数学分析是大学数学专业学生最早学习的课程入门课.docx

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数学分析是大学数学专业学生最早学习的课程入门课

总则

1、《数学分析》是大学数学专业学生最早学习的课程（入门课程）。

它丰富的内容以及它们所体现的新的数学思想和新的解决问题的方法技巧，对学生数学思维能力的培养和训练影响很大。

2、《数学分析》作为数学专业最重要的主干基础课且具有：

课程周期最长（三学期）；授课时数最多（288学时）和学分比重最大（16学分）“三最”的特点。

因此教好该门课程对学生学好其他后继课程甚至顺利完成本科阶段学业都有十分重要的意义。

3、数学分析是数学专业研究生入学的必考课程，也是其它非数学专业研究生入学统考课程高等数学的主要内容。

因此学生只有学好该课程才可为他们继续求学深造打下必要的基础。

4、经过长期的教学实践和改革，数学分析的教学内容已相对稳定，体系结构也基本固定。

可以说内容以及结构体系已属经典。

由于以上原因，我们制定本细则，对教师的教学提供指导。

一、对象与内容

《数学分析》是用极限方法（无穷小分析）研究函数（主要是连续函数类）基本性质的一门学科。

《数学分析》课程的基本内容有：

极限论、微分学、积分学和级数论四大部分，授课时应紧紧抓住极限方法这条贯穿数学分析始终的主线，使得整个课程科学地形成一个辩证统一体。

二、任务与目的

本课程是数学系数学专业的一门主干基础课，它一方而为后继课程（微分方程、复变函数、概率论等）及有关选修课提供所需的基础知识，同时还为培养学生的独立工工作能力提供必要的训练。

学生学好这门课程的基本内容和方法对今后的学习和从事中学数学教学工作都具有关键性作用。

通过整个教学过程，要求学生掌握四大部分内容的基本概念基本理论和基本运算并通过一定数量习题的训练，培养学生的运算技能以及对数学问题的思维、论证能力。

同时，授课时要紧紧地抓住基本内容，提示其中的辩证思维因素，系统地培养和提高学生的辩证逻辑思维能力，加速学生从常量数学到变量数学的过渡为学生的思维能力实现质的飞跃打下牢固的基础。

此外，要阐述本课程与中学数学中有关内容的内存联系以指导中学教学。

三、授课原则

讲授《数学分析》这门课时，要遵循教学过程的几个基本原则，这就是；

1、贯彻传授知识和培养能力相结合，面经培养能力为核心的原则，通过传授知识，有计划、有步骤、有系统地培养运用数学分析方法的能力，培养与发展创造性思维能力。

2、贯彻抽象与具体相结合，而以培养与发展学生的抽象思维与演绎能力为主的原则。

3、贯彻巩固与发展相结合，以形成知识单元链为核心的原则，促使学生的知识不断深化，形成知识的有机整体。

4、贯彻理论与实践相结合的原则，培养与提高学生运用数学分析基础知识触电实际问题的能力。

5、贯彻因材施教与重点培养相结合的原则，既要注意到学生中学阶段已获得的基础知识以及基本认识能力已得到初步训练的事实，更要大力抓好在知识及基本认识能力方面从中学到大学的过渡引导并激励学生顺利地通过过渡关；既要示学生达到大纲的基本要求，又要抓两头，注意引导学有余力的学生向高层次的要示发展自己。

6、贯彻备课的从大到小、由粗到细的原则，对教材要经历通读——重读——精读的过程，反复钻研。

既要反握这门课程的重点难点，关键所在，又要有突出重点突破难点，抓住关键的全局规划及具体安排。

既要有让学生巩固地掌握该课程基础理论的僵局性、局部性规划，又要有培养训练学生掌握数学分析方法的全局性和局部性部署。

7、贯彻授课的全局性原则，把每节课当作整个数学分析课程的一个有机的重要链环来讲授，对于每个知识单元链及每类数学分析方法之传授与培养既要有全局性计划，又要有局部的具体部署，让学生在整个教学过程中有计划、有步骤、系统地、循序渐进地理解、掌握基础知识与提高基本的数学认识能力。

