三角形的性质.docx
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三角形的性质
三角形与全等三角形
一、三角形的概念与分类
1．由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形，叫做三角形．
2．三角形按边可分为：
不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
二、三角形的性质
1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
（1）角平分线：
三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
（2）中线：
三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
（3）高：
三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
（4）三边垂直平分线：
三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
（5）中位线：
三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
三、全等三角形的概念与性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边、对应角分别相等；
（2）全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等．
四、全等三角形的判定
1．一般三角形全等的判定
（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SAS）；
（3）如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（ASA）；
（4）如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（AAS）．
2．直角三角形全等的判定
（1）两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
（2）一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（3）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为（HL）．
3.证明三角形全等的思路
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角
注意：
（1）判定三角形全等必须有一组对应边相等；
（2）判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定
五、定义、命题、定理、公理
有关概念
（1）定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．
（2）命题：
判断一件事情的语句．
①命题由题设和结论两部分组成．
②命题的真假：
正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
③互逆命题：
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
（3）定理：
经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．
（4）公理：
有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
六、证明
1．证明：
根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．
2．证明的一般步骤：
①审题，找出命题的题设和结论；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出已知、求证；④分析证明的思路；⑤写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
七、典例解析
例1
（1）现在四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是（ ）
A．61° B．60° C．37° D．39°
例1
（2）题
【解答】
（1）C.
（2）如图，延长BD交AC于E.因为∠BDC＝∠C＋∠BEC，而∠BEC＝∠A＋∠B，∴∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B，∴∠A＝∠BDC－∠C－∠B＝98°－38°－23°＝37°，故选C.
变式训练1
1.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝（ ）
A．80° B．90°C．100° D．110°
2.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（ ）
A．2.5B．5C．10D．15
3.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
例2下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形两边之差小于第三边B．三角形的外角和是360°
C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
答案：
D
变式训练2
1．下面的命题中，真命题的是（ ）
A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等
例3
（1）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC＝FD，AB＝EF.
①请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是________；
②根据所添加的条件，证明△ABC≌△EFD.
【解答】
（1）①∠B＝∠F（或AB∥EF或AC＝ED），答案不唯一．
②证明：
当∠B＝∠F时在△ABC和△EFD中，AB＝EF，∠B＝∠F，BC＝FD.
∴△ABC≌△EFD（SAS）．
变式训练3
1、如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.
①求证：
△ACD≌△BCE；
②若∠D＝50°，求∠B的度数
课后练习
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．20° B．30°
C．35° D．40°
4.．已知在△ABC中，
（1）如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则
；
（2）如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；（3）如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则
上述说法中真命题的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
（1）求证：
△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的一条边上相遇？
等腰三角形
一、等腰三角形
1．概念及分类
有两边相等的三角形叫等腰三角形；有三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合，简称“三线合一”；
（3）等腰（非等边）三角形是轴对称图形，它有一条对称轴．
3．等腰三角形的判定
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两角相等的三角形是等腰三角形．
二、等边三角形的性质与判定
1．性质：
①等边三角形的内角都相等，且等于60°；②等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴．
2．判定：
三个角相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三、典例解析
例1
（1）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
（2）已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．100°
C．40°或100° D．70°或50°
【解答】
（1）B.
（2）C.
变式训练1
1、如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连结BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°C．60° D．50°
1题
2题
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
例2如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC.
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？
（用序号写出各种情形）
【解答】满足①③、①④、②③、②④，可判定△ABC是等腰三角形．
变式训练2
1．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cm B．12cm
C．15cm D．12cm或15cm
2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
4．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100° B．80°
C．70° D．50°
课后练习
1．等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
2．在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．40°C．45° D．36°
3．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．75°或15° B．36°或60°C．75° D．30°
4．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7B．11C．7或11D．7或10
5．等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ ）
A．13 B．14
C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是（ ）
A．2α＋∠A＝180°B．α＋∠A＝90°
C．2α＋∠A＝90°D．α＋∠A＝180°
7．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD的长为（ ）
A.
B．2
C．3
D．4
8．在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底边上的高，E为AC的中点，则DE＝________.
相似三角形
一、相似三角形的定义、性质、判定
定义：
如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．
性质：
1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
判定：
1．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
2．两角对应相等的两个三角形相似．
3．三边对应成比例的两个三角形相似．
二、典例解析
例1
（1）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE＝6，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
例
（1）题
例
（2）题
（2）如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2＝BC·BDB．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BCD．AB·AD＝AD·CD
（3）如图，∠1＝∠2，添加一个条件：
________，使得△ADE∽△ACB.
【解答】
（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴
＝
，
＝
，∴AC＝8.故选D.
（2）∵△ABC∽△DBA，∴
＝
，即AB2＝BC·BD，故选A.
（3）答案不唯一，如∠D＝∠C或∠E＝∠B或
＝
.
变式训练1
1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
2．如图所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
（第2题）
3．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F，如果
＝
，那么
＝（）.
4、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形。
（1）⊿ACF与⊿ACG相似吗？
说说你的理由.
（2）求∠1+∠2的度数.
课后练习
1．如图，在△ABC中，若DE∥BC，
＝
，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cmB．12cmC．11cmD．10cm
2．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．锐角三角形都相似B．直角三角形都相似
C．等腰三角形都相似D．等边三角形都相似
3．如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AC边上，若BD＝CD，∠B＝∠CDE，DE＝2，则AB的长度是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A.
B.
C.
D．无法确定
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BD⊥DC，BD＝DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N.下列结论：
①BH＝DH；②CH＝（
＋1）EH；③
＝
.其中正确的是（ ）
A．①②③B．只有②③C．只有②D．只有③
6.如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝______.
7.．一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30cm、40cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？
8．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
（1）求证：
△ADF∽△DEC.
（2）若AB＝4，AD＝3
，AE＝3，求AF的长．
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