次全国人口普查统计数据,截至2010年11月1日0时,全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8930人,与2000年第五次全国人口普查相比增长了147.30%.2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有多少人具有大学文化程度?

思路一

如果设2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有x人具有大学文化程度,那么可以得到方程:

　　　　　　.

思路二

（1）想一想:

题目中的已知条件是什么?

题目中各个量之间有什么关系?

（2）品一品:

你能正确地找出题目中的等量关系吗?

动手写一写.

（3）考一考:

看谁能正确地列出方程?

学生活动,教师巡视发现问题,并及时解决.

[设计意图]　设置丰富的问题情景,使学生经历模型化的过程,激发学生的好奇心和主动学习的欲望.

探究活动2　什么是一元一次方程

1.问题导学

观察下面所列的方程,哪些是你熟悉的?

有何共同特点?

2x-5=21　40+15x=100　　（1+147.30%）x=8930

在学生共同分析总结的基础上,指出这些方程中含有未知数的个数有什么特点?

未知数的指数有什么特点?

上面方程中的第1,2,4个都具有以下特点:

（1）都只含一个未知数x;

（2）未知数的指数都是1;（3）方程两边都是整式.

板书:

在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.

[设计意图]　让学生通过观察、类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.

　　[过渡语]　我们了解了一元一次方程的有关概念,现在同学们比一比谁理解得更透彻吧!

　　2.即时练习（课件展示）

判断以下哪些是一元一次方程.

（1）-2+5=3;　　

（2）3x-1=7;　　（3）m=0;

（4）x>3;（5）x+y=8;

（6）2x2-5x+1=0;　　（7）2a+b.

[处理方式]　以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.

[设计意图]　进一步强化一元一次方程的概念满足的条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

探究活动3　什么是方程的解

　　[过渡语]　像开头的小游戏,当你告诉我计算结果是21时,我根据2x-5=21,得出你的年龄是13.在这里13是使这个方程成立的x的值,我们把它称为方程2x-5=21的解.例如:

a=2是方程2a-4=0的解;m=0是方程6m=-0.7m的解.

板书:

使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.

[知识拓展]　1.判定一个方程是不是一元一次方程需同时满足三个条件:

（1）方程中的代数式都是整式;

（2）只含有一个未知数;（3）未知数的指数都是1.

2.方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实际生活中有意义.

1.一元一次方程:

在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.

2.方程的解:

使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.

1.在①2x-1;②2x+1=3x;③|π-3|=π-3;④t+1=3中,等式有　　　　,方程有　　　　.（填序号）

解析:

一元一次方程必须满足三个条件:

（1）未知数的指数是1;

（2）是整式方程;（3）含有一个未知数.

答案:

②③④　②④

2.方程4x=-4的解是x=　　　　.

解析:

由题意可知x=-1.故填-1.

3.根据“x的2倍与5的和比x的小10”,可列方程为　　　　.

解析:

由题意可知2x+5=-10.故填2x+5=-10.

4.若2x=6与3（x+a）=-5x有相同的解,那么a-1=　　　　.

解析:

由2x=6,得x=3,因为2x=6与3（x+a）=-5x有相同的解,所以把x=3代入3（x+a）=-5x,解得a=-8,所以a-1=-9.故填-9.

5.若关于x的方程mxm-2-m+3=0是一元一次方程,则这个方程的解是　　　　.

解析:

由关于x的方程mxm-2-m+3=0是一元一次方程可知m-2=1,解得m=3,所以把m=3代入mxm-2-m+3=0,得3x-3+3=0,解得x=0.故填x=0.

6.小明买了80分与2元的邮票共16枚,花了18元8角,求他买了80分的邮票和2元的邮票各多少枚.（只需列出方程）

解:

设他买了80分的邮票x枚,

则2元的邮票（16-x）枚,

所以方程为0.8x+2（16-x）=18.8.

第1课时

1.对实际问题通过列方程的形式表达

2.什么是一元一次方程

3.什么是方程的解

一、教材作业

【必做题】

教材第132页习题5.1的1题.

