概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第二章.docx

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概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第二章

第二章随机变量及其分布

2.1随机变量

习题1

随机变量的特征是什么?

解答:

①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2

试述随机变量的分类.

解答:

①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.

②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.

习题3

盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

解答:

分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下:

             X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

则X取每个值的概率为

   P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

   P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

   P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.

2.2离散型随机变量及其概率分布

习题1

设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.

解答:

由P{X=1}=P{X=2}, 得

                 λe-λ=λ22e-λ,

解得

                    λ=2.

习题2

设随机变量X的分布律为

           P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,

试求

(1)P{12

(2)P{1≤X≤3};   (3)P{X>3}.

解答:

(1)P{12

(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

              =115+215+315=25;

(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.

习题3

已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.

解答:

依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得

                 c=3716=2.3125.

由条件概率知

     P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}

                   =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.

习题4

一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.

解答:

随机变量X的可能取值为3,4,5.

P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,

所以X的分布律为

X

3

4

5

pk

1/10

3/10

3/5

习题5

某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下:

X

10

20

30

40

pi

0.15

0.25

0.45

0.15

求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.

解答:

因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为:

   P{3X>60}, 即P{X>20},

   P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.

就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.

习题6

设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求:

(1)X的概率分布;            

(2)P{X≥5};

(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?

解答:

(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;

(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;

(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足

               P{X≥m}=0.6,

即P{X≤m-1}=0.4.由于

      P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,

故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得

                 m≈4.85≈5,

因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.

习题7

设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.

解答:

此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1.

X=0表示未投中,其概率为

          p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,

X=1表示投中一次,其概率为

         p2=P{X=1}=0.6.

则随机变量的分布律为 

X

  0 

  1 

P

 0.4 

 0.6 

习题8

某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.

解答:

设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为

P{X=0}=C73C103=35120,     P{X=1}=C73C31C103=36120,

P{X=2}=C71C32C103=21120,    P{X=3}=C33C103=1120.

X的分布律为

 X

   0123 

 P

 3512036120211201120

习题9

一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.

解答:

由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.

设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为

    P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.

习题10

设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.

解答:

因为X∼b(2,p),

       P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,

所以p=1/3.

因为Y∼b(3,p), 所以

      P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.

习题11

纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.

解答:

以X记纺锭断头数,

              n=800,p=0.005,np=4,

应用泊松定理,所求概率为:

    P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)

                 ≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!

+422!

)≈0.2381.

习题12

设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.

解答:

\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即

              λ11!

e-λ=λ22!

e-λ⇒λ=2,

∴P{X=0}=e-2,

∴p=(e-2)4=e-8.

2.3随机变量的分布函数

习题1

F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.

解答:

离散.

由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.

习题2

设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数.

解答:

首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).

其次,F(x)单调不减且右连续,即

         F(0+0)=F(0)=0,  F(1+0)=F

(1)=1,

且       F(-∞)=0,F(+∞)=1,

所以F(x)是随机变量的分布函数.

习题3

已知离散型随机变量X的概率分布为

P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,

试写出X的分布函数F(x),并画出图形.

解答:

由题意知X的分布律为:

  135 

 Pk

 0.30.50.2

所以其分布函数

F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.

F(x)的图形见图.

习题4

设离散型随机变量X的分布函数为

           F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,

试求:

(1)X的概率分布;    

(2)P{X<2∣X≠1}.

解答:

(1)

 X

-113 

 pk

 0.40.40.2

(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.

习题5

设X的分布函数为

           F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,

求P{0.40.5},P{1.7

解答:

P{0.4

P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,

P{1.7

(2)-F(1.7)=1-1=0.

习题6

设随机变量X的分布函数为

        F(x)=A+Barctanx(-∞

试求:

(1)系数A与B;        

(2)X落在(-1,1]内的概率.

解答:

(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1, 可知

          {A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,

于是

         F(x)=12+1πarctanx, -∞

(2)P{-1

(1)-F(-1)

                 =(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]

                 =12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.

