苏科版八年级下册第九章中心对称图形章节知识点9195.docx

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苏科版八年级下册第九章中心对称图形章节知识点9195

§9.1图形的旋转

【知识点总结】

1、生活中的旋转

例1：

下列现象中：

①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2、旋转的概念

将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置。

例2：

如图所示，ΔABC绕顶点C顺时针方向旋转某一角度后，得到ΔA′B′C′。

请回答下列问题：

（1）

旋转中心是哪一点？

（2）旋转角是哪个角？

（3）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

（4）找出图形中所有相等的角和线段。

3、旋转的性质

一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。

例3：

四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF

（1）求证：

△ADE≌△ABF；

（2）填空：

△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；

（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

4、画旋转后的图形

利用图形的旋转的性质，可以画出一个图形绕某点按照一定的方向旋转一定角度后的图形。

基本画法：

将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。

例4：

如图，O为ΔABC外的一点，求作：

ΔABC绕点O按顺时针方向旋转60°后所得的ΔA′B′C′。

【典例展示】

题型一确定图形的旋转角度

例1：

如图所示，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（　　）

A.30°B.45°C.90°D.135°

题型二确定图形的旋转中心

例2：

如图，O为正方形ABCD的边CD的中点，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共个。

题型三生活中的数学问题

例3：

如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是（　　）

A.

B.

C.

D.

题型四推理说明题

例4：

将两块大小相同的含30°角的直角三角尺（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按如图①所示的方式放置，固定三角尺A′B′C′，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．

（1）求证：

△BCE≌△B′CF；

（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？

请说明理由．

题型五有关旋转的做图题

例5：

在方格纸上按下列要求作图（如图①），不用写作法：

（1）做出“小旗子”向右平移6格后的图案；

（2）做出“小旗子”绕点O按逆时针方向旋转90°后的图案。

题型六探究性问题

例6：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<60°），将线段BC绕点B按逆时针方向旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在

（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

【误区警示】

误点1不能抓住图形旋转的基本要素，导致错误

例1：

如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图形的阴影部分）绕中心O至少经过次旋转而得到，每一次旋转°

误点2不能灵活运用图形旋转的性质，导致错误

例2：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC饶点C按顺时针旋转后得到ΔEDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．

§9.2中心对称与中心对称图形

【知识点总结】

1、中心对称的概念

一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

例1：

如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是关于点O成中心对称的两个图形，试找出它们的对应顶点和对应边。

2、中心对称的性质

一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。

例2:

如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心。

3、中心对称图形的定义及其性质

把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

例3：

任意一条线段是中心对称图形吗？

如果是，那么它的对称中心是什么？

4、轴对称图形与中心对称图形的对比

轴对称图形

中心对称图形

图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合

图形绕对称中心旋转180°重合

对称点的连线被对称轴垂直平分

对称点的连线经过对称中心，且别对称中心平分

例4：

下列图形图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

B．

C．

D．

例5图

5、成中心对称图形的画法

例5：

如图所示，O为△ABC外一点，求做：

△A′B′C′。

使它与△ABC关于点O成中心对称。

【典例展示】

题型一识别中心对称图形

例1：

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

B．

C．

D．

题型二游戏中的数学问题

例2：

已知如图①所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到的图②，则旋转的牌是（）

A．

B．

C．

D．

题型三方案设计题

例3：

如图①，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：

①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；

②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．

题型四推理说明题

例4：

如图，直线

，垂足为O，点A1与点A关于直线

对称，、点A2与点A关于直线

对称，点A1与点A2有怎样的对称关系？

请说明理由。

题型五操作探究题

例5：

如图，在网格中有一个四边形图案

（1）请你画出此图案绕点O按顺时针方向旋转90°、180°、270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置画错。

（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A的对应点依次为A1，A2，A3，求四边形AA1A2A3的面积．

（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．

【误区警示】

误点1不能正确识别中心对称图形，导致错误

例1：

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.