【选做题】

教材第132页习题5.1的2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列四个式子中,是一元一次方程的是（　　）

A.x2-1=0B.x=y+1

C.y+1=0D.=2

2.x=3满足下列方程中的（　　）

①-2x-6=0;②|x+2|=5;③（x-3）（x-1）=0;④x=x-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.某车间有100个工人,每人平均每天加工螺栓18个或加工螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）,则应分配多少工人加工螺母?

如果设分配x个工人加工螺母,则可列出方程（　　）

A.18x+24x=100

B.18x+2×24x=100

C.18×2x=（100-x）×24

D.x×24=2（100-x）×18

4.若3xn-1=2是一元一次方程,则n=　　　　.

5.当n=　　　　时,1-n的值是5.

6.小明说小红的年龄比他大两岁,他俩的年龄和为18岁,求两人的年龄.若设小明x岁,则小红的年龄为　　　　岁.根据题意,列方程得:

　　　　.

【能力提升】

7.已知2是关于x的方程mx=8的解,则m=　　　　.

【拓展探究】

8.父亲的年龄为50岁,儿子的年龄为20岁,则多少年后,父亲的年龄是儿子的两倍?

（只需列出方程即可）

【答案与解析】

1.C（解析:

A,未知数x的指数是2;B,含有两个未知数;D,方程中不是整式.故选C.）

2.C（解析:

根据方程的解的定义,把x=3分别代入②③④符合题意,故选C.）

3.D（解析:

如果设分配x个工人加工螺母,则有（100-x）个工人加工螺栓,加工螺母24×x个,加工螺栓18×（100-x）个,由题意可列出方程x×24=2（100-x）×18,故选D.）

4.2（解析:

由3xn-1=2是一元一次方程,可知n-1=1,解得n=2,故填2.）

5.-4（解析:

由1-n的值是5,可知1-n=5,解得n=-4,故填-4.）

6.（x+2）　x+2+x=18（解析:

小红比小明大2岁,所以若设小明x岁,则小红的年龄为（x+2）岁.根据题意,列方程得x+2+x=18.）

7.4（解析:

因为2是关于x的方程mx=8的解,所以把x=2代入mx=8得2m=8,解得m=4.）

8.解:

设x年以后父亲的年龄是儿子的两倍,则x年后父亲的年龄为（50+x）岁,儿子的年龄为（20+x）岁,由题意可列方程为50+x=2（20+x）.

（1）以小游戏作为情景引入,让学生在一个轻松的环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情景问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.

（2）在整个教学实施过程中,自始至终坚持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计也遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.

（1）利用情景列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际问题的能力要求.

（2）小组学习活动效果不是太理想,部分同学不能全心参与,不明白自己的任务.

充分调动学生的积极性,小组学习要有具体的内容,教师跟踪到位,及时发现问题,解决问题.

练习（教材第131页）

1.解:

（1）设“它”为x,根据题意,得x+x=19.　

（2）设甲队胜了x场,则它平了（10-x）场,根据题意,得3x+1×（10-x）=22.

2.解:

（1）不是.　

（2）是.

（1）数学来源于生活,又应用到生活中去,所以以三个不同的生活情景问题导入新课,通过分析题意,构建方程数学模型,让学生掌握利用方程解决问题,既突破了本节课的难点,又很自然地引出了本节课的课题即重点,从而归纳一元一次方程的概念,认识方程的解.

（2）本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.

　若方程3xm-2+5=0是一元一次方程,则代数式4m-5=　　　　.

〔解析〕　根据一元一次方程的条件,这里应有m-2=1,解得m=3,从而4m-5=4×3-5=7.故填7.

【针对训练】　若方程（a+6）x2+3x-8=7是关于x的一元一次方程,则a=　　　　.

〔解析〕　根据定义需使x的二次项消失,即a+6=0,解得a=-6.故填-6.

第

课时

理解等式的两个基本性质,并能利用它求解简单的一元一次方程.

1.通过类似天平的实验,形象直观地展示等式的基本性质,通过观察、思考,归纳出等式的基本性质.

2.体会解一元一次方程就是将方程利用等式的基本性质变形为x=a（a为常数）的形式.

经历观察、归纳、应用等环节,形成良好的学习态度和学习方法,感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性.

