二孩人口模型数学模型.docx
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二孩人口模型数学模型
有关重庆市人口老龄化的模型建立与求解
摘要
本文通过对重庆市第五次人口普查数据和历史人口数据的系统分析，建立了重庆市人口增长的Leslie动态模型。
根据2000年各年龄组人口数量，生育率及死亡率数据，应用Matlab2015b软件编辑计算机程序，按照五年为一个时间段，考虑从2015年10月开始的“二胎政策”对人口数量的影响，求出了2050年前重庆市人口老龄化的各项动态指标的系列预测数据。
关键词：
Leslie人口模型，人口老龄化，二孩政策，数学模型，统计预测，MATLAB
1.问题重述
近20年来，随着计划生育政策的进一步贯彻落实，全国生育率迅速大幅度下降，同时随着医疗事业的发展，人口死亡率不断降低。
这种低生育低死亡的人口发展状态导致了我国人口老龄化速度的加快。
重庆市是四个直辖市之一，2000年的人口普查数据显示重庆60岁以上老人所占比重相较于10年前上升不少。
全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在，既2013年中共十八届三中全会决定启动实施“单独二孩”政策之后，2015年10月，中共十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：
促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，二孩的全面开放将为年龄结构的演变带来一定的影响。
需要解决问题：
1、收集数据，查阅文献，建模分析重庆市的人口老龄化现状；
2、讨论“二孩政策”对重庆市人口年龄结构的影响
2.问题分析
问题一：
收集从1953年第一次人口普查到2000年第六次人口普查数据，画出老龄人口数量变化曲线，再利用2000年重庆市各年龄层人数，各年龄层女性人数，各年龄层女性生育率，各年龄层存活率数据（设此时总和生育率R=1）推测出到2015年的人口数量变化，老龄人口数量变化曲线，计算出2015年重庆市人口数量。
问题二：
利用预测出的2015年的数据，修改建立模型中的参数，预计实行“二胎政策”后到2050年的重庆人口变化趋势。
3.模型假设
1、本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；
2、各地各民族的人口政策相同；
3、不考虑生育率、死亡率和男女性别比随着区域人口流动发生变化的情况；
4、假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；
5、各年段人口死亡率不出现突变现象；
6、人民遵守法律，实行独生子女政策时，只生一胎，开放二胎后，每户家庭都哺育二胎；
7、社会稳定，无自然灾害和战争，无其他政策干预。
4.名词解释与符号说明
4．1名词解释
1、人口老龄化——指人口中老年人比重日益上升的现象。
促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。
一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。
2、总和生育率——指一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。
3、负担老年系数——指老年人口（65岁以上人口）与15-64岁人口的比例。
计算公式为：
负担老年系数=老年人口/15-64岁人口×100%。
4、老少比——老年人口数与少年儿童人口数的比值，用百分数表示。
计算公式是：
老少比＝（≥65周岁人口数÷0～14周岁人口数）×100%。
4．2符号说明
序号
符号
意义
1
t
表示年份
2
X
数组表示各个年龄层人数，以五年为一组
3
C
数组表示对应女性人口比例
4
B
数组表示各年龄层女性生育率
5
S
数组表示各年龄层存活率
6
Y
21行1列空数组，用于对X的次5年数据进行存放
7
R
国家的生育政策允许生孩子数
8
N
15岁以下青年数目
9
M
16-64岁人群数目
10
O
65岁以上老年人数目
11
Z
65岁以上老龄人口占总人口的比例
5.模型的建立与求解
5.1重庆市人口老龄化发展现状分析
根据联合国规定，60岁以上老年人口占做人口10%以上，或65岁以上老年人口占总人口7%以上，或老少比超过30%以上的国家或者地区被称之为“老年型国家”或者“老年型地区”。
由于我国已经将退休年龄延后至65岁，所以本文将65岁以上人群成为老年人。
根据重庆市第一、二、三、四及五次人口普查资料，对重庆市人口老龄化的历史与现状列表如下。
表1重庆市人口老龄化主要指标统计表
年龄组（岁）
人口X（0）
女性人口
女性比重C
年平均死亡率‰
女性人口
女性比重C
年生育率‰
0-4
2318683
1025169
0.4421
6.09
1025169
0.4421
0
5-9
3034383
1397275
0.4605
0.49
1397275
0.4605
0
10-14
4052065
1939332
0.4786
0.44
1939332
0.4786
0
15-19
3037107
1449957
0.4774
0.73
1449957
0.4774
4.91
20-24
2417925
1169772
0.4838
1.19
1169772
0.4838
