吉林省延吉市金牌教育中心届高三数学一轮复习 基础知识课时作业四十三.docx

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吉林省延吉市金牌教育中心届高三数学一轮复习基础知识课时作业四十三

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习基础知识课时作业（四十三）

一、选择题

1．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：

①直线l上的点都在平面α内；

②直线l上有些点不在平面α内；

③平面α内任意一条直线都不与直线l平行．

其中真命题的个数是（　D　）

A．3B．2

C．1D．0

解析：

直线l与平面α有公共点可知直线l与平面α相交或l⊂α，此时易得题目中所给的三个命题均为假命题，故选D.

2．给出三个命题：

①若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行；

②若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行；

③若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行．

其中正确命题的个数是（　B　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

举反例：

正方体共顶点的三条棱，其中两条棱与第三条棱所成角相等且均为90°，而这两条直线垂直，故命题①②为假命题，故选B.

3．下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n;②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n;④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

其中正确的命题是（　C　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

解析：

②反例：

正方体共顶点的三个平面两两垂直，故为假命题．③m∥α，n∥α，m和n可能平行、相交或异面，故为假命题．所以①④为真命题，故选C.

4．已知α，β，γ是三个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（　D　）

A．若l⊥α，l∥β，则α∥β

B．若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β

C．若l∥m，且l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥β

D．若l，m异面，且l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥β

解析：

A选项中α∥β或α⊥β；B选项中α∥β或α与β相交；C选项中α与β可能平行也可能相交，故D选项正确，关键在于l与m异面．

5．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题

①

⇒a∥b　②

⇒a∥b　③

⇒α∥β

④

⇒α∥β　⑤

⇒α∥a　⑥

⇒α∥a

其中正确的命题是（　C　）

A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④

解析：

①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．

6．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　A　）

A．①②B．①④C．②③D．③④

解析：

由线面平行的判定定理知图①②可得出AB∥平面MNP.

二、填空题

7．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和

β都平行的直线有且只有________条．

解析：

据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．

答案：

1

8．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

答案：

①或③

9．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：

过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

答案：

6

三、解答题

10.

如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

证明：

平面PAB与平面PCD的交线平行于底面．

证明：

设面PAB与面PCD的交线为l.

因为AB∥CD，AB不在面PCD内，所以AB∥面PCD.

又AB⊂面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以AB∥l.

由直线AB在底面内而l在底面外可知，l与底面平行．

11．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别为B1C1、C1D1的中点．

（1）求证：

四边形BDEF是梯形；

（2）求证：

平面AMN∥平面EFDB.

证明：

（1）连接B1D1.

在△B1D1C1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，

∴EF綊

B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1是矩形，∴BD綊B1D1.

∴EF綊

BD.∴四边形BDFE是梯形．

（2）在△A1B1D1中，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，

∴MN∥B1D1，由

（1），知EF∥B1D1，∴MN∥EF.

在正方形A1B1C1D1中，F为C1D1的中点，M为A1B1的中点，∴FM綊A1D1，

而正方体的侧面ADD1A1为正方形，∴AD綉A1D1，

∴FM綊AD，∴四边形ADFM为平行四边形，∴AM∥DF.

又∵AM∩MN＝M，DF∩FE＝F，

∴平面AMN∥平面EFDB.

12．如图，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧

棱A1A⊥底面ABC，点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB.

当点M在何位置时，BM∥平面AEF?

解：

如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

∵侧棱A1

A⊥底面ABC，

∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，

∴OM⊥底面ABC.

又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊

EC，

∴四边形OMBF为矩形，

∴BM∥OF，

又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.

故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．

[热点预测]

13．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．

（1）求该多面体的体积与表面积；

（2）求证：

GN⊥AC；

（3）当FG＝GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

解：

（1）由题中图可知该多面体为直三棱柱，在△ADF中，

AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以该多面体的体积为

a3.

表面积

为

a2×2＋

a2

＋a2＋a2＝（3＋

）a2.

（2）证明：

连接DB，FN，由四边形ABCD为正方形，且N为AC的中点，知B，N，D三点共线，且AC⊥DN.

又∵FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD＝D，

∴FD⊥平面ABCD.

∵AC⊂平面ABCD，∴FD⊥AC.

又DN∩FD＝D，∴AC⊥平面FDN.

又GN⊂平面FDN，∴GN⊥AC.

（3）点P与点A重合时，GP∥平面FMC.

取FC的中点H，连接GH，GA，MH.

∵G是DF的中点，∴GH綊

CD.

又M是AB的中点，∴AM綊

CD.

∴GH∥AM且GH＝AM.

∴四边形GHMA是平行四边形．

∴GA∥MH.

∵MH⊂平面FMC，GA⊄平面FMC，

∴GA∥平面FMC，即当点P与点A重合时，GP∥平面FMC.

课时作业（四十四）

一、选择题

1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（　A　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

解析：

l⊥α，α∥β则l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；l⊥α，l⊥m则m⊂α或m∥α，又m∥β，所以α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，选A.

2．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β

是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　C　）

A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α

B．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β

C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，

则b∥c

解析：

b⊂α且α⊥β，若α∩β＝l，b⊥l，则b⊥β，所以b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，不正确，选C.

