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弹簧计算公式

フォームの始まり

フォームの終わり

记号的含义

螺旋弹簧的设计时候使用的记号如下表1所示。

横弹性系数G的值如表2所示。

表１.计算时使用的记号及单位

记号

记号的含义

单位

材料的直径

弹簧内径

弹簧外径

弹簧平均径

总圈数

—

有效圈数

—

试验载荷下的高度

自由高度

c=D/d

弹簧指数

—

横弹性指数

N/mm2

弹簧所受负荷

弹簧的弯曲

弹簧定数

N/mm

τ0

扭转应力

N/mm2

扭转修正应力

N/mm2

记号

记号的含义

单位

应力修正系数

—

表2.横弹性系数：

G（N/m㎡）

材料

G的值

弹簧钢钢材

高碳素钢丝

高强钢丝

油回火钢丝

7.85×104

不锈钢

SUS304

SUS316

SUS631J1

6.85×104

7.35×104

黄铜丝

3.9×104

锌白铜丝

3.9×104

磷青铜丝

4.2×104

铍铜丝

4.4×104

螺旋弹簧的设计用基本计算公式

螺旋弹簧的负荷和弹簧定数・弯曲的关系

具有线性特征弹簧的负荷和弯曲是成比例的。

从螺旋弹簧的尺寸求弹簧的定数

压缩螺旋弹簧的素線径因扭转而产生弯曲的弹簧定数K

螺旋弹簧的扭转应力

螺旋弹簧的扭转修正应力

螺旋弹簧试验载荷下高度（端面磨削的情况下）

螺旋弹簧两端的各厚度之和

不同材质螺旋弹簧在高温时的机械特性

表3.不同温度下弹簧的横弹性定数（N/mm2）

材質

環境

100℃

200℃

300℃

400℃

500℃

600℃

SUP10

通常

76500

74300

—

SUS304

耐蚀・高温

68100

66200

—

SUS316

耐蚀・高温

68100

66200

—

SKD4

高温

77000

74700

71600

69000

—

INCONELX750

耐蚀・高温

77700

76600

74700

72800

70900

—

INCONEL718

耐蚀・高温

74700

72400

70100

67800

65900

63600

C5191

耐蚀

—

表4.不同温度下弹簧的容许应力（N/mm2）

材質

応力位置

100℃

200℃

300℃

400℃

500℃

600℃

SUP10

τ０

490

410

—

SUS304

τ０

0.7a

0.5a

—

SUS316

τ０

0.8a

0.6a

—

SKD4

τ０

550

490

430

350

—

INCONELX750

482

310

—

INCONEL718

519

445

343

C5191

τ０

—

组合弹簧的计算公式

螺旋弹簧的直列和并列

弹簧在设计的时候，虽然应该尽可能设计一根弹簧，但是一根弹簧无法满足的情况下，也会对多根弹簧进行组合以满足设计要求。

弹簧的组合有纵向排列的直列法和横向排列的并列法两种模式。

这样的分类，不仅和螺旋弹簧有关，盘形弹簧等其他种类的弹簧也是一样，也会进行直列和并列组合来使用。

从负荷的观点来考虑的话，对各个弹簧作用相等的力的组合方式叫直列，各个弹簧变位相等的组合方式叫并列。

图1.螺旋弹簧的直列组合和并列组合

图示显示的是使用了3个弹簧的情况。

n个弹簧的各个定数就是　k1,k2,・・・,kn

弹簧并列和直列组合时全部的定数K公式参照下列。

式1.并列的弹簧定数计算公式

式2.直列的弹簧定数计算公式

并列组合的螺旋弹簧的个数增加会导致全体弹簧定数变大，直列组合个数的增加会导致弹簧定数变小。

図2.亲子弹簧

并列的字面意思就是横向排列，但是单纯的排列空间上不好安排，所以像图3那样弹簧的内侧和弹簧组合，同心相排的情况下很多。

这样的排列一般被称作亲子弹簧。

