31 图像的平移与旋转 教案.docx

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31图像的平移与旋转教案

第三章

一、知识概要

图形的平移与旋转

一、平移

1、定义

在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、性质

平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

3、作图

平移作图的依据是平移的性质：

1、平移后的图形大小和形状完全相同，即对应线段平行且相等，对应角相等。

2、平移后对应点所连接的线段平行且相等。

一、根据“平移后对应点所连的线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图位置和平移的方向及距离，作平移后图形。

例1：

如图1，图形扇形OAB按箭头所示方向平移2cm，作出平移后的图形。

B

A

D

C

O

P

图1

【分析】：

此题已知平移的方向和距离。

平移是图形的整体平行移动，图形上每个点平移的方向和距离是相同的，所以根据“平移后对应点连接而成的线段平行且相等”，找出O、A、B平移后的对应点即可得到平移后的图形。

解：

如图，分别过O、A、B点作与箭头所示方向相同的一组平行线段OP、AC、BD，且OP=AC=BD=2cm，连接OA、OB，作弧AB，就得到扇形OAB平移后的图形。

2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例2：

如图2，平移小旗，使小旗上的点P平移到点A，作出平移后的小旗。

B

Q

A

RPC

D

图2

S

【分析】：

连接PA，可得到点P（即图形整体）移动的方向和距离。

要画出小旗，根据“平移后对应点所连的线段平移且相等”，过Q、R、S各点沿由P到A的方向作出PA的平行线，并在其上截取与线段PA等长的线段，即可找到各自平移后的对应点，顺次连接各点就可得到平移后的图形。

解：

如图，连接PA，分别过Q、R、S作线段QB、RC、SD，使QB∥RC∥SD∥PA，且QB=RC=SD=PA=2cm，连接AB、AC、BC、CD,得到平移后的小旗。

二、根据“平移后对应线段平行且相等”作平移后图形。

1、已知原图形位置和平移后一边的位置（一对对应边），作平移图形。

例3：

如图3，⊿ABC的边AB经过平移到了PD，作出⊿ABC平移后的图形。

P

A

BD

CE图3

【分析】：

由题意得，AB与PD是平移前后对应的线段，根据“平移后图形的形状、大小不变”，即“平移后对应线段平行且相等”，AB∥PD且AB＝PD，我们可以过点P作AC的平行线，过点D作BC的平行线，两线相交与点E，由此可以作出平移后的三角形。

也可以过点P沿AC方向作线段PE∥AC且PE＝AC，连接DE，也可以得到平移后的三角形。

解法1.分别过点P、点D作AC、BC的平行线，两线相交与点E，则⊿PDE就是所求作的三角形。

解法2.过点P作与AC同向的线段PE∥AC且PE＝AC，连接DE，则⊿PDE就是所求作的三角形。

2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。

例4：

如图3，⊿ABC的顶点A经过平移到了点P，作出⊿ABC平移后的图形。

【分析】：

根据“平移后图形的形状、大小不变”，即“平移后对应线段平行且相等”，可以过点P分别作与AB、AC同向的平行线段PD、PE，并且分别使PD＝AB，PE＝AC，连接DE，则⊿PDE就是所求作的三角形。

解法：

过点P分别作与AB、AC同向的平行线段PD、PE，并且分别使PD＝AB，PE＝AC，连接DE，则⊿PDE就是所求作的三角形。

【方法探究】：

由上面可以看出，作一个图形平移后的图形：

1、除了确定原图的位置，还需要知道图形平移的方向（不一定是水平或垂直方向）和平移的距离（连接对应点的线段的长度）

2、关键是确定特殊点（线段端点，角的顶点等）

3、顺次连接各点（连接不一定是线段）

小练

1.小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述：

图1

观察以上图案

（1）这个图案有什么特点？

（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？

（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？

你能解释其中的道理吗？

2.如图2，经过平移，扇形上的点A移到了F，作出平移后的扇形.

图2

3.经过平移，△ABC的边AB移到了MN，作出平移后的三角形，你能给出几种作法？

图3

测验评价结果：

_____________；对自己想说的一句话是：

______________________.

二、旋转

1、定义

在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

3、

例1如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

分析：

一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.

假设顶点B，C的对应点分别为点E，点F，则∠BOE，∠COF，∠AOD都是旋转角.△DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则∠BOE=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.

解：

（1）连接OA，OD，OB，OC.

（2）如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.

（3）分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.

（4）连接EF，ED，FD.

△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形

本题还有没有其他作法，可以作出△ABC绕O点旋转后的图形△DEF吗？

1.可以先作出点B的对应点E，连接DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F，连接DF，EF，则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.

2.也可以先作出点C的对应点F，然后连接DF.因为△ABC与△DEF全等，所以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点B的对应点E，即△DEF.

1．课本随堂练习.

解：

如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的位置，然后连线.

2．小明和妈妈在广场游玩时,看见许多喷水嘴正在给草坪浇水。

喷水嘴不停地旋转着,但每时每刻喷出的水雾总是四分之一圆。

妈妈问：

“小明,如果喷出水雾的范围内有一正方形,喷水嘴位于它的中心,你知道喷水嘴在旋转的过程中瞬时浇过正方形区域的面积是多少吗?

”请你替小明做出回答。

3．将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上（如图所示）。

你知道旋转角是多少吗？

连结BB’，△ABB’有什么特征吗？

4．在五边形ABCDE中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.

