数学建模作业4.docx
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数学建模作业4
数学建模作业-----第五章
1非线性最小二乘问题
（1）最小二乘方法
无约束问题为：
minz=
编写lingo程序：
sets:
quantity/1..15/:
x,y;
endsets
data:
x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;
y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;
enddata
min=@sum（quantity:
（a+b*@exp（x*c）-y）^2）;
@free（a）;@free（b）;@free（c）;
结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
44.78049
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
68
VariableValueReducedCost
A2.4301770.000000
B57.332090.000000
C-0.4460383E-010.000000
（2）最小一乘法
无约束问题为：
min（a,b）z=
编写lingo程序写出相应的LINGO程序如下：
sets:
quantity/1..15/:
x,y;
endsets
data:
x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;
y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;
enddata
min=@sum（quantity:
@abs（a+b*@exp（x*c）-y））;
@free（a）;@free（b）;@free（c）;
运行结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
20.80640
Extendedsolversteps:
2
Totalsolveriterations:
643
VariableValueReducedCost
A3.3982670.000000
B57.114610.000000
C-0.4752126E-010.000000
（3）最大偏差最小的方法
编写程序：
sets:
quantity/1..15/:
x,y;
endsets
data:
x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;
y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;
enddata
min=@max（quantity:
@abs（a+b*@exp（c*x）-y））;
@free（a）;@free（b）;@free（c）;
结果：
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
91
Variables:
76
Integers:
30
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
2.774408
Extendedsolversteps:
38
Totalsolveriterations:
7654
VariableValueReducedCost
A2.8855940.000000
B55.862460.000000
C-0.4441314E-010.000000
（4）画出散点图和曲线图
编写matlab程序如下：
>>x=[257101419263134384552536065];
y=[54504537352520161813811846];
scatter（x,y,'k*'）;
holdon
x=0:
0.1:
100;
y=2.43+exp（-0.0446*x）.*57.33;
plot（x,y,'g'）;
xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;
holdon
x=0:
0.1:
100;
y=3.40+exp（-0.048*x）.*57.11;
plot（x,y,'r'）;
xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;
holdon
x=0:
0.1:
100;
y=2.89+exp（-0.044*x）.*55.86;
plot（x,y,'b'）;
xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;
得到图形：
分析：
三条曲线的结果大致相同，但是略有差异。
最小二乘法当回归残差满足正态分布时，它有很好的统计性质，但是他的回归性质不稳定。
最小一乘法和最小二乘法近似，更靠近主流数据。
最大偏差最小回归法因为受到最大平偏差的影响，曲线始终偏移。
2非线性优化问题：
（1）设汽油由
桶A类原油和
桶B类原油化合而成，民用燃料油由
桶A类原油和
桶B类原油化合而成，汽油广告费为
元，民用燃料的广告费为
元。
由题意知道，
汽油产量为
桶，销量为
桶；
民用燃料油产量为
桶，销量为
桶。
约束条件：
销售约束：
，
原料约束：
，
指标约束：
，
目标函数：
利润：
编写lingo程序如下：
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=8*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=6*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1;
z2<=x2+y2;
得到：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3230000.
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
Z110000.000.000000
Z210000.000.000000
X13000.0000.000000
X22000.0000.000000
Y12000.0000.000000
Y28000.0000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13230000.1.000000
20.000000297.0000
30.000000174.5000
40.000000-24.50000
50.000000-24.50000
60.000000248.0000
70.000000199.0000
结果分析：
汽油由3000桶A类原油和2000桶B类原油化合而成；
民用燃料油产品由2000桶A类原油和8000桶B类原油化合而成；
广告费分别为1000元；
石油公司获得最大利润3230000元。
（2）根据问题的需要，设汽油中增加SQ量
民用燃料油增加SQ量
.
根据题意，新的约束条件为：
销售约束：
，
SQ约束：
，
原料约束：
，
指标约束：
，
新的目标函数：
利润：
编写lingo程序如下：
在LINGO中输入：
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*（k1+k2）;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=（8-k1^0.5）*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=（6-0.6*k2^0.6）*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=（x1+y1）*0.05;
k2<=（x2+y2）*0.05;
得到：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3756000.