8、贯彻科学性与思想性相结合的原则，在讲授数学分析的科学体系时，要有意识地揭示基本内容所蕴含的丰富的辩证唯物主义思想，对学生进行生动具体的辩证法教育，提高辩证思维能力。

四、授课方式与教学方法

一般地采用课堂教学方式为主。

授课时要自始至终坚持启发式的教学方法有意识、有步骤地培养、巩固与发展学生的创造性思维能力。

授课进度上要注意先慢后快先粗后细，扎实地提高教学质量。

五、教材的选定与主要参考书的选择

复旦大学数学系陈传璋等编数学分析（上、下）

华东师大数学系编数学分析（上、下）

关于详细授课进度安排建议

一、总学时与大体安排

《数学分析》在数学系一年级和二年级上学期讲授，，周学时按6——6——6安排，总学时288学时（6×12+6×18+6×18）具体安排如下：

第一学期（72学时）

第一章变量与函数8学时（其中习题课2学时）

第二章极限与连续34学时（其中习题课8学时）

第三章关于实数的基本定理和闭区间上连续函数性质的证明

10学时（其中习题课2学时）

第四章导数与微分20学时（其中习题课6学时）

第二学期（108学时）

第五章微分学基本定理及应用20学时（其中习题课4学时）

第六章不定积分14学时（其中习题课2学时）

第七章定积分16学时（其中习题课2学时）

第八章定积分的应用和近似计算12学时（其中习题课2学时）

第九章数项级数16学时（其中习题课2学时）

第十章广义积分12学时（其中习题课2学时）

第十一章函数项级数18学时（其中习题课2学时）

第三学期（108学时）

第十二章傅里叶级数和傅里叶变换8学时（其中习题课2学时）

第十三章多元函数的极限与连续10学时（其中习题课2学时）

第十四章偏导数与全微分10学时（其中习题课2学时）

第十五章极值和条件极值10学时（其中习题课2学时）

第十六章隐函数存在定理、函数相关10学时（其中习题课2学时）

第十七章含参变量积分2学时

第十八章含参变量的广义积分8学时（其中习题课2学时）

第十九章积分（二重、三重积分，第一类线、面积分）的定义和性质

6学时

第二十章重积分的计算及应用16学时（其中习题课4学时）

第二十一章曲线、曲面积分的计算16学时（其中习题课4学时）

第二十二章各种积分间的联系和场论初步12学时（其中习题课4学时）

二、详细授课进度安排（见各学期教学计划）

关于执行大纲的具体说明

执行大纲时，要反复钻研教材。

并深入体会总则中提及的数学分析的对象、任务与目的，同时认真思索在整个数学分析课程的教学过程中应如何有效地体现一般原则中提到的几个原则，确定整个数学分析课程的重点、难点、关键章节内容，从全局上（战略上）保证数学分析课程的教学质量与效果。

对于各个章节的教学也应持这种观点与态度来备课与讲课，从局部上（战术上、战役上）保证各个知识单元的教学质量与效果，把提高数学分析课程教学质量落实到章节中去，落实到每个授课课时中去，为提高《数学分析》课程的教学质量打下扎实的物质基础与思想基础。

基于上面的想法，下面对于每个学期、每章的教学提出一些具体说明，供参考。

期望这门课程的主讲教师通过自己的教学实践认真积累资料，不断充实、修改和补充，经过一定时间的实践，《数学分析》课程的教学过程会跨上更加科学化的轨道，其教学艺术水准及效果将达到一个新的水平。