求证：

AD平分∠CDE.

连接AC，将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，所以AB与AE重合.因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D，E，F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.

在△ADC与△ADF中，DF=DE+EF=DE+BC=CD.，AF=AC,AD=AD

所以,△ADC≌△ADF（SSS），因此，∠ADC=∠ADF，即：

AD平分∠CDE.

5．如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!

但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！

二、典例解析

1、如图所示：

正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF.

（1）指出旋转中心及旋转角度．

（2）判断AE与CF的位置关系．

（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2,问四边形AECD的面积是多少？

2、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，

且BE＋DF＝EF，求∠EAF

3、如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，求证：

OE=OF。

4．如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且AE=BE+FD，请说出AF平分∠DAE的理由。

6、如图，正方形纸片ABCD和正方形EFDH边长都是1，点E是正方形ABCD的中心，在正方形EFGH绕着点E旋转过程中，

（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？

（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。

7、已知，如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

三、课堂练习

1、△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：

①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、（2003，河南）把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=

，则正方形移动的距离是AA′是_______．

（1）

（2）（3）

3．（2004，南宁）如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转_______度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．

4、如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位

于正六边形ABCDEF

的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是__________。

5、如图11-2所示，Rt△A′B′C′是△ABC向右平移3cm所得，

已知∠B＝60°，

B′C＝5cm，则∠C′＝_____________，B′C′＝_____________cm．

6.如图所示，直角△AOB顺时针旋转后与△COD重合，若∠AOD＝127°，则旋转角度是

7．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别在D′、C′位置，若∠EFB=65°，则∠AED′=_________.

8．四边形ABCD为长方形，△ABC旋转后能与△AEF重合，旋转中心是点

旋转了多少度；连结FC，则△AFC是三角形。

9．如图11-5，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕B点逆时针旋转，使得B、O两点的对应点分别为C、D，则旋转角为_____________，图中除△ABC外，还有等边三形是_____________．

12．如图11-6，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这

个三角形按逆时针

方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有_____________．

13、（青岛市）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若

将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为多少，∠APB？

四、课后作业

一、填空

1．在下列给出的五种运动中，其中属于平移的是　　　　．

（1）急刹车的小汽车在地面上的运动；

（2）自行车轮子的运动；（3）时钟的分针的运动；（4）高层建筑内的电梯的运动；（5）小球从高处作自由落体运动．

2．将面积为12cm2的等腰直角△ABC向右上方平移20cm，得到△MNP，则△MNP是　　三角形，它的面积是　　　　cm2．

3．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，BC=8，AD=3，AB=4，CD=3，将AB平移到DE处，则△CDE为　　　　三角形，周长为　　　　．

4．如图2，Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置，若∠BOC=127°，则旋转角

是　　　　．

5．△ABC经过平移得到△DEF，并且A与D，B与E，C与F是对应点，AD=3cm，则

BE=　　　　cm，AD与BE之间的关系是　　　　，AB与DE之间的关系是　　　　．

6．如图3，把三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是　　　　．

7．如图4给出的图案，可看作由“基本图案”：

　　　　旋转　　　　度得到的，旋转的两个图形必　　　　．

9．如图6，正方形ABCD可看作是由图形　　　　经　　　　次平移得到的，也可看作

是由图形　　　　绕点O旋转　　　　次得到．

二、精心选一选，慧眼识金！

（每小题3分，共27分）

1．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（　　）

　　　Ａ．　　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

2．如图7，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，

已知AD=5，∠B=70°，则（　　）

A．FG=5，∠G=70°B．EH=5，∠F=70°

C．EF=5，∠F=70°D．EF=5，∠E=70°

3．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

4．下列说法正确的是（　　）

A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小

B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置

C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离

D．由平移得到的图形也一定可由旋转得到

6．下列说法正确的是（　　）

A．若△ABC≌△DEF，则△ABC可以看作是由△DEF平移得到的

B．若∠A=∠B，则∠A可以看作是由∠B平移得到的

C．若∠A经过平移后为∠A′，则∠A=∠A′

D．若线段a∥b，则线段a可以看作由线段b平移得到的

7．如图9，O是六个正三角形的公共顶点，下列图形中可由△OBC平移得到的是（　　）

A．△OCDB．△OABC．△FAOD．△OEF

8．图10中，可以视为是图形平移的不同组合对数（一个梅花对另一个梅花不计方向）有（　　）

A．9对B．10对C．5对D．8对

9．如果将一图形沿北偏东30°的方向平移3厘米，再沿某方向平移3厘米，所得的图形与将原图形向正东方向平移3厘米所得的图形重合，则这一方向应为（　　）

A．北偏东60°B．北偏东30°C．南偏东60°D．南偏东30°

三、1．（本小题8分）请画一个圆，画出圆的直径AB，分析直径AB两侧的两个半圆可以怎样相互得到？

2．（本小题9分）如图11，四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD．试判断：

（1）图中哪些边可以通过平移得到；

（2）图中哪些三角形可以通过旋转得到．

3．（本小题9分）在图12中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．

4．（本小题9分）剪两个全等的三角形，把这两个三角形重叠在一起放在桌面上，实际操作试一试，保持其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图13中的两个图形？

5．（本小题10分）如图14是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点O顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它变换后的图形，你会得到一个美丽的图形，快来试一试吧!

四、综合应用

1．（本小题10分）如图15，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边△BCD，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置．若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．