119.33
25-29
3162904
1545948
0.4888
1.33
1545948
0.4888
76.37
30-34
3398340
1645072
0.4841
1.49
1645072
0.4841
18.32
35-39
3054072
1469145
0.481
1.77
1469145
0.481
4.07
40-44
2585957
1236384
0.4781
2.42
1236384
0.4781
1.4
45-49
2407236
1173145
0.4873
3.6
1173145
0.4873
0.72
50-54
1762575
854127
0.4846
5.68
854127
0.4846
0
55-59
1406577
688870
0.4897
9.2
688870
0.4897
0
60-64
1228208
604289
0.492
15.67
604289
0.492
0
65-69
927761
455020
0.4904
27.3
455020
0.4904
0
70-74
594315
289214
0.4866
51.21
289214
0.4866
0
75-79
399595
204982
0.513
79.49
204982
0.513
0
80-84
192013
105124
0.5475
136.42
105124
0.5475
0
85-89
57395
33779
0.5885
185.2
33779
0.5885
0
90-94
10690
6779
0.6341
257.55
6779
0.6341
0
95-99
2169
1202
0.5542
231.91
1202
0.5542
0
100以上
124
98
0.7903
240
98
0.7903
0
由表1数据可以看出，从1964年第二次人口普查之后，各项指标均成上升之势，并从1960年以后开始加速上升，其增长趋势如图1所示。
虽然重庆市人口老龄化的各项指标在2000年前尚未到达联合国规定的指标，但已经非常接近联合国规定的指标。
各项指标显示，从1990年第四次人口普查以来，重庆市老龄人口增长速度明显快于人口增长速度，人口老龄化速度大有加速上扬之势，在2005年前重庆市将进入“老年型地区”的行列。
为了能准确地预测重庆市人口老龄化的发展程度，下文我们将建立一个动态的人口增长模型。
5.2重庆市人口老龄化发展的动态模型
根据第五次人口普查结果，2000年10月底重庆市人口总数为3090.45万人，按照每五岁为一个年龄组，把0~99岁划分为20个年龄组，即0~4岁为第一个年龄组，5~9岁为第二个年龄组，10~14岁为第三个年龄组，…，95~99岁为第20个年龄组，100岁以上为第21个年龄组，并设各年龄组构成的初始人口列向量为X（0）=[x1（0）,x2（0）,x3（0）,…,x21（0）]T；第5t年各年龄组人口构成的人口列向量为[x1（0）,x2（0）,x3（0）,…,x21（0）]T,称X（t）为人口状态向量。
如果设所有年龄组女性人口占同一组人口比例的系数向量为C=[c1,c2,c3,…,c21]T，那么在5t年时，女性人口的列向量应为CX（t）=[c1x1（t）,c2x2（t）,c3x3（t）,…,c21x21（t）]T。
假定全市人口迁入与迁出数量相等，各年龄组妇女在五年内的平均生育向量为B=[b1,b2,b3,…,b21]T。
根据统计信息，2001年11月1日初始状态向量X（0），人口年死亡率向量，女性在各组人口中所占比例向量，女性年生育率向量等的分量数据如表2所示。
表2各年龄组人口死亡率与育龄妇女生育率统计表
年龄组（岁）
人口X（0）
女性人口
女性比重C
年平均死亡率‰
女性人口
女性比重C
年生育率‰
0-4
2318683
1025169
0.4421
6.09
1025169
0.4421
0
5-9
3034383
1397275
0.4605
0.49
1397275
0.4605
0
10-14
4052065
1939332
0.4786
0.44
1939332
0.4786
0
15-19
3037107
1449957
0.4774
0.73
1449957
0.4774
4.91
20-24
2417925
1169772
0.4838
1.19
1169772
0.4838
119.33
25-29
3162904
1545948
0.4888
1.33
1545948
0.4888
76.37
30-34
3398340
1645072
0.4841
1.49
1645072
0.4841
18.32
35-39
3054072
1469145
0.481
1.77
1469145
0.481
4.07
40-44
2585957
1236384
0.4781
2.42
1236384
0.4781
1.4
45-49
2407236
1173145
0.4873
3.6
1173145
0.4873
0.72
50-54
1762575
854127
0.4846
5.68
854127
0.4846
0
55-59
1406577
688870
0.4897
9.2
688870
0.4897
0
60-64
1228208
604289
0.492
15.67
604289
0.492
0
65-69
927761
455020
0.4904
27.3
455020
0.4904
0
70-74
594315