Totalsolveriterations:
26
VariableValueReducedCost
Z131500.000.000000
Z20.6618792E-070.000000
K1750.00000.000000
K20.0000001029.000
X15000.0000.000000
X20.0000000.000000
Y110000.000.000000
Y20.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13756000.1.000000
20.6618757E-07250.4000
30.000000250.4000
4390791.90.000000
50.0000000.000000
60.000000248.0000
7-0.6618792E-07199.0000
80.00000048.00000
90.0000001028.000
结果分析：
汽油由5000桶A类原油和10000桶B类原油化合而成，
只生产汽油产品，不生产民用燃料油，
增加SQ添加剂750桶，
汽油广告费31500元，
石油公司获得的利润最大为3756000元。
（3）由题意知，只需要在第二问的基础上修改利润表达式，其他条件不变即可。
修改后的目标函数：
利润：
编写lingo程序：
max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*400-100*（k1+k2-400）;
x1+x2<=5000;
y1+y2<=10000;
10*x1+5*y1>=（8-k1^0.5）*（x1+y1）;
10*x2+5*y2>=（6-0.6*k2^0.6）*（x2+y2）;
0.5*z1<=x1+y1+k1;
z2<=x2+y2+k2;
k1<=（x1+y1）*0.05;
k2<=（x2+y2）*0.05;
得到：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3791000.
Totalsolveriterations:
25
VariableValueReducedCost
Z131500.000.000000
Z20.0000000.000000
K1750.00000.000000
K20.0000000.000000
X15000.0000.000000
X20.00000051.45000
Y110000.000.000000
Y20.00000051.45000
RowSlackorSurplusDualPrice
13791000.1.000000
20.000000255.4000
30.000000255.4000
4390791.90.000000
50.0000000.000000
60.000000248.0000
70.000000199.0000
80.000000148.0000
90.00000099.00000
分析结果：
汽油由5000桶A类原油和10000桶B类原油化合而成，
应全部生产汽油，
添加SQ的量为750，
投入广告费31500元，
此时获得最大利润，为3791000元。
3毛巾清洗服务问题.
设订货量为Q，订货周期为t,订货费为
脏毛巾储存费为
干净毛巾储存费为
.每条毛巾的清洗费为w。
由题意得
，
，w=0.6
毛巾的平均存货费为
;
毛巾平均订货费为
;
毛巾的平均总费用min=
+
将各已知量代入上式得到：
min=
+
=
编写LINGO程序：
min=0.5*Q*（0.02+0.01）+600*（81+0.6*Q）/Q;
得到结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
414.0000
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
208
VariableValueReducedCost
Q1800.0000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1414.0000-1.000000
所以
1800，每隔3天进行一次更换，毛巾平均总费用min=414元。
（2）根据题意知：
添加约束条件
当Q
w=0.60;
当Q
2500,w=0.50；
写出相应的LINGO程序如下：
D=600;C_P1=0.02;C_p2=0.01;C_D=81;
w=@if（Q#lt#2500,0.60,0.50）;
min=1/2*Q*（C_P1+C_P2）+D*（C_D+w*Q）/Q;
运行程序得到：
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
15
Variables:
10
Integers:
6
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
356.9400
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
D600.00000.000000
C_P10.2000000E-010.000000
C_P20.1000000E-010.000000
C_D81.000000.000000
w0.50000000.000000
Q2500.0000.000000
分析结果：
当订货量为2500条时，毛巾消费为356.94元，更换周期为4-5天，可以选择打折服务。
4经济订购与生产存储模型.
（1）若公司向合同商购买
设最大库存量为Q，最小库存量为0。
由题意得
平均存货费
平均订货费=
.
平均总费用min=
+
代入数据得：
min=
编写lingo程序：
min=0.5*0.02*365*Q+15*26000/Q;
运行结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
2386.210
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
290
VariableValueReducedCost
Q326.87810.000000
分析结果：
最为327，分别代入可知，
min=2386.211元。
=327/26000=0.01258（年）
全年订货次数
=79.51070=80次/年。
（2）若公司自己生产
设单次生产量为Q，存储周期为t，有
.
