春人教版八年级下册数学第18章 平行四边形教案.docx

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春人教版八年级下册数学第18章平行四边形教案

18．1　平行四边形

18．1.1　平行四边形的性质

第1课时　平行四边形的边、角的特征

1．理解平行四边形的概念；（重点）

2．掌握平行四边形边、角的性质；（重点）

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．（难点）

一、情境导入

如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？

它又具有哪些基本性质呢？

二、合作探究

探究点一：

平行四边形的定义

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

解析：

根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．

证明：

∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：

平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．

探究点二：

平行四边形的边、角特征

【类型一】利用平行四边形的性质求边长

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．

解析：

∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.

方法总结：

本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

【类型二】利用平行四边形的性质求角

如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为（　　）

A．35°　　　　　　　B．55°

C．25°　　　　　　　D．30°

解析：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.

方法总结：

平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．

【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论

如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：

FP＝EP.

解析：

根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根据“等角的补角相等”求出∠DCP＝∠FCP，根据“SAS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵

∴△PCF≌△PCE（SAS），∴PF＝PE.

方法总结：

平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．

【类型四】判断直线的位置关系

如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？

请证明．

解析：

由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．

解：

DM与MC互相垂直．证明如下：

∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，则∠MDC＝

∠ADC，同理∠MCD＝

∠BCD.∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠DCB＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝

∠BCD＋

∠ADC＝90°.∵∠MDC＋∠MCD＋∠DMC＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．

方法总结：

根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．

探究点三：

两平行线间的距离

如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．

解析：

结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：

∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝

GH·h，S△FGH＝

GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．

方法总结：

根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．

三、板书设计

1．平行四边形的定义

2．平行四边形的边、角特征

3．两平行线间的距离

学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率．

第2课时　平行四边形的对角线的特征

1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）

2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．（难点）

一、情境导入

如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？

二、合作探究

探究点一：

平行四边形的对角线互相平分

【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段

已知▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．

解析：

平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵▱ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝

cm，AD＝BC＝

cm.

方法总结：

平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．

【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.求证：

OE＝OF.

解析：

根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，

∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE＝OF.

方法总结：

利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．

【类型三】判断直线的位置关系

如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．

解析：

根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOB可得出BE＝DF，BE∥DF.

解：

BE＝DF，BE∥DF.理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OF，又∵∠FOD＝∠EOB，∴△FOD≌△EOB（SAS），∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.

方法总结：

在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．

探究点二：

平行四边形的面积

在▱ABCD中，

（1）如图①，O为对角线BD、AC的交点．求证：

S△ABO＝S△CBO；

（2）如图②，设P为对角线BD上任一点（点P与点B、D不重合），S△ABP与S△CBP仍然相等吗？

若相等，请证明；若不相等，请说明理由．

解析：

（1）根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO＝CO，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（2）根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．

（1）证明：

在▱ABCD中，AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝

AO·h，S△CBO＝

CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；

（2）解：

S△ABP＝S△CBP.理由如下：

在▱ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝

BP·h，S△CBP＝

BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.

方法总结：

平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．

三、板书设计

1．平行四边形对角线互相平分

2．平行四边形的面积

通过分组讨论学习和自主探究，加强了学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识增强，与同学交流学习的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，教学相长．

18．1.2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定

（1）

1．掌握平行四边形的判定定理；（重点）

2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．（难点）

一、情境导入

我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：

1．两组对边分别平行且相等；

2．两组对角分别相等；

3．两条对角线互相平分．

那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？

当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？

二、合作探究

探究点一：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．

解析：

根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．

解：

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

方法总结：

利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．

探究点二：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.

（1）求∠D的度数；

（2）求证：

四边形ABCD是平行四边形．

解析：

（1）可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；

（2）根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．

（1）解：

∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；

（2）证明：

∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：

根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．

探究点三：

对角线相互平分的四边形是平行四边形

如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：

（1）△AOC≌△BOD；

（2）四边形AFBE是平行四边形．

解析：

（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

（2）此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．

证明：

（1）∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵

∴△AOC≌△BOD（AAS）；

（2）∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝

OD，OE＝

OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：

在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

探究点四：

平行四边形的判定定理

（1）的应用

【类型一】利用平行四边形的判定定理

（1）证明线段或角相等

如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

解析：

根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD.利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形，从而得出DE＝BF，DE∥BF.

解：

DE＝BF，DE∥BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF，DE∥BF.

方法总结：

平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．

【类型二】平行四边形的判定定理

（1）的综合运用

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？

写出你的结论并予以证明．

解析：

（1）根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；

（2）首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）解：

四边形BFDE是平行四边形．理由如下：

∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．

方法总结：

熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相等可判定四边形是平行四边形．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理

（1）

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线相互平分的四边形是平行四边形．

2．平行四边形的判定定理

（1）的应用

在整个教学过程中，以学生看、想、议、练为主体，教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨．判定方法是学生自己探讨发现的，因此，应用也就成了学生自发的需要．在证明命题的过程中，学生自然将判定方法进行对比和筛选，或对一题进行多解，便于思维发散，不把思路局限在某一判定方法上．

第2课时　平行四边形的判定

（2）

1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；（重点）

2．掌握中位线的定义及中位线定理；（重点）

3．平行四边形性质与判定的综合运用．（难点）

一、情境导入

如图所示，吴伯伯家一块等边三角形ABC的空地，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？

二、合作探究

探究点一：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

【类型一】判定四边形是平行四边形

如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？

请说明理由．

解析：

首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．

解：

四边形ABCD是平行四边形．理由如下：

∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：

根据题设条件，通过证明三角形全等，得出等量关系，继而证明四边形是平行四边形是判定时的一般解题思路．

【类型二】判定平行四边形的条件

四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：

①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）

A．3种　　B．4种　　C．5种　　D．6种

解析：

①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；③④组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD为平行四边形；综上有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选B.

方法总结：

熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．

探究点二：

三角形的中位线

【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为（　　）

A.

B．3

C．6

D．9

解析：

∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.

方法总结：

本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．

【类型二】利用三角形中位线定理求角

如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为（　　）

A．80°　　　B．90°

C．100°D．110°

解析：

∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.

方法总结：

中位线定理涉及平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．

【类型三】运用三角形的中位线性质进行计算

如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．

解析：

首先证明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC，易得MN为△BCD的中位线，即可解决问题．

解：

∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与△AMC中，

∴△AMD≌△AMC（ASA），∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝

BD＝

×（5－3）＝1.

方法总结：

当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．

【类型四】中位线定理的综合应用

如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

解析：

本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．

解：

AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，

∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.

方法总结：

本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理

（2）

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

2．三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环．

18．2　特殊的平行四边形

18．2.1　矩　形

第1课时　矩形的性质

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；（重点）

2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；（重点）

3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．（难点）

一、情境导入

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．

二、合作探究

探究点一：

矩形的性质

【类型一】运用矩形的性质求线段或角

在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　）

A．1cm　　B．2cm　　C．2.5cm　　D．4cm

解析：

在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.

方法总结：

解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．

【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题

如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）

A.

B.

C.

D.

解析：

∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴S阴影＝S△AOB＝

S矩形ABCD