习题7

在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.

解答:

              F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x

 2.4连续型随机变量及其概率密度

习题1

设随机变量X的概率密度为

f(x)=12πe-(x+3)24(-∞

则Y=¯∼N(0,1).

解答:

应填3+X2.

由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以

Y=3+X2∼N(0,1).

习题2

已知X∼f(x)={2x,0

解答:

P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,

P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.

当X≤0时,F(x)=0;

当0

当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故

            F(x)={0,x≤0x2,0

习题3

设连续型随机变量X的分布函数为

          F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,

试求:

(1)A,B的值;

(2)P{-1

解答:

(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1,  ∴A=1;

又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0,     ∴B=-1.

(2) P{-1

(1)-F(-1)=1-e-2.

(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.

习题4

服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).

解答:

由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1, 即

                      ∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,

而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx

              =Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A

或   ∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A, 所以2A=1, 即A=1/2.

从而f(x)=12e-∣x∣,-∞

当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;

当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt

               =12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,

从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.

习题5

某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度

                 f(x)={100x2,x≥1000,其它,

某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.

解答:

设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为

    P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx

              =-100x∣150+∞=100150=23,

从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为

             p=(2/3)3=8/27.

习题6

设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.

解答:

设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布.设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数.由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数

             n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,

所以        P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.

习题7

设X∼N(3,22).

(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};

(2)设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?

解答:

因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).

(1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即

                 P{X≤c}=1/2,

亦即Φ(c-32)=12, 所以

              c-32=0, 故c=3.

(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即

               P{X≤d}≤0.1.

于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.

查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.

习题8

设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.

解答:

先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,

    p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}

      =1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]

     =1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.

设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).

因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ, 所以

    P{Y≥3}≈1-50e-50!

-51e-51!

-52e-52!

=1-3722-5≈0.87.

习题9

某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定.根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:

工人每月需完成多少件产品才能获奖?

解答:

用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).

设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1, 即

                 1-P{X

所以1-F(x)=0.1, 即  1-Φ(x-400060)=0.1, 所以

                Φ(x-400060)=0.9.

查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997, 因此

           x-400060≈1.28, 即x=4077件,

就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.

习题10

某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.

(1)求P{X≤105},P{100

(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.

解答:

已知血压X∼N(110,122).

(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,

 P{100

                 =Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.

(2)使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即

               Φ(x-11012)≥0.95,

查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74.

习题11

设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.

解答:

X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).

设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而

             P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,

即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.

因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.

习题12

某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:

分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:

(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?

(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?

解答:

设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则

                      X∼N(40,102),Y∼N(50,42). 

哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.

(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ

(2)=0.97725,

       P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,

所以有60分钟时应走第二条路.

(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,

       P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075

所以只有45分钟应走第一条路.

 2.5随机变量函数的分布

习题1

已知X的概率分布为

X

-2

-1

0

1

2

3

pi

2a

1/10

3a

a

a

2a

 

试求:

(1)a;    

(2)Y=X2-1的概率分布.

解答:

(1)\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,

   ∴a=1/10.

(2) 

Y

-1

0

3

8

pi

3/10

1/5

3/10

1/5

习题2

设X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,⋯, 求Y=sinπ2X的分布律.

解答:

因为

             sinxnπ2={1,当n=4k-10,当n=2k-1,当n=4k-3,

所以Y=sin(π2X)只有三个可能值-1,0,1. 容易求得

        P{Y=-1}=215,P{=0}=13,P{Y=1}=815

故Y的分布律列表表示为

 -101

 P

 21513815

习题3

设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0), 试求随机变量Y的密度函数.

解答:

         fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,

当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,

当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.

习题4

设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).

解答:

              f(x)={1,0≤x≤10,其它,

f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得

       f(x)={fX(lny)∣ln′y,1

习题5

设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.

解答:

因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).

    FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)

         =P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,

所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是

     fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤

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