但是，同心组合的情况下，为了弹簧不互相缠绕在一起，交替的改变弹簧卷的方向，或者确保弹簧和弹簧之间有一定的间隙是很有必要的。

另外，对弹簧的组合进行下功夫的话，像下图a,b那样，可以制作出不是直线的弹簧特性。

例如需要像图4那样特性弹簧的时候，需要对自由长或者不同密着负荷的弹簧进行组合。

图5的弹簧特性是在图6那样结构中加入弹簧，事先加上负荷，就会得到〔上段弹簧定数〕＜〔下段弹簧定数〕这样的组合。

図5.得到特殊弹簧特性的结构

弹性能量的计算公式

弹簧内积蓄的能量

弹簧加上负荷的话，弹簧内就会被积蓄能量。

弹簧内积蓄的能量U，和图6中荷重Ｐ―変位δ曲线围成的面积相同

図6.弹簧内积蓄的能量

用公式3来表示。

一般常见的弹簧积蓄能量的公式。

公式4

适用场合为像上图（a）那样存在线性关系的时候，也就是

公式5

另外，说到能量的积蓄和释放，一般会像图6的（a）,（b）,（c）所表示的那样，

增加负荷的时候和去除负荷的时候，是相同的负荷-变位曲线，

增加负荷积蓄能量，一旦去除负荷能量就会完全释放，

但是像图6（d）那样具有滞后循环特性的弹簧，

被曲线围起来的面积的能量，从增加负荷到去除负荷就会消耗一个周期。

螺旋弹簧的振动计算公式

螺旋弹簧有固有的振动数

弹簧加上负荷，使其变形，加上力，去除力的时候弹簧会发生振动，这个振动数会因不同的弹簧而不同，但是每种弹簧都有其固有的振动数。

弹簧自身的质量为m的时候，其固有振动数f　就为

式6

来表示。

这里的α，根据弹簧的固定条件和振动的方向为一定的定数。

两端固定支撑板簧-质量系

两端销支撑板簧-质量系

另外，像图7,8,9,10所表示的那样质量为ms的弹簧用质量为m的物体来固定，物体振动时候的固有振动数f0就为

公式7

来表示。

（这里也结合了板簧来进行说明）

弹簧的质量ms和物体的质量m相比，一般情况下都比较小，所以一般β看作β＝０的情况比较多，

但是必须考虑到弹簧质量的时候，近似图9中β＝0.49，图10中β＝0.37来进行计算。

进行弹簧设计的时候，虽然弹簧的定数很重要，但是这个固有振动数也是必须要考虑到的。

弹簧碰撞的计算公式

弹簧是为了缓和冲击力

碰撞时为了冲击力降低，比较有效果的手段就是使用弹簧。

为了评价缓和冲击的能力，像下面那样用缓冲效率η来定义。

公式8

这里的M为碰撞侧的质量、v0为碰撞时的速度、Pmax为最大冲击力、δmax为被碰撞侧的最变位。

η的值一般为0以上1以下，虽然理想的情况下为1，一定弹簧定数弹簧的碰撞效率η就会变为1/2。

∙1 不同形状的薄板弹簧的计算公式

・1-1长方形断面的单侧支撑弹簧

薄板弹簧最简单的就是长方形断面的单侧支撑弹簧，

A为固定端，B为自由端，在B点加上负荷P的情况下的计算公式为

这里的Ｉ表示2次力矩。

来表示，

较大的情况下

来表示。

因此，

较大情况的计算公式为

。

ν为泊松比、钢的情况下、ν≒0.3。

应力在固定端为最大时

来表示。

这里薄板弹簧材料的纵弹性系数E的值在表2表示。

表１.计算用记号及单位

记号

单位

记号的意义

板厚

记号

单位

记号的意义

板幅

支点到负荷点的距离

圆弧的半径

纵弹性系数

N/mm2

断面2次力矩

mm4

断面系数

mm3

弹簧所受负荷（力）

受力点的弯曲荷

弹簧定数

N/mm

弯曲应力

N/mm2

泊松比

–

表2.纵弹性系数：

E（N/m㎡）

材料

E的值

弹簧钢钢材

206×103

不锈钢

SUS301

SUS304

SUS631

186×103

196×103

磷青铜

98×103

铍铜

127×103

・1-2梯形单侧支撑薄板弹簧计算公式

図2

像图2那样，薄板弹簧的板厚一定的时候，板幅为直线式变化的情况下，自由端的弯曲

为

公式4

公式中B的计算，根据板厚不同分为下列2种

板厚较厚的情况下

板厚非常薄厚的情况下、

另外，公式中

的值，根据β=b1/b可以从图3中求出。

图3

・1-3 板幅带台阶的薄板弹簧计算公式

图4

像图4那样，当板厚一定时，板幅带台阶的薄板弹簧的自由端弯曲

