高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 132第2课时.docx

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高中数学必修1第一章集合与函数概念132第2课时

第2课时　奇偶性的应用

学习目标

　1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.理解函数的奇偶性的推广——对称性.

知识点一　用奇偶性求解析式

思考　函数f（x）在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点（x，y）有什么关系？

答案　点（x，y）满足y＝f（x）.

梳理　一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式，该等式同时满足两个条件：

①定义域符合要求；

②图象上任意一点均满足该式.

特别地，如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求对称区间[－b，－a]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点（x，y），通过关于原点（或y轴）的对称点（－x，－y）（或（－x，y））满足的关系式间接找到（x，y）所满足的解析式.

知识点二　奇偶性与单调性

思考　观察偶函数y＝x2与奇函数y＝

在（－∞，0）和（0，＋∞）上的单调性，你有何猜想？

答案　偶函数y＝x2在（－∞，0）和（0，＋∞）上的单调性相反；奇函数y＝

在（－∞，0）和（0，＋∞）上的单调性相同.

梳理　一般地，若函数f（x）为奇函数，则f（x）在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f（x）为偶函数，则f（x）在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.

知识点三　奇偶性的推广

思考　对于定义域内任意x，若f（－x）＝－f（x），则函数f（x）的图象关于（0,0）对称，那么若f（1－x）＝－f（1＋x），函数f（x）的图象又有什么特点？

答案　设1－x＝x1,1＋x＝x2，则有

即点（x1，f（x1））与点（x2，f（x2））关于点（1,0）对称.

梳理　一般地，对于定义域内任意x，

（1）若f（a－x）＝2b－f（a＋x），则f（x）图象关于点（a，b）对称.当a＝b＝0时，即为奇函数定义.

（2）若f（a－x）＝f（a＋x），则f（x）图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数定义.

类型一　用奇偶性求解析式

命题角度1　已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式

例1　函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求当x<0时，f（x）的解析式.

解　设x<0，则－x>0，

∴f（－x）＝－（－x）＋1＝x＋1，

又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，

∴f（－x）＝－f（x）＝x＋1，

∴当x<0时，f（x）＝－x－1.

反思与感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.

跟踪训练1　已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2.求y＝f（x）的解析式.

解　设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，

所以f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.

因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.

所以f（x）＝

命题角度2　已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式

例2　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝

，求函数f（x），g（x）的解析式.

解　∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

由f（x）＋g（x）＝

.①

用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝

，

∴f（x）－g（x）＝

，②

（①＋②）÷2，得f（x）＝

；

（①－②）÷2，得g（x）＝

.

反思与感悟　f（x）＋g（x）＝

对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.

因为f（x），g（x）一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f（x），g（x）的二元方程组，从中解出f（x）和g（x）.

跟踪训练2　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.

解　∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①

用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，

∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②

（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；

（①－②）÷2，得g（x）＝2x.

类型二　奇偶性对单调性的影响

命题角度1　由x的取值情况推导fx的取值情况

例3　设f（x）是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f（x）在区间[－b，－a]上是增函数.

证明　设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.

∵－b≤x1＜x2≤－a，

∴a≤－x2＜－x1≤b.

∵f（x）在[a，b]上是减函数，

∴f（－x2）＞f（－x1）.

∵f（x）为偶函数，即f（－x）＝f（x），

∴f（－x2）＝f（x2），f（－x1）＝f（x1）.

∴f（x2）＞f（x1），即f（x1）＜f（x2）.

∴函数f（x）在区间[－b，－a]上是增函数.

引申探究　

区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称.

（1）若f（x）为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f（x）在[－b，－a]上有最________值________.

（2）若f（x）为奇函数，f（x）＋2在[a，b]上有最大值M，则f（x）＋2在[－b，－a]上有最________值________.

答案　

（1）小　－M　

（2）小　－M＋4

解析　

（1）设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，

∴f（－x）≤M且存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝M.

∵f（x）为奇函数，∴－f（x）≤M，f（x）≥－M，

且存在－x0∈[－b，－a]，使f（－x0）＝－M.

∴f（x）在[－b，－a]上有最小值－M.

（2）由

（1）知，f（x）在[a，b]上有最大值M－2时，

f（x）在[－b，－a]上有最小值－M＋2.

∴f（x）＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.

反思与感悟　与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间.

跟踪训练3　已知函数y＝f（x）是偶函数，当x>0时，有f（x）＝

，则当x∈[－4，－1]时，求函数f（x）的值域.

解　设1≤x1

－

＝

＝

.

因为1≤x1

所以x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，

所以

<0，即f（x1）－f（x2）<0，

所以f（x1）

故函数f（x）在[1,4]上是增函数，

所以当x∈[1,4]时，函数f（x）的值域是[

，

].

