4、如图3，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为
三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于（）
A．1∶1∶1
B．1∶2∶3
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5图3
5、如图4所示，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则
∠C=。
6、如图5，已知△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠AEB=。
7、如图6，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C′、D′的位置上，EC′交AD
于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=。
8、如图7，已知，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，图中共有对全等三角形。
9、如图8，已知AB=DE，AB∥DE，AF=DC，求证：
BC=EF。
10、如图9所示，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：
BC=AD。
（B）能力提高
1、如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝2，求两
平行线间的距离为______________。
2、如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C
点恰好与D点重合，则∠A等于度。
3、如图，P为∠AOB内一点，OA=OB，△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP。
4、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，且AE＝AC，∠BAC的平分线AD与BC交于点D
（1）根据上述条件，用尺规在图中作出点E和∠BAC的平分线AD（不要求写出作法，但要保
留作图痕迹）；
（2）证明：
DE⊥AB
（C）趣味数学
过桥
今有abcd 四人在晚上都要从桥的左边到右边。
此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。
四人过桥最快所需时间如下为：
a 2 分；b 3 分；c 8 分；d 10分。
走的快的人要等走的慢的人，请问如何的走法才能在 21 分 让所有的人都过桥？
四、考考你
1、如图1，△ABC≌△CDA，AB=5，BC=7，AC=6，则AD边的长为（）
A．5B．6C．7D．不确定
2、如图2，△ABC≌△AED，AD与AC是对应边，∠B和∠E是对应角，则与∠DAC相等的角是（）
A．∠ACBB．∠CAEC．∠BAED．∠BAC
3、如图3，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB=8cm，BD=6cm，
AD=5cm，则BC=cm。
4、如图4，若△ABC≌△EBD，且BD=4cm，∠D=60°，则∠ACE=，BC=cm。
5、如图5，已知△ACE≌△DBF，则AC=，CD=，∠A=，
∠ECA=。
6、如图6，将长方形纸片ABCD（AD＞AB）沿AM折叠，使D点落在BC上，如果AD=10cm，
DM=8.4cm，∠DAM=40°，则AN=cm，∠NAB=。
五、课外练习
如图，AC既平分∠BAD，又平分∠BCD，点E在AC上
（1）BE与DE相等吗？
为什么？
（2）若点E在AC的延长线上，其他条件不变，则第
（1）题中的结论还成立吗？
说明理由
初二数学（巩固）班补充讲义（57期）
第二讲全等三角形
（二）
1、如图所示，过线段AB的两端作直线L1∥L2，作同旁内角的平分线交于点E，过点E作直线DC分别和直线L1、L2交点D、C，且点D、C在AB的同侧，与A、B不重合
（1）用圆规、直尺测量比较AD+BC和AB是不是相等，写出你的结论；
（2）用已学过的原理对结论加以分析，揭示其中的规律
2、如图，在△ABC中，分别延长中线BE，CD至F、H，使EF=BE，DH=CD，连接AF、AH。
求证：
AF=AH。
3、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25，
（1）△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？
如果有，请作出这一点，并说明理由；
（2）求这个距离。
【课堂小测】（每小题20分，共100分）
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E点，已知AB=10cm，则△DEB的周长为（）
A．4cmB．10cmC．20cmD．无法确定
2、如图2，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OD⊥BC于D，如果AB=15cm，
BC=25cm，AC=20cm，且三角形的面积S△ABC=150cm2，那么OD=cm。
3、如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D点到直线AB
的距离是cm。
4、如图4，AB∥DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需补充的条件可以是（）
A．AC=EFB．AB=DEC．∠B=∠ED．不用补充
5、如图5所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它