289214
0.4866
51.21
289214
0.4866
0
75-79
399595
204982
0.513
79.49
204982
0.513
0
80-84
192013
105124
0.5475
136.42
105124
0.5475
0
85-89
57395
33779
0.5885
185.2
33779
0.5885
0
90-94
10690
6779
0.6341
257.55
6779
0.6341
0
95-99
2169
1202
0.5542
231.91
1202
0.5542
0
100以上
124
98
0.7903
240
98
0.7903
0
暂且不考虑二孩政策，按照计划生育政策，一个家庭只能育有一个孩子，设多胞胎的数量与不生孩子家庭数量保持平衡，则可设总和生育率R=1.15（平均一对夫妇终生只能生育R个孩子）。
可取B=[b1,b2,b3,…,b21]T。
若把t阶段存活的全部新生儿划分到t+1阶段的第一年龄组，并设各年龄组人口在五年期内的自然存活率向量为S=[s1,s2,s3,…,s21]T。
由于第t阶段k-1年龄组的人存活到第t+1阶段就是k年龄组的人，（k=2,3,4,…,20），且第21年龄组（即100岁以上）的老年人五年后存活下来的仍属于第21年龄组。
由此可得人口系统状态X（t）关于离散时间变量t（t=1,2,3,…,n,…）的状态转移方程组：
x1（t+1）=
xk（t+1）=sk-1xk-1,k=2,3,4,…,20
（1）
x21（t+1）=s20x20（t）+s21x21（t）
将上表中的数据代入，不断进行迭代，即可得到重庆市人口老龄化的时间序列动态数据，编辑程序（见附录1和附录2），即可得到如下两张图片:
根据预测数据，在不久后65岁以上人口即将超过7%，重庆将跨入老年地区行列中。
指标显示，人口老龄化发展来势凶猛，到2025年，65岁以上老年人口比例将超过25%，负担老年系数将达到48%，平均每两个65岁以下的劳动力就要抚养一个65岁以上的老人，图3和图4体现了这一趋势。
这种发展趋势将迸发出一系列社会问题。
在西部经济尚不发达的条件下，如果这么发展下去，社会养老问题首当其冲。
5.3考虑“二孩政策”后重庆市人口老龄化发展的动态模型
由于我国2015年11月开始我国开始全面实施“二孩计划”，所以基于上述模型，修改总和生育率R为1.2，可编程做出如下两张图：
图5二胎政策下各年龄段人口总数变化趋势图
由图4和图5可以看出，实施二孩政策后，相对于不采取二孩政策，65岁以上老龄人口上升趋势减缓，虽然青少年占比在2040年前依旧是持续降低，不过降低趋势变缓，并且在2040年之后上升，上升幅度比不采取二孩政策要快。
而负担老年系数则更明显的说明了问题，采取二孩政策的负担老年系数上升变缓，并且在2050年时数据为48，而不采取该政策，到2050年预计为51.以上充分说明二孩政策对人口年龄结构有调控作用，只是效果不会很快的反应出来，需要20-30年的时间，年龄结构才可以得到显著调整。
6．模型的评价及推广
这个模型是建立在上文所提的7个假设之上，固然会因为考虑不足或者社会变化等原因带来误差，但所建立的模型和预测的数据还是有一定参考价值的，可针对此模型预测趋势做出政策改变，以应对劳动力短缺，国家与企业、社会与家庭的负担日益加重等问题。
参考文献
i.姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版）[M].北京:
高等教育出版社，2003:
274-324；
ii.于学军，中国人口信息网.《中国人口科学》2000年第2期，2000-4-6。
iii.王培勋，统计信息论坛.重庆市人口老龄化发展趋势的数学模型与统计预测，2004年；
iv.于洪彦，Excel统计分析与决策[M].北京:
高等教育出版社，2006年4月。
附录
附录1计划生育政策下未来50年老年人口数量图程序
X=[231.8683303.4383405.2065303.7107241.7925316.2904339.8340305.4072258.5957240.7236176.2575140.6577122.820892.776159.431539.959519.20135.73981.06900.21690.0124]';%t年各个年龄层人数，以五年为一组get
C=[0.44210.46050.47860.47740.48380.48880.48410.48100.47810.48730.48460.48970.49200.49040.48660.51300.54750.58850.63410.55420.7903]';%对应女性人口比例get
B=[0000.49111.9337.6371.8320.4070.1400.07200000000000]';%各年龄层女性年生育率get
S=[0.99390.99950.99960.99930.99880.99870.99850.99820.99760.99640.99430.99080.98430.97270.94880.92050.86360.81480.74250.76810.7600]';%各年龄层存活率get（1-死亡率）
Y=[00000000000000000000]';
O=341.2273;%元年65岁以上老年人数目get
fort=2000:
5:
2050%输出从2000年开始到2050年为止老龄人口数目与时间关系图