因为y＝f（x）是偶函数，所以当x∈[－4，－1]时，

函数f（x）的值域也是[

，

].

命题角度2　由fx的取值情况推导x的取值情况

例4　已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f

（2）＝0.若f（x－1）>0，则x的取值范围是________.

答案　（－1,3）

解析　∵f（x）为偶函数，

∴f（x－1）＝f（|x－1|），

又f

（2）＝0，∴f（x－1）>0，

即f（|x－1|）>f

（2），

∵|x－1|,2∈[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上单调递减.

∴|x－1|<2，即－2

∴x的取值范围为（－1,3）.

反思与感悟　若f（x）在[a，b]上单调递增，则x1，x2∈[a，b]时，可由f（x1）

这时如果已知函数奇偶性，可以借助奇偶性把x1，x2转化为在已知区间[a，b]内，如本例中x－1是否属于[0，＋∞）不确定，但是|x－1|∈[0，＋∞）.

跟踪训练4　奇函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，解不等式f（x－1）＋f（2x＋3）>0.

解　∵f（x）在[0，＋∞）上单调递减且为奇函数，

∴f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，

∴f（x－1）＋f（2x＋3）>0⇔f（x－1）>－f（2x＋3）＝f（－2x－3）⇔x－1<－2x－3，

解得x<－

，∴原不等式解集为{x|x<－

}.

类型三　对称问题

例5　定义在R上的奇函数f（x）满足：

f（x－4）＝－f（x），且x∈[0,2]时，f（x）＝x，试画出f（x）的图象.

解　∵f（x）是奇函数，∴f（x－4）＝－f（x）＝f（－x），

∴f（x）关于直线x＝－2对称.

反复利用f（x）关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f（x）的图象如图：

反思与感悟　奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心（或对称轴），而应用对称性与应用奇偶性完全类似.

跟踪训练5　定义在R上的偶函数f（x）满足：

f（x－4）＝－f（x），且x∈[0,2]时，f（x）＝x.试画出f（x）的图象.

解　∵f（x）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称.

又∵f（x－4）＝－f（x），∴f（x）关于点C（－2,0）对称.

反复利用f（x）关于（－2,0）对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：

1.f（x）＝x2＋|x|（　　）

A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数

C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数

D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数

答案　D

2.已知f（x）是奇函数，且x>0时，f（x）＝x－1，则x<0时f（x）等于（　　）

A.x＋1B.x－1

C.－x－1D.－x＋1

答案　A

3.若奇函数f（x）在R上是增函数，则函数y＝f（－x）在R上是（　　）

A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数

C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数

答案　B

4.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）

A.ab

C.|a|<|b|D.0≤ab≥0

答案　C

5.已知对于函数f（x）＝x2＋ax定义域内任意x，有f（1－x）＝f（1＋x），则实数a等于（　　）

A.1B.－1C.2D.－2

答案　D

1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.

2.

（1）根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f（0）有意义，那么一定有f（0）＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.

（2）偶函数的一个重要性质：

f（|x|）＝f（x），它能使自变量化归到[0，＋∞）上，避免分类讨论.

3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：

（1）奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.

（2）偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.

课时作业

一、选择题

1．已知奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（x）

（1）的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，－1）

C．（0,1）D．[－1,1）

答案　A

解析　由于f（x）在[0，＋∞）上单调递增，且是奇函数，

所以f（x）在R上单调递增，

f（x）

（1）等价于x<1.故选A.

2．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋1，则f（x）等于（　　）

A．x2B．2x2

C．2x2＋2D．x2＋1

答案　D

解析　∵f（x）＋g（x）＝x2＋3x＋1，①

∴f（－x）＋g（－x）＝x2－3x＋1.

又f（x）是偶函数，且g（x）是奇函数，

∴f（x）－g（x）＝x2－3x＋1.②

由①②联立，得f（x）＝x2＋1.

3．若函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）上是增函数，则下列关系成立的是（　　）

A．f（－3）>f（0）>f

（1）

B．f（－3）>f

（1）>f（0）

C．f

（1）>f（0）>f（－3）

D．f

（1）>f（－3）>f（0）

答案　B

解析　∵f（－3）＝f（3），且f（x）在区间[0，＋∞）上是增函数，∴f（－3）>f

（1）>f（0）．

4．若奇函数f（x）在区间[2,5]上的最小值是6，那么f（x）在区间[－5，－2]上有（　　）

A．最小值6B．最小值－6

C．最大值－6D．最大值6

答案　C

解析　因为奇函数f（x）在[2,5]上有最小值6，

所以可设a∈[2,5]，有f（a）＝6.由奇函数的性质，f（x）在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f（－a）＝－f（a）＝－6.

