数学分析中求极限的方法汇总.docx
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数学分析中求极限的方法汇总
数学分析中求极限的方法汇总
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数学分析中求极限的方法总结
1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：
定理1.1：
如果limf（x）=,limg（x）=
xx0xx0
1）
lim
f（x）g
（x）limf（
x）limg（x）
xx0
xx0
xx0
2）
lim
f（x）g
（x）=limf
（x）lim
g（x）
xx0
xx0
xx0
3）
若B
≠0则：
f（x）
lim
limf（x）
xx0
xx0g（x）
limg（x）
xx0
4）
lim
cf（x）
climf（x）
c
xx0
xx0
lim
f（x）
nxlimxf（x）
n
5）
xx0
xx0
（n
为自然数）
上述性质对于x,x,x也同样成立i
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
limx25
例1.求x2x3的极限
解：
由定理中的第三式可以知道
x12
lim
例2.求x3x3的极限
解：
分子分母同时乘以x12
x12x12lim
x3x3x12
limx3
x3x3x121
4
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
所以
2利用导数的定义求极限导数的定义：
函数f（x）在x0附近有定义，，则
yfx0xfx0
如果
存在，
则此极限值就称函数f（x）在点x0的导数记为f'x0。
在这种方法的运用过程中，首先要选好
f（x）。
然后把所求极限都表示成f（x）在定点x的
x0
1
f'2
3利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式：
1
例5：
lim（12x）x
x0（1x）
1）lxim0sinxx1，
解：
为了利用极限1故把原式括号内式子lim（1x）xe
拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外的
指数互为倒数进行配平。
lim1cosx
例6：
x0x2
解：
将分母变形后再化成“0/0”型所以
2x
2（2x）2
1sin2
例7:
1
求lim（12x）x的极限x0
lim
x0
解：
原式=lim（12x）2x（12x）2xe2
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
一般常用的方法是换元法和配指数法。
4利用函数的连续性
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的
内的点,则lximx0f（x）f（x0）
limarcsin2x1
例8：
x16
解:
因为复合函数是初等函数,而x1是其
arcsin
定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函
数值.因此
2x12x1
limarcsinarcsin
x166
1
=arcsin=
26
点的极限值就等于该点处的函数值
limsinln12
=0
5利用两个准则求极限。
（1）函数极限的迫敛性：
若一正整数N,
当n>N时，有且lximxnlximzna,则有lximyna。
xnynzn
利用夹逼准则求极限关键在于从x的表达式中，
xn
通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。
ynznynxnzn
求的极限
xn
小项
nxn
则n2nxnn21
limlim1
又因为xn2nxn21
lximxn1
（2）单调有界准则：
单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
例12：
设x110,xn16xnn1,2,n。
试证数列xn的极限存在,并求此极限。
解:
由x110及x24知x1x2。
设对某个正整数k有xkxk1，则有xk16xk6xk1xk2
从而由数学归纳法可知,对一切自然数n,都有
xnxn1，
即数列{xn}单调下降,由已知易见xn0（n1,2...）即有下界,
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。
令lnimxnA对xn16xn两边取极限，
n
有6所以有260解得A=3,或2。
因为xn0（n1,2...），所以0，舍去2,故lnimxn3
6利用洛必达法则求未定式的极限定义6.1：
若当（或）时，函数和
都趋于零（或无穷大），则极限
f（x）可能存在、也可能不存在，F（x）
xaxfxFx
0
例如：
lim
tanx,（
0
00型）;
x0
x
ln
lim
sinax,（
型）
x0ln
sinbx
lxima
xa
（x）
通常称为0型和型未定式。
定理6.2：
设
（1）当x时,函数和都
趋于零;
2）在a点的某去心邻域内,f'x
和都存在且;
F'xF'x0
（3）limf（x）存在（或无穷大）,（xa）F（x）
则
定义6.3：
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
222
limsinxxcosx
例10：
x0x2sin2x
解：
（sinxxcosx）（sinxxcosx）
sinxxcosxlimsinx3xcosx
xx0x3
cosxcosxxsinx2sinx2
=2lim2=lim=x03x23x0x3
=lim
3x2
3x0x在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例，例11：
求lxim01exx
解：
lxim01exx=litm01tetlitm01et1洛必达法则通常适用于以下类型：
0
型：
limx（arctanx）
例15求lxim1xe
0型：
例12求x2
7.用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。
对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便。
im0
lix
cosxe
24
xx4
cosx1o（x4）
2!
4!
x24
2x1x4
e21*o（x）
2!
2!
4!