Y（1,end）=sum（C.*B.*X）;%新生儿（0-5岁）数目
fori=2:
1:
20
Y（i,end）=S（i-1,end）*X（i-1,end）;%各年龄段6~100岁人口数量（5年为一组）
end
Y（21,end）=S（20,end）*X（20,end）+S（21,end）*X（21,end）;%100岁以上人口数量
X=Y;
plot（t,O,'or'）;
holdon;
O=Y（13,end）+Y（14,end）+Y（15,end）+Y（16,end）+Y（17,end）+Y（18,end）+Y（19,end）+Y（20,end）+Y（21,end）;%更新为下一年65岁以上人口数目
end
title（'65岁以上老龄人口预测'）;
xlabel（'t/年'）;ylabel（'O/万人'）;
附录2计划生育政策下未来50年老年人口所占比例图程序
X=[231.8683303.4383405.2065303.7107241.7925316.2904339.8340305.4072258.5957240.7236176.2575140.6577122.820892.776159.431539.959519.20135.73981.06900.21690.0124]';%t年各个年龄层人数，以五年为一组
C=[0.44210.46050.47860.47740.48380.48880.48410.48100.47810.48730.48460.48970.49200.49040.48660.51300.54750.58850.63410.55420.7903]';%对应女性人口比例
B=[0000.49111.9337.6371.8320.4070.1400.07200000000000]';%各年龄层女性生育率
S=[0.99390.99950.99960.99930.99880.99870.99850.99820.99760.99640.99430.99080.98430.97270.94880.92050.86360.81480.74250.76810.7600]';
Y=[000000000000000000000]';
O=341.2273;%元年65岁以上老年人数目
fort=2000:
5:
2050%输出从2005年开始到2050年为止老龄人口数目与时间关系图
Z=O/sum（X）;%65岁以上老龄人口占总人口的比例
Y（1,end）=sum（C.*B.*X）;
fori=2:
1:
20
Y（i,end）=S（i-1,end）*X（i-1,end）;
end
Y（21,end）=S（20,end）*X（20,end）+S（21,end）*X（21,end）;
X=Y;
plot（t,Z,'*b'）;
holdon;
O=Y（13,end）+Y（14,end）+Y（15,end）+Y（16,end）+Y（17,end）+Y（18,end）+Y（19,end）+Y（20,end）+Y（21,end）;
end
title（'65岁以上老龄人口占总人口的比例'）;
xlabel（'t/年'）;ylabel（'Z'）;
附录3二胎政策下65岁以上老龄人口占总人口的比例图程序
X=[3660.73824.93104.03013.5230.1302.6403.7302.3240.4314.1336.7301.3253.2232.6166.2126.6102.768.136.519.210.2]';%t年各个年龄层人数，以五年为一组
C=[0.44210.46050.47860.47740.48380.48880.48410.48100.47810.48730.48460.48970.49200.49040.48660.51300.54750.58850.63410.55420.7903]';%对应女性人口比例
B=[0000.49111.9337.6371.8320.4070.1400.07200000000000]';%各年龄层女性生育率
S=[0.99390.99950.99960.99930.99880.99870.99850.99820.99760.99640.99430.99080.98430.97270.94880.92050.86360.81480.74250.76810.7600]';
Y=[000000000000000000000]';
R=2;
O=1015.3;%元年65岁以上老年人数目
fort=2015:
5:
2050%输出从2015年开始到2050年为止老龄人口数目与时间关系图
Z=O/sum（X）;%65岁以上老龄人口占总人口的比例
Y（1,end）=R*sum（C.*B.*X）;
fori=2:
1:
20
Y（i,end）=S（i-1,end）*X（i-1,end）;
end
Y（21,end）=S（20,end）*X（20,end）+S（21,end）*X（21,end）;
X=Y;
plot（t,Z,'pentagramm'）;
holdon;
O=Y（13,end）+Y（14,end）+Y（15,end）+Y（16,end）+Y（17,end）+Y（18,end）+Y（19,end）+Y（20,end）+Y（21,end）;
end
title（'二胎政策下65岁以上老龄人口占总人口的比例'）;
xlabel（'t/年'）;ylabel（'Z'）;
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