其中类比结论正确的个数有（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 B
解析 ①在复数C中，若两个复数满足a－b＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a、b相等，故①正确；②在有理数Q中，若a＋b＝c＋d，则|a－c|＋（b－d）＝0，解得a＝c，故②正确；③若a，b∈C，当a＝1＋i，b＝i时，a－b＝1>0，但a、b是两个虚数，不能比较大小，故③错误；④若Z∈C，当Z＝i时，|Z|<1，但是Z是虚数，不能比较大小，故④错误，故只有两个结论正确，选B.
7．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝a（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则t－a＝（ ）
A．31B．41
C．55D．71
答案 B
解析 观察所给的等式，等号左边是，，，…，等号的右边是2，3，…，则第n个式子的左边是，右边是（n＋1）·，故a＝7，t＝72－1＝48.t－a＝41，故选B.
8．已知结论：
“在正△ABC中，若D是边BC的中点，G是△ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：
“在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 C
解析 图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4××r＝××，r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.
9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为________．
答案 6n＋2
解析 由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6（n－1），即6n＋2.
10．在△ABC中，角C的内角平分线CE分△ABC的面积所成的比例为＝.将这个结论类比到空间：
在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于点E，则类比的结论为________．
答案 ＝
解析 此类问题由平面类比到空间，则可由面积类比体积，由长度类比面积，由＝，类比得＝.
11.如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．
答案 211
解析 观察题图可知，
第一个拐弯处2＝1＋1，
第二个拐弯处4＝1＋1＋2，
第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3，
第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4，
第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，
发现规律：
拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.
12．对于命题：
如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0；将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体A－BCD内一点，则有________．
答案 VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
解析 由线段到平面，线段的长类比为面积，
由平面到空间，面积可以类比为体积，
由此可以类比得一命题为：
O是四面体A－BCD内一点，
则有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.
二、高考小题
13．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案 B
解析 解法一：
假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.
解法二：
设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有（n－k）个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有（k－s）个，丙盒中共有（n－k）个球，其中红球有（n－k－s）个，黑球有（n－k）－（n－k－s）＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.
14．[2014·北京高考]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）
A．2人B．3人
C．4人D．5人
答案 B
解析 用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为（AC），（BB），（CA）满足条件，故学生最多为3人．
15．[2015·山东高考]观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案 4n－1
解析 由题知C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
16．[2014·陕西高考]观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
答案 F＋V－E＝2
解析 因为5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝2.
17．[2014·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
答案 A
解析 根据甲、乙、丙说的可列表得
A
B
C
甲
√
×
√
乙
√
×
×
丙
√
18．[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k＝1,2，…，n）称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：
0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
答案 5
解析 因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k＝5.
三、模拟小题
19．[2016·广州调研]①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则①②两个推理过程分别属于（ ）
A．类比推理、归纳推理B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理D．归纳推理、演绎推理
答案 A
解析 ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
20．[2017·河北石家庄质检]某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）
A．今天是周六B．今天是周四
C．A车周三限行D．C车周五限行
答案 B
解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.
21．[2016·临沂模拟]如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于（ ）
A．1003B．1005
C．1006D．2011
答案 B
解析 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．
则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.
又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，
∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005.
∴a2009＋a2010＋a2011＝1005.
22．[2016·郑州一检]设函数y＝f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＋x2＝2a时，恒有f（x1）＋f（x2）＝2b，则称点（a，b）为函数y＝f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）＝x3＋sinx＋1图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（－2016）＋f（－2015）＋f（－2014）＋…＋f（2015）＋f（2016）＝（ ）
A．0B．2016
C．4032D．4033
答案 D
解析 函数y＝x3与y＝sinx均是奇函数，因此y＝x3＋sinx是奇函数，其图象关于点（0,0）对称，函数f（x）＝x3＋sinx＋1的图象关于点（0,1）对称，于是有f（－x）＋f（x）＝2，因此f（－2016）＋f（2016）＝2，f（－2015）＋f（2015）＝2，…，f（0）＝1，所求的和等于1＋2016×2＝4033，选D.
23．[2016·烟台诊断]已知cos＝；
coscos＝；
coscoscos＝；
…
根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．
答案 coscos…cos＝，n∈N*
解析 观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数列，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为cos·cos…cos＝，n∈N*.
24．[2016·山东日照一模]36的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为（1＋3＋32）＋（2＋2×3＋2×32）＋（22＋22×3＋22×32）＝（1＋2＋22）（1＋3＋32）＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．
答案 465
解析 类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：
因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为（1＋2＋22＋23）（1＋5＋52）＝465.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．[2016·福建质检]阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ①，
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ②，
由①＋②得sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ③.
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得sinA＋sinB＝2sincos.
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：
cosA－cosB＝－2sinsin；
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝1－cos2C，试判断△ABC的形状．
（提示：
如果需要，也可以直接利用阅读材料及
（1）中的结论）
解
（1）证明：
因为cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，①
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②
①－②得cos（α＋β）－cos（α－β）＝－2sinαsinβ.③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③得cosA－cosB＝－2sinsin.
（2）由二倍角公式，cos2A－cos2B＝1－cos2C可化为
1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C，
所以sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
2．[2017·福建质检]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；
⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据
（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解
（1）选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－＝.
（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝.
证明如下：
sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
3．[2016·北京海淀期末]设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；
表1
1
2
3
－7
－2
1
0
1
（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
表2
a
a2－1
－a
－a2
2－a
1－a2
a－2
a2
解
（1）解法一：
1
2
3
－7
－2
1
0
1
1
2
3
7
－2
1
0
－1
1
2
3
7
2
－1
0
1
解法二：
1
2
3
－7
－2
1
0
1
1
2
3
－7
2
－1
0
－1
1
2
3
7
2
－1
0
1
解法三：
1
2
3
－7
－2
1
0
1
－1
2
3
－7
2
1
0
1
－1
2
3
7
2
1
0
－1
（2）每一列所有数之和分别为2,0，－2,0，每一行所有数之和分别为－1,1.
①如果首先操作第三列，则
a
a2－1
a
－a2
2－a
1－a2
2－a
a2
则第一行之和为2a－1，第二行之和为5－2a，
这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以a≤或a≥.
当a≤时，则接下来只能操作第一行，则
－a
1－a2
－a
a2
2－a
1－a2
2－a
a2
此时每列之和分别为2－2a,2－2a2,2－2a,2a2，
必有2－2a2≥0，解得a＝0，－1.
当a≥时，则接下来操作第二行，则
a
a2－1
a
－a2
a－2
a2－1
a－2
－a2
此时第4列和为负，不符合题意．
②如果首先操作第一行，则
－a
1－a2
a
a2
2－a
1－a2
a－2
a2
则每一列之和分别为2－2a,2－2a2,2a－2,2a2，
当a＝1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；
当a≠1时，2－2a,2a－2至少有一个为负数，
所以此时必须有2－2a2≥0，即－1≤a≤1，所以a＝0或a＝－1，
经检验，a＝0或a＝－1符合要求．
综上a＝0，－1.
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