【重点】　

1.等式的基本性质.

2.体验用等式的基本性质解方程.

【难点】　利用等式的基本性质对方程进行变形,直至变形成x=a（a为常数）的形式,并能说出每步变形的根据.

【教师准备】　准备天平.

【学生准备】　预习教材.

导入一:

上节课我们做的猜年龄游戏大家还记得吗?

老师的年龄乘2减去5得数是65,设老师的年龄为x岁,我们得方程2x-5=65.为了更好地解决方程问题,今天我们就来继续学习认识一元一次方程（第2课时）.

导入二:

在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗?

我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程.（简单举例说明）

对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:

某数与2的和的,比某数的2倍与3的差的大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是+1.

怎样才能求出x呢?

如果还用逆运算容易求出方程的解吗?

观察、思考,小组内简单交流后回答用逆运算不易求出方程的解.

师:

因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的基本性质,才可以解决这个问题.（板书课题）

[设计意图]　通过问题串,让学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决问题,学生遇到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学习情境中去.

　　[过渡语]　同学们,到底如何解上面的方程呢?

我们先来探究一下等式的基本性质.

探究活动1　等式的基本性质

小组合作交流展示.

（1）等式两边同时加（或减）　　　　　　　　,所得结果仍是等式.

（2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个　　　　　　的数）,所得结果仍是等式.

（3）已知等式x=y,你能用数学符号表示等式的两个基本性质吗?

若x=y,则　　　　　　　　,　　　　　　　　.（c为一代数式）

若x=y,则　　　　　　　　,　　　　　　　　.（c为一不为0的数）

【学生活动】　小组合作交流:

观察x=y的特征.

【师生活动】　复习学过的等式的基本性质,得出x±c=y±c,xc=yc,x÷c=y÷c（c≠0）.

[设计意图]　交流讨论,并充分认识等式的基本性质,领会等式的基本性质的符号语言及与小学学习的区别,同时训练了学生的思维和小组合作意识.

探究活动2　用等式的基本性质解方程

教师组织学生实践操作,演示天平称量过程.

思路一

教师引导学生思考并回答:

表示x,

表示2,将5x=3x+4用天平表示.

（1）天平在开始平衡时怎样由5x=3x+4变成2x=4,再变成x=2的呢?

（2）2x=4是在5x=3x+4的两边借助　　　　都减去3x得到的;x=2是在2x=4的两边借助　　　　都除以2得到的.

思路二

小组活动,共同探究,思考:

（1）观察天平①②可知,5x-　　　　=3x-　　　　+4,得到2x=4.

（2）观察天平②③可知,2x÷　　　　=4÷　　　　,得到x=2.

（3）你能写出解方程的过程吗?

【师生活动】　教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示讨论结果,教师及时补充.

【学生活动】　归纳概念.

在利用等式的两个基本性质时,需注意什么?

（1）等式两边每一项都要参加运算,是同一种运算,要加都加,要减都减,要乘都乘,要除都除,并且等式两边加上或减去,乘或除以的数一定是同一个数.

（2）第一个基本性质所加（或减）不受限制,只要是同一个代数式即可,第二个基本性质除数受限制,除数是不为0的同一个数.（教师板书应注意的问题）

[设计意图]　此探究活动既可以培养学生观察、思考、分析、总结、归纳能力,又培养了学生的语言表达能力.

巩固练习

在横线上填写适当的代数式,并说明根据等式的哪一条性质.

（1）如果x-3=2,那么x=　　　　,根据　　　　　　　　　　.

（2）如果x+y=0,那么x=　　　　,根据　　　　　　　　　　.

（3）如果4x=-12y,那么x=　　　　,根据　　　　　　　　　　.

（4）如果a-b-c=0,那么a=　　　　,根据　　　　　　　　　　.

[设计意图]　运用等式的基本性质进行等式变形,这种变化对一些学生来说很难把握准确,易于混淆.此处设计目的是鼓励学生区别清楚等式的两个基本性质,大胆做题,不要怕出错,要让学生在解题中积累经验,及对知识有更深层次的掌握.

　解下列方程:

（1）x+2=5;

（2）3=x-5