为，

公式5

这里，

是由P而产生的台阶部位A的弯曲和弯曲角，

的长度为

，表示板幅

的单边弹性的自由端的弯曲。

・1-4圆环状单侧支撑的薄板弹簧计算公式

图5

像图5这样，板厚的中心为直线，板幅的中心线为圆弧状，垂直负荷P在自由端作用的时候，

任意位置φ的弯曲δφ为

这里的C表示板的扭转强度。

・1-5圆弧状单侧支撑的薄板弹簧计算公式

图6

板厚的中心线为圆弧状的单侧支撑弹簧，求其在负荷作用下的弯曲，一般利用卡氏定律来求解。

以下就是利用该定律的计算结果。

如图6表示在圆弧状薄板上，垂直负荷P,水平负荷W各自在中心角

的位置上作用的时候，中心角

的位置Y方向的弯曲为

，X方向的弯曲为

。

因P产生的弯曲

，

的时候、

公式7

的时候、

公式8

因W产生的弯曲

的时候、

公式9

的时候、

公式10

图7

图7中，

、

各自公式如下。

公式11

公式12

图8

如图8的时候，

公式13

公式14

因P产生的最大应力

已经在固定端发生，

公式15

因W产生的最大应力，

的时候再图8的A点产生，

的时候在固定端产生，

公式16

・1-6圆轮状的薄板弹簧计算公式

图9

像图9那样圆轮状的弹簧，因为是上下对称，它的弯曲就是图8的2倍。

公式17

・1-7半圆和1/4圆组合成的薄板弹簧的计算公式

图10

图10的弯曲为

公式18

最大应力在固定端产生，

公式19

・1-8圆弧的薄板弹簧的计算公式

图11

图11左侧所显示的形状自由端的弯曲为

公式20

如图11右侧形状所示，水平方向被约束的圆弧的弯曲为

公式21

这两种情况，无论是哪一种，最大应力都为

公式22

・1-9圆弧和带有直线部分的薄板弹簧的计算公式

・1-9-1 其1

图12

如图12，由直线部分AB和圆弧部分BD组合而成，一端D被固定，另一端A在垂直负荷P或者水平负荷W的作用下，

，

如以下表示。

公式23

公式24

的时候，

公式25

W作用的时候，

公式26

公式27

这里，公式中的

，为

另外，最大应力

的时候在固定端产生，

的时候在C点产生。

・1-9-2圆弧和带有直线部分的薄板弹簧的计算公式其2

图13

图13中的弹簧，为2个图12中的弹簧组合在一起，在负荷作用下的弯曲

为公式23中得到的

倍。

公式28

图14

如图14所示，直线部分和带有圆弧部分弹簧在A端的弯曲为

公式29

这里、

、

。

最大弯曲应力，在C点产生

公式30

、

的时候，最大应力在固定端发生，

，

的时候，

公式31

・1-9-3圆弧和带有直线部分的薄板弹簧的计算公式其3

图15

如图5的情况时，分割AC部分和CD部分，对公式25弯曲的2倍和以下公式的弯曲进行各自的计算，然后结合之后算出A部分的弯曲。

公式32

・1-9-4圆弧和带有直线部分的薄板弹簧的计算公式其4

图16

如图16所示，直线部分被固定，圆弧部分的A端受到负荷的作用，A端的垂直弯曲

和水平弯曲

，

，受到负荷P作用的时候，

公式33

公式34

受到负荷W作用的时候，

公式35

公式36

图17

如图17的形状，受到负荷P作用的时候，

公式37

公式38

受到负荷W作用的时候，

公式39

公式40

这里，

。

・1-9-5圆弧和带有直线部分的薄板弹簧的计算公式其5

图18

如图18所示，曲率半径比较小的圆弧和直线的组合而成的弹簧，忽视圆弧部分的半径之后的弯曲如下所示。

公式41

最大应力，

的时候，在BC部分产生

公式42

的时候，在固定端产生，

公式43

・1-9-6圆弧和直线部分结合的比较复杂的薄板弹簧的计算公式

薄板弹簧的形状，实际上圆弧部分和直线部分复杂结合的情况比较多，可以利用以上介绍的各种公式。

以下展示的形状和计算公式都是利用以上所介绍的内容而进行的实际应用。

图19

图19的形状为2个图13的组合，可以利用公式28的2倍来求其弯曲。

图20