由题意得：
p=
代入数据得：
p=
编写lingo程序：
min=0.5*0.02*365*（1-26000/36500）*Q+20*26000/Q;
运行得到：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1477.836
Extendedsolversteps:
5
Totalsolveriterations:
190
VariableValueReducedCost
Q703.73160.000000
分析结果：
平均库存费用为1477.836元，
对比可知，该公司应该自己生产。
⑤加分试验（选址问题）
（1）模型建立
记工地的位置为（ai，bi），水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为（xj，yj），日储量为ej，j=1,2；从料场j向工地i的运送量为Xij。
目标函数为：
约束条件为：
当用临时料场时决策变量为：
Xij，
当不用临时料场时决策变量为：
Xij，xj，yj。
使用两个临时料场A（5,1），B（2,7）.求从料场j向工地i的运送量为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题.线性规划模型为：
其中
，i=1,2,…,6,j=1,2,为常数。
.模型求解
编写相应的LINGO程序如下：
MODEL:
sets:
demand/1..6/:
a,b,d;
supply/1..2/:
x,y,e;
link（demand,supply）:
c;
endsets
data:
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;
enddata
init:
x,y=5,1,2,7;
endinit
min=@sum（link（i,j）:
c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^0.5）;
@for（demand（i）:
[DEMAND_CON]@sum（supply（j）:
c（i,j））=d（i）;）;
@for（supply（i）:
[SUPPLY_CON]@sum（demand（j）:
c（j,i））<=e（i）;）;
@for（supply:
@free（x）;@free（y）;）;
END
运行程序得到如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
136.20604
Totalsolveriterations:
59
VariableValueReducedCost
A
（1）1.2500000.000000
A
（2）8.7500000.000000
A（3）0.50000000.000000
A（4）5.7500000.000000
A（5）3.0000000.000000
A（6）7.2500000.000000
B
（1）1.2500000.000000
B
（2）0.75000000.000000
B（3）4.7500000.000000
B（4）5.0000000.000000
B（5）6.5000000.000000
B（6）7.7500000.000000
D
（1）3.0000000.000000
D
（2）5.0000000.000000
D（3）4.0000000.000000
D（4）7.0000000.000000
D（5）6.0000000.000000
D（6）11.000000.000000
X
（1）3.2548830.000000
X
（2）7.250000-0.4340540E-05
Y
（1）5.6523320.000000
Y
（2）7.750000-0.1390490E-05
E
（1）20.000000.000000
E
（2）20.000000.000000
C（1,1）3.0000000.000000
C（1,2）0.0000004.008540
C（2,1）0.0000000.2051358
C（2,2）5.0000000.000000
C（3,1）4.0000000.000000
C（3,2）0.0000004.487750
C（4,1）7.0000000.000000
C（4,2）0.0000000.5535090
C（5,1）6.0000000.000000
C（5,2）0.0000003.544853
C（6,1）0.0000004.512336
C（6,2）11.000000.000000
所以，A料场向工地1…6运送水泥量分别为3吨、0吨、4吨、7吨、6吨和0吨，B料场向工地1…6运送水泥量分别为0吨、5吨、0吨、0吨和11吨，这样总的吨公里数最小为136.20604.
（2）
为进一步减少吨公里数，改建两个新的料场，日储量各位20吨。
即在问题
（1）中稍微改变程序，如下：
改建两个新料场，要同时确定料场的位置（xj,yj）和运送量Xij，在同样条件下使总吨千米数最小。
这是非线性规划问题。
非线性规划模型为：
MODEL:
sets:
demand/1..6/:
a,b,d;
supply/1..2/:
x,y,e;
link（demand,supply）:
c;
endsets
data:
a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;
b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;
d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;
enddata
init:
x,y=5,1,2,7;
endinit
min=@sum（link（i,j）:
c（i,j）*（（x（j）-a（i））^2+（y（j）-b（i））^2）^0.5）;
@for（demand（i）:
[DEMAND_CON]@sum（supply（j）:
c（i,j））=d（i）;）;
@for（supply（i）:
[SUPPLY_CON]@sum（demand（j）:
c（j,i））<=e（i）;）;
@for（supply:
@bnd（0.5,x,8.75）;@bnd（0.75,y,7.75）;）;
END
运行结果得到如下：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
89.88347
Totalsolveriterations:
19
VariableValueReducedCost
X
（1）5.6959660.000000
X
（2）7.250000-0.1277784E-05
Y
（1）4.9285580.000000
Y
（2）7.750000-0.1286103E-05
E
（1）20.000000.000000
E
（2）20.000000.000000
C（1,1）3.0000000.000000
C（1,2）0.0000001.765937
C（2,1）5.0000000.000000
C（2,2）0.0000000.6737602
C（3,1）4.0000000.000000
C（3,2）0.0000000.8781215
C（4,1）7.0000000.000000
C（4,2）0.0000001.733428
C（5,1）1.0000000.000000
C（5,2）5.0000000.000000
C（6,1）0.0000004.530599
C（6,2）11.
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