＝
，
c＝2018
>20180＝1，
故c>a>b.故选C.
10．已知函数f（x）＝x3－2x＋1＋ex－
，其中e是自然对数的底数．若f（a－1）＋f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 令g（x）＝f（x）－1＝x3－2x＋ex－
，x∈R.则g（－x）＝－x3＋2x＋
－ex＝－g（x），∴g（x）在R上为奇函数．∵g′（x）＝3x2－2＋ex＋
≥0－2＋2＝0，∴函数g（x）在R上单调递增．
∵f（a－1）＋f（2a2）≤2可化为f（a－1）－1＋f（2a2）－1≤0，即g（a－1）＋g（2a2）≤0，即g（2a2）≤－g（a－1）＝g（1－a），∴2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤
.∴实数a的取值范围是
.故选C.
11．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设圆锥底面圆的半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，如图所示，所以r＝
R，S球＝4πr2＝
4π·
2＝
R2，S圆锥＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球与圆锥的表面积之比为
＝
＝
，
故选B.
12．已知函数f（x）为R上的奇函数，且图象关于点（2,0）对称，且当x∈（0,2）时，f（x）＝x3，则函数f（x）在区间[2018,2021]上（ ）
A．无最大值B．最大值为0
C．最大值为1D．最大值为－1
答案 C
解析 因为函数f（x）的图象关于点（2,0）对称，所以f（4－x）＝－f（x）．又函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（4－x）＝f（－x）．令t＝－x，得f（4＋t）＝f（t），所以函数f（x）是周期为4的周期函数．又函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，f（－2）＝－f
（2），由函数f（x）的周期为4，得f（－2）＝f
（2），所以－f
（2）＝f
（2），解得f
（2）＝0.所以f（－2）＝0.依此类推，可以求得f（2n）＝0（n∈Z）．作出函数f（x）的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数f（x）在区间[2018,2021]上的图象与在区间[－2，1]上的图象完全一样.观察图象可知，函数f（x）在区间（－2,1]上单调递增，且f
（1）＝13＝1，又f（－2）＝0，所以函数f（x）在区间[－2,1]上的最大值是1，故函数f（x）在区间[2018,2021]上的最大值也是1.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知单位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝
，若向量a＝e1－2e2，则|a|＝________.
答案
解析 因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝
，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1||e2|cos
＋4|e2|2＝1－4×1×1×
＋4＝3，即|a|＝
.
14．已知实数x，y满足
目标函数z＝ax＋y的最大值M∈[2,4]，则实数a的取值范围为________．
答案
解析 可行域如图阴影部分所示，当a≥0时，平移直线y＝－ax＋z至（2,3）时，z有最大值2a＋3，故2≤2a＋3≤4，得0≤a≤
.当－1≤a<0.当a≤－1时，平移直线y＝－ax＋z至（0,1）时，z有最大值1，不符合题意，故舍去．综上，a∈
.
15．在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．
答案 24
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的五面体ABCEFD，其中，底面ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，侧棱DB，EC，FA与底面垂直，且DB＝2，EC＝FA＝5.过点D作DH∥BC，DG∥BA，交EC，FA分别于H，G，连接GH，则棱柱ABC－DHG为直棱柱，四棱锥D－EFGH的底面为矩形EFGH，高为BA.所以V五面体ABCEFD＝VABC－DHG＋VD－EFGH＝
×2＋
×32×4＝24.
16．对任一实数序列A＝{a1，a2，a3，…}，定义新序列ΔA＝（a2－a1，a3－a2，a4－a3，…），它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ（ΔA）的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________.
答案 100
解析 令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋（n－1）×1，
a1＝a1，
a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
…
an－an－1＝bn－1，
累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1
＝a1＋（n－1）b1＋
＝（n－1）a2－（n－2）a1＋
，
分别令n＝12，n＝22，得
解得a1＝
，a2＝100.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
＝tanA＋tanB.
（1）求角A的大小；
（2）设AD为BC边上的高，a＝
，求AD的取值范围．
解
（1）在△ABC中，∵
＝tanA＋tanB，
∴
＝
＋
，
即
＝
，
∴
＝
，则tanA＝
，∴A＝
.
（2）∵S△ABC＝
AD·BC＝
bcsinA，∴AD＝
bc.
由余弦定理得cosA＝
＝
≥
，
∴0∴0.
18．（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，底面ABEF为正方形，AF＝2
FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是30°.
（1）证明：
AF⊥平面EFDC；
（2）求直线BF与平面BCE所成角的正弦值．
解
（1）证明：
∵底面ABEF为正方形，∴AF⊥FE，
又∠AFD＝90°，∴AF⊥DF，而DF∩FE＝F，DF⊂平面EFDC，EF⊂平面EFDC.
∴AF⊥平面EFDC.
（2）∵AF⊂底面ABEF，则由
（1）知平面EFDC⊥平面ABEF，如图，过D作DG⊥EF，垂足为G，
∴DG⊥平面ABEF.
以G为坐标原点，
的方向为x轴正方向，|
|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.
由
（1）知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝30°，又AF＝2
FD，则|DF|＝2，|GF|＝
，|AF|＝4
，
∴B（－3
，4
，0），E（－3
，0,0），F（
，0,0）.
由已知，AB∥EF，∴AB∥平面EFDC.
又平面ABCD∩平面EFDC＝DC，
故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面
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