图20的形状，两端部分和图10是相同的，应力的公式可以利用公式19来计算。

对称轴单侧的弯曲就是公式18加上

部分，因此单侧的弯曲就是

公式44

公式45

２．特性・不同用途的薄板弹簧计算公式

・2-1非线性特征的薄板弹簧的计算公式

图21

非线形特性的薄板弹簧，像图21那样，公式如下显示。

式46

・2-2受到轴负荷和横负荷的薄板弹簧计算公式

図22

薄板弹簧像图22那样的负荷一般是用来测定机器的。

一端被固定，另一端虽然可以横方向运动但是不能旋转。

这种情况时，轴负荷P和压弯负荷相比较小，横负荷Q的弯曲

及应力

为以下公式表示。

公式47

公式48

P比座面负荷大的时候，根据上面公式中的

来决定系数

以及

。

这里

为

，这里的系数

，

为以下公式。

公式49

公式50

・2-3弯曲较大的薄板弹簧的计算公式

・2-3-1长方形断面的薄板弹簧

图23

弯曲较大的情况下，

变化到

，加上其他影响的计算结果如图24所示。

图24

图的横轴由

表示，纵轴由

，

表示，

表示板的弯曲刚度，

比较大的话，

。

看图24就可以明白，

的值较小的话，也就是负荷P较小的时候，

和

与1比较相近，

的时候，

，

。

因此，这种程度的变形，实际运用中也许并不被采用。

・2-3-2梯形单侧支撑薄板弹簧

图25

图26

梯形单侧支撑薄板弹簧的弯曲较大的时候近似值如图25,26所示。

横轴为

，以

为参数，纵轴展示的是弯曲和应力的减少率，这个适用于公式

。

フォームの始まり

记号的含义

弹簧的设计用记号如下记表1所示，横弹性系数G的值如表2所示。

表１.计算用记号及单位

記号

単位

记号的含义

材料的直径

弹簧中心径

自由高度

有效圈数

—

弹簧所受负荷

弹簧的弯曲

弹簧定数

N/mm

初张力

τi

初应力

扭转力矩，弯曲力矩

N/mm

拉伸应力

N/mm2

τ0

未修正剪断力

N/mm2

修正剪断力

N/mm2

应力修正系数

—

ｃ

弹簧系数

—

記号

単位

记号的含义

横弹性系数

N/mm2

表2.横弹性系数：

G（N/m㎡）

材料

Gの値

弹簧钢钢材

高碳素钢丝

高强钢丝

油回火钢丝

7.85×104

不锈钢

SUS304

SUS316

SUS631J1

6.85×104

7.35×104

黄铜丝

3.9×104

锌白铜丝

3.9×104

磷青铜丝

4.2×104

铍铜丝

4.4×104

线圈部分的弯曲及应力

线圈部分弯曲的基本公式是利用压缩弹簧的公式来进行计算的。

但是，对于负荷，要考虑到初张力，这个初张力为Pi，任意负荷为P

根据公式

（1），弯曲δ就为

另外，剪切应力τ0・τ和压缩弹簧相同，

公式如上。

钩子部分的应力

钩子部分，根据弯曲力矩和扭转力矩会发生拉伸应力以及剪断应力，正确的计算是非常复杂的。

这里就对半圆钩子，U型钩子进行简单的近似计算。

（i）半圆钩子的时候

图1中，拉伸应力的最大值在A部分的内侧，剪切应力的最大值在B部分的内侧发生。

A部分内侧的最大拉伸应力是弯曲力矩M和轴负荷P的拉伸应力的和，

这里的K1是基于曲率的应力集中系数，

代入下列公式。

整理公式（7），得到

但是K1为

这里，C为线圈部分的弹簧指数。

B部分内侧的最大剪断应力和扭转力矩M相关，得到

这里的K2是基于曲率的应力集中系数，

代入下列公式。

（ii）U型钩子的时候

图2中，拉伸应力的最大值在A部内侧，剪切应力的最大值在B部的内侧发生。

A部分内侧的最大拉伸应力是弯曲力矩M和轴负荷P的拉伸应力的和，公式为

这里K3是基于曲率的应力集中系数，

代入下列公式。

整理公式（13），得到

但是Ｋ′3为

B部分的最大剪切应力，和半圆钩子相同代入公式（11）。

另外，其他形状的钩子也是同样的考虑方法。

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