计算几何考试内容安徽工业大学.docx

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计算几何考试内容安徽工业大学

一、简答题:

1.Bezier曲线和B样条曲线提出的理由?

（参数三次样条的缺点,B样条方法的优点答:

参数三次样条曲线具有整体性、缺乏柔性、不易控制的弱点。

参数样条不具备形状定义和设计的灵活性;Bezier方法具有整体性和拼接问题的确定

B样条方法保留了Bezier方法的优点,同时克服了其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点,及解决在描述复杂形状时带来的连接问题。

2.写出构造曲面的三种基本方法,并写出他们分别作用于什么?

答:

①张量积法:

作用于呈矩形阵列的给定矢量

②母线法:

作用于一个参数方向上的给定曲线及导矢等

③布尔和法:

作用于两个参数方向上的给定曲线及导矢

3.写出Bezier曲线和B样条曲线的方程表达式?

答:

Bezier曲线:

为曲线的控制顶点数

Bernstein基函数

B样条曲线:

Ni,k（u称为k次B样条基函数。

它是由一个称为节点矢量的非递减参数u的序列U所决定的k次分段多项式,即k次多项式样条。

4.Bezier曲线升阶的作用?

什么时候用到升阶?

（为什么要升阶

答:

升阶即增加控制顶点,也就增加了对曲线进行形状控制的潜在灵活性。

比如,一个二次Bezier曲线,无论怎么调整顶点都不可能使曲线产生拐点,曲线“刚性”有余,“柔性”不足。

升阶可以降低其“刚性”,增加“柔性”。

升阶在构造曲面方面有着重要的应用。

对于一些由曲线生成曲面的算法,要求那些曲线必须是同次的,应用升阶方法,可以把所有这些曲线中低于最高次数者都提升到最高次,从而获得统一的次数。

5.叙述重节点对B样条曲线的影响。

答:

①k次B样条曲线在重复度为r的节点处是Ck-r连续的。

一条位置连续的曲线,其内节点所取的最大重复度等于曲线的次数k,端节点的最大重复度为k+1.

②当在曲线定义域内有重复度为k的节点时,k次B样条曲线插值于相应的控制顶点。

与设置k重顶点达到插值顶点不同之处在于,不致引起曲线在该点处切矢消失,保持曲线的正则性。

③当端节点重复度为k+1时,k次B样条曲线就具有k次贝齐儿曲线相同的端点几何性质④若端节点重复度为k+1的k次B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间,则所定义的该k

次B样条曲线就是k次贝齐儿曲线。

6.简述权因子对曲线形状的影响。

答:

（1若固定所有控制顶点及除ωi外所有其他权因子不变,当ωi变化时,p点随之移动,它在空

间扫描出一条过控制顶点di的一条直线。

当ωi→∞时,p趋近与控制顶点di重合。

（2权因子ωi的减小和增加起到了对曲线相对于顶点di的推拉作用。

7.简述NURBS方法的优点。

（几何不变性

答:

（1既为标准解析形状（初等曲线曲面也为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。

因此,一个统一的数据库就能存储这两类形状信息。

（2控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。

（3计算稳定且速度快

（4NURBS有明显的几何解释,使得它对有良好的几何知识尤其是画法几何知识的设计员特别有用。

10,（b（p0,≤≤=∑=ttBtn

jnjjb

jnjttCtBjnjjnnj,...,1,0,1（（,=-=-,0

（（niikipudNu==å

（5NURBS有强有力的几何配套技术（包括插入节点/细分/消去、升阶、分裂等,能用于设计、分析、处理等各个环节

（6NURBS在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下是不变的

（7NURBS是非有理B样条形式以及有理与非有理贝齐儿形式的合适推广

二、证明题

8.Bernstein基函数的性质证明。

（15分

证明:

①非负性:

证:

端点处:

②权性:

证:

③对称性:

证:

④递推性:

证:

⑤导数递推性:

证:

9.Bezier曲线的任意分割（15分

解:

（例12（2

njttCtBjnjjnnj,...,1,0,1（（,=-=-1

0≤≤t,1,0（00,

0jnjj=⎧=⎨≠⎩B,1,（10,jnjnjn=⎧=⎨≠⎩B1（0

≡∑=njnjtB∑∑==-=-=+-=njnjnjjnjinntttCtt00

（1（]1[（1B1（（,,tBtBnjnnj-=-jnjjnnjttCtB--=1（（,jjnjnjjnjnnnjnttCttCtB-----=-=-1（1（1（,1（

（（1（（001,11,,≡+-=---ttttttnjnjnj,其中,BBBB（（1（1（1（

1（（1（（1,11,111111,ttttttCttCttCCttCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjnjjnnj-------------+-=-+-=-+=-=BBB]

（（[（1,1,1,ttntnjnjnj----='BBB,11111

111,1,1（（1（（1（1（1[（（]jnjjnjjjnjnnjjnjjjnjnnjnjntCjttCnjttnCttnCttntt--------------¢=----=---=-BBB⎪⎩⎪⎨⎧-==+-====-+--=-∑k

njnktbbtkbnktBtkjkjjk

jknjknjk

j,...,2,1,0,,...,2,11（0b,...,1,0,（b（p1110

10.B样条的递归求点算法（20分

11.B样条曲线的局部性质。

（10分

局部性完整表述:

①次B样条曲线上定义域内参数为u∈[ui,ui+1]的一点p（u至多与k+1个顶点dj（j=i-k,i-k+1,…,i有关,与其它顶点无关。

②移动第i个控制顶点di至多影响到定义在区间（ui,ui+k+1上那部分曲线,对B样条曲线的其他部分将不发生影响。

③k次B样条曲线的定义域为u∈[uk,un+1]

④[ui,ui+1]上的k次B样条基仅涉及节点序列ui-k+1,…,ui+k,共包含2k个节点

12.写出NURBS曲线的三种定义表示及作用（10分

答:

定义表示①有理分式表示:

其中,wi,i=0,1,…,n为与控制顶点相联系的权因子。

w0,wn>0

其余wi≥0。

Ni,k为k次规范B样条基函数。

②有理基函数表示

有理B样条基函数的性质:

•局部支撑性质

•规范性

•可微性

节点区间内,节点区间上

∑∑===n

oikiin

o

ikiiiuNuNu

（

（d（p,,ωω∑==n

oikiiuRu

（d（p,∑==no

jkjjkiikiuNuNuR（（（,,,ωω]

[,0（1,++∉=kiikiuuuuR1（,≡∑=no

ikiuR∞CrkC-

若若若若wi=0，则Ri,k（u=0wi®¥，则Ri,k（u=1wj®¥，则Ri,k（u=0，则wj=1,j=1,2,...,nìBi,k（u,ïRi,k（u=íïîNi,k（uifU=[0,...,0,1,...,1]{123k+1k+1otherwise③齐次坐标表示XYZìw¹0ï[x,y,z]=[,,]ifH{[X,Y,Z,w]=íwwwï[X,Y,Z]的直线的无限远点î在从原点通过ifw=0三种表示的不同作用：

三种等价表示虽是等价的，但却具有不同的作用。

分式表示是有理的由来，从NURBS曲线的有理分式表示可见，当所有权因子均为相同的非零有限值时，约去分子分母的公因子，由B样条基函数的规范性，分母将等于1.这时NURBS曲线就变成了非有理B样条曲线。

可见，有理是权因子引起的，但从中难以了解到更多的性质。

从NURBS曲线的有理基函数表示形式中，我们从有理基函数的性质就较清楚地了解到NURBS曲线的性质，也可以说权因子通过改变基函数间接影响曲线的参数化，但未揭示出NURBS曲线的生成原理NURBS曲线的齐次坐标表示告诉我们，NURBS曲线是在高一维空间里它的控制顶点的齐次坐标或带权控制顶点所定义的非有理B样条曲线在w=1超平面上的投影。

这给出了NURBS曲线的几何意义和生成的几何原理。

NURBS曲线的齐次坐标表示告诉我们，非有理B样条曲线的大多数算法可以推广应用于NURBS曲线。