B．

C．

D．

误点2不能运用中心对称图形的性质将问题进行转化，导致错误

例2：

如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，

与

关于点O中心对称，则AB、BC、

、

所围成的面积是cm0．

§9.3平行四边形

【知识点总结】

1、平行四边形的概念：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

例1:

如图，在□ ABCD中EF∥AD，MN∥AB，MN与EF交于点P，且点P在BD上。

图形中除了□ABCD外，还有个平行四边形。

2、平行四边形的性质

平行四边形的性质：

（10平行四边形的对边相等；

（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。

例2：

在□ ABCD中，

（1）如果∠A=60°，那么∠B=°，∠C=°。

（2）如果□ ABCD的周长为32cm，且AB=5cm,那么BC=cm，CD=cm，AD=cm；

（3）对角线AC、BD相交于点O，且AC=4cm、BD=6cm，则AO==cm，，BO==cm.

3、判定平行四边形的条件

（1）

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）

（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形

（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形

（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形

例3：

如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O点，AB∥CD，AO=CO，求证：

四边形ABCD是平行四边形。

4、平行四边形的画法

例4：

如图，已知线段a、b和α，求作：

□ ABCD，使AB=a，BC=b，∠ABC=α。

5、反证法

反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。

例5：

如图，点E、F分别在ΔABC的边AB、AC上，求证：

BF、CE不能互相平分。

【典例展示】

题型一运用性质进行求值

例1：

如图，□ ABCD与□ DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为

例1图

题型二与平行四边形判定相关的判断说理问题

例2：

如图，在□ ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

（1）求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

题型三生活中的数学问题

例3：

如图是小飞家的一个四边形池塘，在池塘的四个角上分别栽着一个大桃树，现在要把池塘扩大建成鱼塘，使池塘的面积增加一倍又不想移动大桃树 

的位置，并要求扩建后的鱼塘为一个平行四边形。

请问小飞家能实现这个梦想吗？

如能，请你设计并画出图形，如不能，请说明理由。

题型四开放性问题

例4：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是

题型五体现数学思想的题型

例5：

如图在□四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC+BD=18,BC=6,则ΔAOD的周长为

例6：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以1cm/s的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形．

题型六探索性问题

例7：

在ΔABC中，AB=AC，点D在边BC边所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：

DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．

（3）若AC=6，DE=4，则DF=．

【误区警示】

误点1不能正确把握平行四边形的条件，导致错误

例1：

在四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：

①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO；④AB∥CD,AD=BC，其中，一定能判定四边形是平行四边形的条件有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

误点2不能正确应用反证法，导致错误

例2：

用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”的第一步假设（）

A.三角形中有一个角小于60°B.三角形中没有一个内角大于60°

C.三角形中每一个内角都大于60°D.三角形中没有一个内角等于60°

§9.4矩形、菱形、正方形

【知识点总结】

1、矩形的概念和性质

有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。

矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：

矩形的对角线相等，四个角都是直角。

例1：

如图，在矩形ABCD中，E、F为边BC上两点，且BE=CF，连接AF、DE交于点O，求证：

（1）ΔABF≌ΔDCE

（2）ΔAOD是等腰三角形

2、判定矩形的条件

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）三个角是直角的四边形是矩形

（3）对角线相等的平行四边形是矩形

例2：

如图，P为□ ABCD的边CD的中点，且PA=PB，求证：

四边形ABCD为矩形。

3、平行线之间的距离及其性质

如图9.4-1，直线a∥b，P为直线a上的任意一点，PQ⊥b，垂足为Q，则线段PQ的长度称为平行线a、b之间的距离

性质：

两条平行线之间的距离处处相等

例3：

（1）如图，直线a∥b，A、B为直线b上的两点，C、P为直线a上的两点，则ΔABC的面积与ΔABP的面积关系是（填“相等”或“不等”）

（2）如果P点在直线a上移动，那么无论点P移动到哪个位置，总有与ΔABC的面积相等，理由是

4、菱形的概念与性质

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：

菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。

例4：

如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=60°，则对角线AC的长度为（）

A.12B.9C.6D.3

5、判定菱形的条件

（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）

（2）四边相等的四边形是菱形

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例5：

如图，在□ ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：

四边形AFCE是菱形。

6、正方形的概念、性质和判定条件

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。

它具有矩形和菱形的一切性质。

判定正方形的条件：

（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形

（3）有一个角是直角的菱形是正方形

例6：

下列说法:

①有一个角是直角的菱形是正方形；②两条对角线相等的菱形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④四条边都相等的四边形是正方形。

其中，正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例展示】

题型一运用相关性质进行解题

例1：

如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是边AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC,DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长。

例2：

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC与点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

例3：

已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于O点，P是射线AB上的任意一点，过点P分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足分别为E、F。

（1）如图①，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值．

（2）如图②，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．

题型二运用特殊的平行四边形的判定方法进行解题

例4：

如图，将□ ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F

（1）求证：

△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：

四边形ABEC是矩形．

例4图

例5：

如图，在ΔABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF。

例5图

（1）求证：

AF=DC；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

例6：

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上的一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：

∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：

四边形MPND是正方形．

题型三生活中的数学问题

例7：

如何检验木工做成的门框是否是矩形？

说说你的想法与理由。

题型四体现数学思想的问题

例8：

如图，在矩形ABCD中，AB=8，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若

，则AD的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

题型五最值问题

例9：

正方形的边长为8，点M在边CD上，且DM=2，N是边AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为

题型六探究性问题

例10：

如图，在ΔABC中，O是边AC上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

例11：

如图，在ΔABC中，D是边BC上的一点，E是边AD的中点，过点A作BC的平分线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF

（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？

并说明理由．

【误区警示】

误点1对特殊的平行四边形的性质、判定条件掌握不透彻，导致错误

例1：

矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.两组对角分别相等

误点2不能根据条件画出符合要求的所有的图形，导致错误

例2:

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将ΔAEF绕其定点A旋转，在旋转的过程中，当

BE=DF时，∠BAE的度数是

例1图

§9.5三角形的中位线

【知识点总结】

1、三角形中线的概念和性质

例1图

连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线平行且等于第三边的一半

例1：

如图，在ΔABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=70°，则∠ADE=°。

2、三角形的中位线与中线的区别

（1）区别：

三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。

（2）联系：

三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。

例2：

如图，在ΔABC中，点D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，求证AD与EF互相平分。

【典例展示】

题型一三角形中位线的简单应用

例1：

如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=cm．

题型二构造三角形中位线解题

例2：

如图，在ΔABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5，AC=2,求DF的长

例3：

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别是两条对角线BD、AC的中点，求证：

MN∥BC且

题型三中点四边形问题

例4：

如图，在ΔABC中，AB=AC，点O在ΔABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，点D、E、F、G分别是边AB、OB、OC、AC的中点。

（1）求证：

四边形DEFG是矩形

（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积

题型四探究性问题

例5：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC,对角线AC、BD交于点O，AC=BD，AC⊥BD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

（1）求证：

四边形EFGH是正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

答：

当地球运行到月球和太阳的中间，如果地球挡住了太阳射向月球的光，便发生月食。

8、地球自转一周的时间是一天；地球公转一周的时间是一年；月球公转一周的时间是农历一个月。

答：

放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。

7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？

过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？

（P36）

20、在观星过程中，我们看到的天空中有一条闪亮的“银河”光带，实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团，被人们称为银河系。

我们生活的地球在银河系。

答：

放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。

1、我们每天都要消耗食物和各种各样的生活用品，与此同时，也产生了许多垃圾。

3、米饭里面的主要成分是淀粉。

米饭淀粉遇到碘酒，颜色变成蓝色，这种蓝色物质是一种不同于米饭和淀粉的新物质。

【典例展示】

15、在显微镜下，我们看到了叶细胞中的叶绿体，还看到了叶表皮上的气孔。

误点1不能灵活掌握中位线性质，导致错误

例1:

如图，点D、E分别为ΔABC的边AC、BC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在边AB上的点P处。

若∠CDE=48°，则∠APD的度数为（）

6、二氧化碳气体有什么特点？

A.42°B.48°C.52°D.58°

误点2不能掌握中点四边形的特点，导致错误

例2：

如图，杨伯伯家小院子里的四棵小树E、F、G、H刚好在其四边形院子ABCD各边的中点上，四边形ABCD的对角线相等，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（　　）

A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形

例3图