3．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（　B　）

A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β

B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内

C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β

解析：

由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A正确，B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确．

4．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　A　）

A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β

B．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

C．若m⊥α

，n∥β，且m⊥n，则α⊥β

D．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β

解析：

m⊥α，m⊥n，那么n⊂α或n∥α，①当n⊂α时，若n⊥β，则α⊥β，②当n∥α时，则平面α内存在一条直线l∥n，若n⊥β，则l⊥β，所以有α⊥β，综合可知，m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β正确，选A.

5．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　B　）

A.

B.

C.

D.

解析：

设三棱柱的高为h，则

×（

）2×h＝

，解得h＝

.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝

，AQ＝

×

×

＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ即为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝

，所以∠PAQ＝

.

6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　D　）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：

由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.

二、填空题

7．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

解析：

若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，若l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.

答案：

充分不必要

8．给出下列命题：

①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，所有真命题的序号为________．

解析：

根据定理和一些常用结论得：

①、③、④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．

答案：

①③④

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是AD，DD1，D1A

1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有

MN∥平面B1D1C.

解析：

可证A1C1⊥平面EGM，故当N在EG上时，MN⊥A1C.

可证平面MEH∥平面B1CD1，故当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.

答案：

点N在EG上　点N在EH上

三、解答题

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝

AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M，N分别是PA，PB的中点．

（1）求证：

MN∥平面PCD；

（2）求证：

四边形MNCD是直角梯形；

（3）求证：

DN⊥平面PCB.

证明：

（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB.

因为CD∥AB，所以MN∥CD.

又CD⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD.

（2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD，

又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥PD，又AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.

因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，

所以四边形MNCD是直角梯形．

（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD＝60°.

在Rt△PDA中，AD＝

，PD＝

，PA＝2

，MD＝

.

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝

，CD＝3，CN＝

＝

，

从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.

在Rt△PDB中，PD＝DB＝

，N是PB的中点，则DN⊥PB.

又因为PB∩

CN＝N，所以DN⊥平面PCB.

11．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：

BN⊥平面C1B1N；

（2）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求

的值．

解：

（1）证明：

∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形

∴四边形BB1C1C是矩形，AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1，

由三视图中的数据知：

AB＝BC＝4，BB1＝C1C＝8，AN＝4，

∵AB⊥BC，BC⊥BB1，∴BC⊥平面ANBB1，

∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ANBB1，

因此B1C1⊥BN.

在直角梯形B1BAN中，过N作NE∥AB交BB1于E，

则B1E＝BB1－AN＝4

故△NEB1是等腰直角三角形，

∠B1NE＝45°，

又AB＝4，AN＝4，∴∠ANB＝45°，

因此∠BNB1＝90°，即BN⊥B1N

又B1N∩B1C1＝B1，∴BN⊥平面C1B1N.

（2）过M作MR∥BB1，交NB1于R，则MR＝

＝6，

过P作PQ∥BB1，交CB1于Q，则PQ∥MR，

设PC＝a，则

＝

，∴

＝

，即PQ＝2a，

由PQ＝MR得：

2a＝6，∴a＝3，

此时，四边形PMRQ是平行四边形，∴MP∥RQ，

∵RQ⊂平面CNB1，MP⊄平面CNB1，

∴MP∥平面CNB1，

＝

＝

.

12．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.

（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；

（2）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

解：

如图，

（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH，则FH綊

ED，FH綊AB，

∴四边

形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，

BF⊄平面ACD，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；

（2）取AD中点G，连接CG、EG，则CG⊥AD，

又平面ABED⊥平面ACD，∴C

G⊥平面ABED，

∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，

设为α，则在Rt△CEG中，

有sinα＝

＝

＝

.

[热点预测]

13．如图，△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P在平面ABC射影为AB的中点D，O是线段CD的中点，∠APC＝60°

（1）判断PC与AB是否垂直（不需说明理由）；

（2）求PD与平面PBC所成角的正切值；

（3）在PB上是否存在点E，使OE∥平面PAC.若存在，

求出PE的长，若不存在，说明理由．

解：

（1）不垂直

（2）由题意知：

PA＝PB＝PC＝AC＝4，OD＝DB＝

，取BC的中点Q，连接PQ、DQ，则BC⊥DQ，BC⊥PQ，∴BC⊥面PDQ，∴面PDQ⊥面PBC，∴D在面PBC上的射影落在PQ上，则PD与平面PBC所成角即为∠QPD，由于PD＝

，DQ＝2，PD⊥DQ，故所求角的正切值为

.

（3）过O作OM∥AB交AC于M，在平面PAB内平面直线AB，使之交PB于E，交PA于N，并使OM＝EN，此时MOEN为平行四边形，易知OE∥平面PAC.由于OM是△CAD的中位线，∴PE∶PB＝NE∶AB＝MO∶AB＝1∶4.

又△ABC是直角三角形，CD是斜边上的中线，

PD⊥平面ABC，有△PAD≌△PCD≌△PBD

∴PA＝PC＝PB，由于∠APC＝60°，△PAC为正三角形，所以PB＝PC＝AC＝4，

∴PE＝

PB＝1，即在线段PB上存在点E，

当PE＝1时，OE∥平面PAC.