高考数学理科一轮复习讲义第3章 三角函数解三角形 第4讲.docx

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高考数学理科一轮复习讲义第3章三角函数解三角形第4讲

第4讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

1.“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

（1）定点：

如下表所示．

（2）作图：

在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的图象．

（3）扩展：

将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin（ωx＋φ）在R上的图象．

2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的步骤

1．概念辨析

（1）将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝

3sin.（　　）

（2）利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（　　）

（3）将函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin的图象．（　　）

（4）由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2．小题热身

（1）函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）

A．2，，B．2，，

C．2，，D．2，，－

答案　A

解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.

（2）用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.

答案　　　　　

解析　列表：

五个点依次是、、、、.

（3）将函数f（x）＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则g＝________.

答案　

解析　函数f（x）＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y＝－cos2＝－cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）＝－cos，所以g＝－cos＝sin＝.

（4）（2018·长春模拟）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为________．

答案　f（x）＝sin

解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f（x）＝sin.

题型　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

1．（2017·全国卷Ⅰ）已知曲线C1：

y＝cosx，C2：

y＝sin，则下面结论正确的是（　　）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

答案　D

解析　由C2：

y＝sin＝sin＝cos2x＋＝cos.

根据三角函数图象变换的规律，可得D正确．

2．（2018·蚌埠一模）已知ω>0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝（　　）

A．πB.C.D.π

答案　B

解析　当正弦值等于余弦值时，函数值为±，故等边三角形的高为，由此得到边长为2××＝，边长即为函数的周期，故＝，ω＝.

3．已知函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在区间上单调递增，求ω的最大值．

解　函数f（x）＝2sinωx（ω>0）在上单调递增，所以⊆，所以

解得0<ω≤，所以ω的最大值为.

4．已知函数y＝cos.

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；

（3）说明y＝cos的图象可由y＝cosx的图象经过怎样的变换而得到．

解　

（1）函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.

（2）列表：

描点，连线．

（3）解法一：

把y＝cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；

再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y＝cos的图象．

解法二：

将y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到y＝cos2x的图象；

再将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象．

作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象常用的两种方法

（1）五点法作图：

用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

（2）图象的变换：

由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象有两种途径：

“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

1.要想得到函数y＝sin2x＋1的图象，只需将函数y＝cos2x的图象（　　）

A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

答案　B

解析　先将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin2x＋1的图象，故选B.

2.（2018·青岛模拟）将函数f（x）＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在g（x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（　　）

A.x＝－B．x＝

C.x＝D．x＝

答案　A

解析　当函数f（x）＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1（x）＝2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）可以表示为g（x）＝2sin＝2sin.

则函数g（x）的图象的对称轴可表示为4x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.则g（x）的图象离原点最近的对称轴，即g（x）的图象离y轴最近的对称轴为x＝－.

题型　由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

1.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π），其导函数f′（x）的图象如图所示，则f的值为（　　）

A．2B.C．－D．－

答案　D

解析　依题意得f′（x）＝Aωcos（ωx＋φ），结合函数y＝f′（x）的图象，则T＝＝4＝π，ω＝2.

又Aω＝1，因此A＝.

因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，即φ＝，所以f（x）＝sin，f＝sin＝－×＝－.

2.设f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π），其图象上最高点M的坐标是（2，），曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q（6,0）处越过x轴．

（1）求A，ω，φ的值；

（2）函数f（x）的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？

若能，写出变换方法；若不能，说明理由．

解　

（1）由题意知A＝，T＝（6－2）×4＝16，所以ω＝＝.又因为Q（6,0）是零值点，且|φ|<π，所以×6＋φ＝π，所以φ＝，经验证，符合题意．所以A＝，ω＝，φ＝.

（2）f（x）的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．

由

（1）知f（x）＝sin，当f（x）的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g（x）＝sinx，是奇函数.

确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）中参数的方法

（1）求A，b：

确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；

（2）求ω：

确定函数的周期T，则可得ω＝；

（3）求φ：

常用的方法有：

①代入法：

把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②五点法：

确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

1．（2018·四川绵阳诊断）如图是函数f（x）＝cos（πx＋φ）的部分图象，则f（3x0）＝（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　D

解析　∵f（x）＝cos（πx＋φ）的图象过点，

∴＝cosφ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.

∴f（3x0）＝f（5）＝cos＝－.

2.已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f等于________．

答案　

解析　观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以f（x）＝Atan（2x＋φ）．

又因为函数图象过点，所以0＝Atan，所以＋φ＝kπ（k∈Z），所以φ＝kπ－（k∈Z）．又因为|φ|<，所以φ＝.又图象过点（0,1），

所以A＝1.综上知，f（x）＝tan，

故f＝tan＝.

题型　三角函数图象性质的应用

角度1　三角函数模型的应用

1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为（　　）

A.5B．6C．8D．10

答案　C

解析　由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.

角度2　函数零点（方程根）问题

2.已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．

答案　[2,3）

解析　2sin＋1－a＝0化为sin＝，令t＝x＋，由x∈得，t＝x＋∈，画出函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝，当≤<1，即2≤a<3时，函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝有两个公共点，原方程有两个根.

角度3　三角函数图象性质的综合

3.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图，则（　　）

A．函数f（x）的对称轴方程为x＝4kπ＋（k∈Z）

B.函数f（x）的递减区间为（k∈Z）

C.函数f（x）的递增区间为[8k＋1,8k＋5]（k∈Z）

D.f（x）≥1的解集为（k∈Z）

答案　D

解析　由题图知，A＝2，函数f（x）的最小正周期T＝4×（3－1）＝8，故ω＝＝，所以f（x）＝2sin，因为点（1,2）在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝，即f（x）＝2sin，由x＋＝kπ＋（k∈Z）得x＝4k＋1，即函数f（x）的对称轴方程为x＝4k＋1（k∈Z），所以A项错误；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋（k∈Z）得8k＋1≤x≤8k＋5，即函数f（x）的单调减区间为[8k＋1,8k＋5]（k∈Z），所以B，C两项错误；由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得8k－≤x≤8k＋（k∈Z），即不等式f（x）≥1的解集为（k∈Z），故选D.

（1）三角函数模型在实际应用中体现的两个方面

①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；

②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利