《数学分析》课程的重点、难点、关键的章节内容如下：

重点章节内容——数列与函数的极限，实数基本定理，微分学基本定理，微积微分法、积分法（不定积分、定积分，二重积分第一、第二型线面积分）和数学分析的基本逻辑方法。

难点——数列极限的《ε—N》宣言，实数基本定理，隐函数存在唯一性定理，达布和性质，多重积分换元法及其证明与完全分析法，构造性证明方法、反例法、还有“非”概念。

关键——极限的《ε—N》、《ε—δ》语言，实数基本定理，微分学基本定理，微分当（求原函数）以及数学分析的基本逻辑方法。

一、关于一年级第一学期的教学

重点章节及内容：

数列的极限，函数的导数和微分（包括运算法则P，微分中值定理，实数基本定理。

难点：

数列极限的《ε—N》语言、数列极限及基本性质的证明方法，实数基本定理及其等价性的证明。

关键：

用代数方法研究函数的基本性质，运用数列极限的《ε—N》定义，通过完全分析法研究基本性质（收敛数列、及极限存在的条件）。

1、关于《第一章变量与函数》的教学

重点：

函数概念（包括复合函数、反函数、分段函数），代数方法研究函数的基本性质（收敛数列的性质，数列极限存在的条件）。

难点：

函数概念，否命题及其证明。

关键：

用代数方法研究函数的基本性质。

这章是整个《数学分析》课程的开篇，也是用代数方法系统地总结提高中学阶段已接触到的函数概念的总结性章节，是中学到大学的过渡性章节，在数学方法及学习习惯等方面起着承前启后的作用，应十分重视本章的教学工作。

本章的教学目的与任务是，通过实例让学生具体但又严格地理解函数的经典宣言的本质，掌握用代数方法研究函数基本性质的技能牢固地掌握基本初等函数的基本性质，同时注意培养学生严密的论证习惯与能力。

函数概念是《数学分析》的最基本的重要概念之一。

本章所用的函数概念与阶段的一样，仍属于经典定义，但本章从对应法则（映射）这个角度来严格化。

应与能力。

同时要有意识地通过第九章的变上限积分，第十二、十一、十五、上六、十九章等章节来深化对函数概念理解。

代数方法是高中毕业生比较熟悉的方法，但系统地用代数方法不定期研究函数基本性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性、运算性质（包括复合、求逆））是本章的关键之处，是对中学数学内容的总结、提高。

也是过渡到极限方法（无穷小分析）的扎实的物质基础，这一点在本章教学过程中应自始至终抓住不放，并不断总结，巩固与提高这种最基本的技能，同时要抓住对习题中谁题目的训练，养成使用数学语言来严密地论证问题的习惯与能力。

基本初等函数是《数学分析》所研究的函数的基本桅元素应要求学生达到能熟练地写出表达式、示意图、直观分析函数性质这种水平。

2、关于《第二章极限与连续》的教学

重点：

数列极限、函数极限及用极限方法证明数列极限、函数极限的基本性质，函数连续、一致连续的概念。

连续函数的局部与整体性质。

基本初等函的连续区间。

难点：

数列极限，函数极限概念及完全分析法，函数的一致连续性。

关键：

《ε—N》、《ε—δ》定义。

本章是《数学分析》方法的基础，是年关键性章节，也是教与学的难点所在。

要抓住《ε—N》、《ε—δ》语言（定义）与完全分析法，并坚持始终如一。

这一章的教学质量将影响着整个课程的教学质量，应引起主讲教师的高度重视。

本章的教学目的任务是，让学生准确地理解数列极限的《ε—N》定义与函数极限的《ε—δ》定义，并通过收敛数列基本性质与函数极限基本性质的论证过程掌握《数学分析》的常用方法——定义法、完全分析法。

理解并掌握数列极限的基本性质与函数极限的基本性质。

了解海因定理的内容。

能运用定义、四则运算、极限存在判别法、两个重要极限及柯西准则。

判别极限的存在性，熟练地求出极限。

同时注意培养使用极限方法论证总是的能力和培养进行严密论证的数学习惯。

通过极限方法正确理解函数连续的概念（包括左右概念及间断概念及其几何意义，理解函数连续的局部与整体的性质，掌握基本初等函数、初等函数的连续区间。

重视并加强论证能力的训练，逐步提高使用数学分析方法进行论证的能力。

从理论知识的内在联系来看，函数连续性是函数极限的直接“推论”，在理论上可以说没有什么新东西，但《数学分析》的研究对象主要是连续函数类，因此“连续”、“一致连续”是重要的基本概念之一，要让学生对概念有确切的理解，对“不连续”“不一致连续”也要有正确地理解与表述，同时掌握证明分段函数连续性的方法。