5．设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（　　）

A．[m，－m]B．（－∞，m]

C．[－m，＋∞）D．（－∞，m]∪[－m，＋∞）

答案　D

解析　当x≥0时，f（x）≤m；

当x≤0时，－x≥0，

所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）≤m，

即f（x）≥－m.

6．定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上是增函数，且f（x＋2）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，则（　　）

A．f（－1）＜f（3）

B．f（0）＞f（3）

C．f（－1）＝f（3）

D．f（0）＝f（3）

答案　A

解析　f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（3）＝f

（1），由于f（x）在（－∞，2）上是增函数，所以f（－1）＜f

（1）＝f（3）．

7．设奇函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，且f

（1）＝0，则不等式

＜0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（1，＋∞）

B．（－∞，－1）∪（0,1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

D．（－1,0）∪（0,1）

答案　C

解析　∵f（x）为奇函数，

＜0，

即

＜0，

∵f（x）在（0，＋∞）上为减函数且f

（1）＝0，

∴当x＞1时，f（x）＜0.

∵奇函数图象关于原点对称，

∴在（－∞，0）上f（x）为减函数且f（－1）＝0，

即x＜－1时，f（x）＞0.

综上使

＜0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

二、填空题

8．若函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的递减区间是________．

答案　[0，＋∞）

解析　利用函数f（x）是偶函数，得k－1＝0，k＝1，

所以f（x）＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞）．

9．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）

）的x的取值范围是________．

答案　（

，

）

解析　由于f（x）是偶函数，因此f（x）＝f（|x|），

∴f（|2x－1|）

），再根据f（x）的单调性，

得|2x－1|<

，解得

.

10．已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f

（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.

答案　－1

解析　∵y＝f（x）＋x2是奇函数，

∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，

∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，

∴f

（1）＋f（－1）＋2＝0.

∵f

（1）＝1，∴f（－1）＝－3.

∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.

11．若函数f（x）＝

为奇函数，则f[g（－1）]＝________.

答案　－15

解析　当x＜0时，则－x＞0，由f（x）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）＝（－x）2－2x＝x2－2x，

所以f（x）＝－x2＋2x.

即g（x）＝－x2＋2x，

因此，f[g（－1）]＝f（－3）＝－9－6＝－15.

12．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，则f（x）＝________，g（x）＝________.

答案　x2－2　x

解析　∵f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，

由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

得f（x）－g（x）＝x2－x－2.

又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，

两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x.

13．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2－4x，那么，不等式f（x＋2）<5的解集是________．

答案　（－7,3）

解析　因为f（x）为偶函数，所以f（|x＋2|）＝f（x＋2），则f（x＋2）<5可化为f（|x＋2|）<5，则|x＋2|2－4|x＋2|<5，即（|x＋2|＋1）（|x＋2|－5）<0，

所以|x＋2|<5，解得－7

三、解答题

14．已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

（1）试求f（x）在R上的解析式；

（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．

解　

（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，

所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.

设x<0，则－x>0，

因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.

所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.

于是有f（x）＝

（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．

由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）．

15．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且f（2a2＋a＋1）

解　由f（x）在R上是偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，

可知f（x）在（0，＋∞）上单调递减．

∵2a2＋a＋1＝2（a＋

）2＋

>0，

2a2－2a＋3＝2（a－

）2＋

>0，

且f（2a2＋a＋1）

∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，

即3a－2>0，解得a>

.

∴实数a的取值范围是a＞

.

16．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝－x2＋ax.

（1）若a＝－2，求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）为R上的单调减函数，

①求a的取值范围；

②若对任意实数m，f（m－1）＋f（m2＋t）<0恒成立，求实数t的取值范围．

解　

（1）当x<0时，－x>0，

又∵f（x）为奇函数，且a＝－2，

∴f（x）＝－f（－x）＝x2－2x，

∴f（x）＝

（2）①当a≤0时，对称轴x＝

≤0，

∴f（x）＝－x2＋ax在[0，＋∞）上单调递减，

由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，

∴f（x）在（－∞，0）上单调递减，

又在（－∞，0）上f（x）>0，在（0，＋∞）上f（x）<0，

∴当a≤0时，f（x）为R上的单调减函数．

当a>0时，f（x）在（0，

）上单调递增，在（

，＋∞）上单调递减，不合题意．

∴函数f（x）为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.

②∵f（m－1）＋f（m2＋t）<0，

∴f（m－1）<－f（m2＋t），

又∵f（x）是奇函数，∴f（m－1）

又∵f（x）为R上的单调减函数，

∴m－1>－t－m2恒成立，

∴t>－m2－m＋1＝－（m＋

）2＋

恒成立，

∴t>

.