21
例18：
xlim[xx2ln（11x）]
解：
因为当x时，1所以
0
x
1111212
ln
（1）*（）2o（（）2）（x）
xx2xx
从而
211
x2ln
（1）xo
（1）x
x2
于是
2111xlim[xx2（11x）]xlim[2o
（1）]2注意：
如果该题利用其他方法就不容易做了。
8.利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。
凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求。
利用定积分可求如下二种形式的极限:
f
（1）f
（2）...f（n）limnnnxn
定理8.1：
设fx在[0，1]上可积，则有
f
（1）f
（2）...f（n）
nnn
n
解：
令fxx，fx在[0,1]上可积。
12...n
11limnnnxdxxn02
定理8.2：
若在[0,1]上可积，则
f（x）
n1
f（nn）epx[0lnf（x）dx]
fxx,则有：
fxx
imn1*2*...*nepx[lnxdx]e1
11
）
n1n22n
nn!
limxn
（1
例21：
求linm（
解：
把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：
n11
Jlinmin
ni11inn
1
不难看出，其中的和式是函数发f（x）1x在区间0,1上的一个积分和。
（这里所取的是等分分割，x1,
xin,iniin1,ni（i1.2.n.），所以
nnn
J01dxx
1ln（1x）ln2
当然，也可把J看作f（x）x在1,2上的定积分，同
样有
9.利用无穷小的性质求极限i
我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数
是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积,仍是无穷小量。
利用这两个定理可以求出某些函数的
极限
例22：
解：
4x7
lim2xx23x2
当x1时分母的极限为0，而分子的极限不
为0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：
lim24x7
x1x23x2
132
47=0
利用无穷小量的倒数是无穷大量
lim24x7
x1x23x2
21
xsin
解：
lim
x0
x
sinx
x
limxsin
x0sinx
limx1
x0sinx；
sin1x为有界量，
因为
当x0时，x为无穷小量，
limxsin10
故x0x；所以原式=0。
11
解：
因为sinx1所以sinx是有界函数
limx0
x1x3
故x3在x时是无穷小量。
1x3利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以
xsin1
lxim1xx30.
10.利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。
常见等价无穷
x
）sinx~tanx~ln（1x）~e1~arcsinx~arctanx~x
价无穷小有重要性质:
设~',~'且lim''存在，则lim=',这个性质表明,求两个无穷小量之比limlim'
'
的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量之比
的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量代替从而使计算大大简化。
i
limtg3x
例25：
极限x0sin5x
解：
当x0时，tg3x~3x,sin5x~5x,
limtg3xlim3x3
x0sin5xx05x5
2sinxsin2x
例26：
求极限lxim0x3
2sinxsin2x
3
x
limsinx
x0x
2（1cosx）
2
x
2
lim1x21
=x0x2
错误的解法是：
2sinxsin2x2x2x（错在对lim3lim30
x0x3x0x3
加减中的某一项进行了等价无穷小代换）
11.利用级数收敛的必要条件求极限i
给出一数列u,对应一个级数若能判定
unun
n1
此级数收敛,则必有limun0。
由于判别级数收敛nn
的方法较多,因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。
lima（a1）...（an1）xn,nn!
由比值审敛法：
lim2un1lim2n1（n1）!
nnn
nunn（n1）!
2nn!
lim2（n）
lim2n
（11
nn1
=e
所以
12.利用极限定义验证极限用极限定义验证极限，是极限问题的一个难点。
做这类题目的关键是对任意给定的正数，如何找出定义中所说的N或确实存在。
这实际上
证：
任给0要找N,使nN时，有
显然，当n较大时，如n2，有
这样一来，取Nmax（2,[34]）,则当n>N时，
则有n2及n34,
因此上述各式成立。
证毕。
13.涉及单侧极限与双侧极限的问题
例28：
求函数f（x）
xx11在x1处的左右极限，并说明在x1处是否有极限。
解：
x1
xlim1f（x）xlim1
（1）2
x1x1x1，
limf（x）lim（1
x1x1x1
（x1））0
limf（x）limf（x），x1x1在x=-1处的极限不存在。
因为
所以f（x）
利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的
的直接应
limf（x）alimf（x）limf（x）a注：
本例是xx0xx0xx0
用。
14.利用微分中值定理和积分中值定理求极限
xsinx
lim2x2sinx例29：
x0x3解：
因为
xsinxxsinx
2222xsinx
33
xxsinxx
2
xsinx
22ln2
由微分中值定理xsinx（介于x与sinx之
间）
xsinx
22xsinxlim*lim原式=x0xsinxx0
1cosxln2
3x2
lim0（2ln2）lxim01cosxln2
xsinxxsinx
2x2sinx2x2sinxxsinx
由微分中值定理得，
2x2sinxxsinx1cosxln2
3x2
原式=lixm0xsinxlixm0x3lim02ln2lixm0
柯西准则：
要使{xn}有极限的充要条件使任给0,
存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然
xnxmn
x111...1例31：
xn123...n没有极限。
证明：
对任意的n，取m=n,我们有
xnxmnxnx2n
1
因此，对于02，对任意的N，当n>N时，取m=n
就有
即变量xn没有极限。
16.换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
lim（11）x
例32xx.
解令
例33:
求lxim1
xx1xlnx
解：
令txx1
则
lnxln（t1）
16.数列极限转为函数极限求解
21limn（1nsin）例34求lnimn（1nsinn）.
1t
解令nt,则原式
sinttsint1cost
1）lim3lim2tt0t3t03t2，
所以在t0时，
1t2
1cost与2等价，因此，原式
1
6
在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解
的。
所以求极限时，首先观察数列或函数的形式．选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。
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