在数列中所体现的极限法是《数学分析》方法的理论基础，但不能一蹴而就，要遵循认识论的规律，要通过整个过程的教学过程，其中主要通过第一、二、六、十五章及第四、十六、八、十七章与十四、十一、十九章等章节，有计划有步骤有层次地理解掌握巩固与深化对极限概念和极限方法的认识。

基于这种认识，在讲解数列极限概念时，要注意使用具体生动的事例，但更应该认真提示《ε—N》、《ε—δ》语言的本质及其几何意义，认真地讲过上册三点注意，而对于论证的题目仅限于书中所列例题及习题的类型。

同时在用完全分析法论证问题的过程中，要认真培养学生使用“放大”法及“取大N”这种常用技巧的能力。

关于函数极限概念要重点讲好两种情况的极限，以此为基础，举一反三，正确地理解及用《ε—N》、《ε—δ》语言表达所有的两大类（极限存在与不存在）七种变化过程，二十八种情况的极限概念。

两个重要极限是证明导数公式的工具是重要的内容，但不宜作太烦杂的题目，仅以书上习题类型为限。

极限概念及极限方法到此已完成了一个（初级的）认识阶段，往后还要如前面所指出的那样——以过若干个螺旋上升的不同层次的循环过程，逐步深化，因此，本章是极其重要的理论知识基础。

方法论基础，要充分发挥习题课的作用，使学生对极限的知识系统化、严格化、严密化。

对概念能正确地理解，具备用《ε—N》、《ε—δ》语言严格表述的能力，并具备初步的使用极限方法进行论证的能力。

同时要注意运用对偶原则，引导学生用《ε—N》、《ε—δ》语言来描述各种情况下极限的“非”概念，从另一个侧面加深对极限概念的理解。

这也是使用《数学分析》方法论证问题的理论需要，学生能加深对非概念的理解与表述，将大大提高学生解决问题的能力。

连续函数的局部的和整体的性质及基本初等函数的连续区间是后继各章的研究基础，要引导学生自觉地进行证明。

还不能证明的定理，如介值定理、一致连续性定理等，要通过几何解释让学生形象地了解其确切的涵义，并通用正确地运用这些性质。

习题及总练习题中的论证题目是很好的，要通过课堂、作业、习题课，逐一加以解决，借以提高学生进行严密论证的能力与兴趣。

同时要引导学生系统地总结极限的基本性质的求极限的几种方法，以便形成巩固的知识单元链。

3．关于《第三章实数的基本定理及闭区间上连续函数的性质的证明》的教学

重点：

闭区间上连续函数的性质，实数连续性的基本定理（确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限复盖定理）

难点：

构造性证明柯西收敛准则确：

确界概念和实数连续性的基本定理的等价关系。

关键：

单调有界定理。

闭区间套定理。

本章的教学目的与任务是：

让学生正确地理解实数连线性性的基本定理和连续函数整体的基本性质。

掌握实数连续性基本定理的证明方法，同时通过使用实数连续性基本定理论证连续函数整体的基本性质的过程，进一步体会数学分析方法，掌握使用实数连续性基本定理论证问题的能力。

本章是理论性很强的章节，实数连续性是《数学分析》各部分内容的基础与出发点，从而也是极限论的理论基础，提高这章的教学质量，具有全局性的意义，这一章的内容也是继第十章后极限理论的螺旋上升的第二个认识阶段。