到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A．1处B．2处
C．3处D．4处
初二数学（巩固）班讲义第二讲参考答案（57期）
一、主要知识点回顾
1、BOC
2、
（1）PE
（2）平分线。
二、感悟与实践
例题1、证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴∠BED=∠CFD=90°，DE=DF，又∵BD＝CD，
∴△DBE≌△DCF（HL），∴BE＝CF
变式练习1、答：
AD与EF垂直。
证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC。
∴DE=DF
又∵AD=AD，则RtΔAED≌RtΔAFD（HL）。
∴AE=AF
∴ΔAEF是等腰三角形，∴AD⊥EF（等腰三角形的性质“三线合一”）
例题2、证明：
∵BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E；∴∠FDC=∠FEB=90°
又∵∠DFC=∠EFB，CF=BF；∴△DFC≌△EFB（AAS），∴DF=EF，
∴点F在∠A的平分线上。
变式练习2、证明：
作ME⊥AD，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，
∵M为BC中点，∴MB=MC，
又∵ME=MC，∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB
例题3、答：
如图，三角形两内角角平分线的交点。
变式练习3、做∠AOB的角平分线，与EF的交点即为P。
例题4、答：
相等；
证明：
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD
∴△OBD≌△OAD（SAS）∴∠BDO=∠ADO
∴OD是∠ADB的角平分线
又∵PM⊥BD，PN⊥AD∴PM=PN
例题5、解：
（1）方案（I）不可行，缺少证明三角形全等的条件。
（2）方案（II）可行。
证明：
在△OPM和△OPN中∵
∴△OPM≌△OPN（SSS）∴∠AOP=∠BOP
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行。
∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，∠OMP=∠ONP=90°，
∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线。
当∠AOB不为直角时，此方案不可行。
三、巩固与提高
（A）巩固练习
1、B2、D3、B4、C
5、30°6、120°7、64°8、3
9、∵AB∥DE，∴∠A=∠D，又∵AF=DC，∴AC=DF，∴△ABC≌△DEF，∴BC=EF
10、∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ADB是RT△，△ACB是RT△，∵AC=BD，AB=BA
∴RT△ADB≌RT△BCA（HL）∴AD=BC
（B）能力提高
1、42、30
3、证明：
分别过点A、点B作OP的垂线AC、AD，∵△OPA与△OPB面积相等，∴AC=AD
∴OA=OB，∴RT△AOC≌RT△BOD（HL）
∴∠BOP=∠AOP
4、解：
（1）
（2）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD
在△CAD与△EAD中，∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，AC＝AE
∴△CAD≌△EAD，∴∠DEA＝∠DCA＝90°，∴DE⊥AB
（C）趣味数学
先是a和b一起过桥，然后将b留在对岸，a独自返回。
a返回后将手电筒交给c和d，让c和d一起过桥，c和d到达对岸后，将手电筒交给b，让b将手电筒带回，最后a和b再次一起过桥。
则所需时间为：
3+2+10+3+3=21分钟。
四、考考你
1、C2、C3、54、120°；4
5、BD；AB；∠D；∠FBD；6、10；10°
五、课外练习
证明：
（1）∵AC既平分∠BAD，又平分∠BCD，∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（ASA），∴BA=DA
∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE=DE
（2）仍然成立.理由同
（1）
初二数学（巩固）班补充讲义第二讲参考答案（57期）
1、
（1）解：
AD+BC=AB
（2）如答图所示，延长AE与交于点F，
∵L1∥L2，∴∠1=∠F，
∵∠1=∠2，∴∠2=∠F，∴BA=BF，∴△BAF为等腰三角形.
∵∠3=∠4，∴EA=EF.
在△AED和△FEC中，
∠1=∠F，
AE=FE，
∠5=∠6，
∴△AED≌△FEC，∴AD=CF
∵BF=BC+CF，∴BF=BC+AD，故BC+AD=AB
2、证明：
∵BD=AD，∠BDC=∠ADH，CD=HD
∴△BDC≌△ADH（SAS）∴AH=BC，
同理可证△BCE≌△FAE∴BC=FA
∴AF=AH
3、
（1）作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P为符合要求的点，如图所示，
作PF⊥BC，PE⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为F、E、G
因为AP是∠BAC的平分线，所以PE＝PG
因为CP是∠ACB的平分线，所以PF＝PG
所以PE＝PG＝PF
（2）连接BP，设PE＝PG＝PF＝
因为
即
AB×BC＝
AB
+
AC
+
BC
7×24＝（7+24+25）
∴
即这个距离为3
【课堂小测】
1、B2、53、34、B5、D
升级会员 