要通过本章的学习，让学生在使用数学分析方法进行论证的能力方面有一个比较大的提高。

实数连续性基本定理具有等价性，其证明方法是多种多样的，按教材的逻辑体系，在第二章由确界原理证明数列的单调有界定理，在这一章由数列的单调有界定理论证闭区间套定理是关键性的内容。

要努力讲好〈闭区间上连续函数性质的证明〉这一节。

通过使用实数连续篇性基本定理证明连续函数整体性质的过程，使学生深刻地理解这些性质，并提高学生运用烽学分析方法论证问题的能力。

课堂上讲解的例题，练习题及课后作业都应加强论证的份量，并作好必要的理论提示，引导学生完成练习。

4、关于《第四章导数与微分》的教学

重点：

导数与微分的概念及其几何意义，基本求导（微分）法则与公式，隐函数求导及参变量方程表示的函数的求导公式。

难点：

分段函数的导数。

关键：

复合函数求导法。

本章的教学目的与任务是，通过具体典型例子的理解和掌握解决《数学分析》第一大类极限极限的数学分析问题。

使用极限方法引入并正确地理解导数、微分概念及其几何意义，掌握基本的导数（微分）法则与公式（包括参量方程的求导公式及常见函数的高阶导数公式）的推证方法，熟记并能熟地运用法则与公式求初等函数扩分段函数的导数（导数值或导函数）与微分及掌握微分的简单应用。

本章是微分学的第一章，也是《数学分析》第一大类问题（微商）的开篇。

在理论上说是不定积分、重积分、线（面）积分以及物理应用的基础知识，从而是极其重要的理论知识，在方法论上说，这是应用极限方法的一项重大成果，也是在工程技术上应用广泛的“微元法”的理论基础，从而这一章无论在理论上还是实践上都是至关重要的一章，也是一年级第一学期以及整个课程的重点内容。

应化大力气讲好这一章，为提高《数学分析》的质量打下牢固的物质基础。

基于第二章对学生在理论知识及基本能力方面的培养，讲授本章的基本法则与公式等内容时要注意引导、激励学生多动手，积极主动地学好这部分知识。

要求学生熟记并熟练地运用基本法则、公式表（《数学分析》的第一个“九九”表）。

这是《数学分析》的最基本的技能的培养，要求学生人人过关。

要认真讲好分段函数求导方法，加深学生对导数概念定理及其几何意义的理解。

复合函数求导（微分）公式是重要的而且又是难以掌握的公式，要重点地加以训练。

要让学生注意并理解一阶微分形式的不变性，为讲授不定积分、定积分做好基础知识的准备工作。

要让学生理解参量方程所表示的函数求导公式的推导过程并体会到该公式的优点。

要引导学生自学地根据具体条件，选择函数的不同形式的求导公式，提高使用求导公式解决问题的能力。

常见函数的高阶导数（微分）公式，是幂级数理论等后继课程内容中常用的基础知识，要求学生掌握这些公式的推导过程，并熟记这些公式。

二、关于一年级第二学期的教学

重点章节内容：

微分学基本定理、积分概念及积分法、正项级数、函数项级数。

难点：

微分学基本定理、达布和的性质、函数项级数一致收敛性概念及其非概念。

关键：

比较原则的几何级数P-级数的敛散性、函数项级数一致收敛概念。

5、关于《第五章微分学基本定理及应用》的教学

重点：

拉格朗日中值定理、极值判别法、函数项级数一致收敛性及其性质：

。

难点：

构造性证明方法。

关键：

费尔马定理，构造性证明方法。

本章的教学法目的与任务是：

让学生准确地理解并正确地使用几个微分中值定理，掌握求极限的方法和运用洛必达法则求不定式极限的技能。

能够把某些函数按泰勒公式展开。

本章是《数学分析》章程四大内容之一——微分学的理论基础。

微分中值定理是研究函数性质的有力工具，是个重点章节。

讲授时，要注意从几何上给出形象，启迪思维，获得猜想，在这个基础上，用数学分析方法给以严格的证明。

在讲解过程中，要注意数学语言及论证格式的规范化。

教师在教学过程中，要为学生树立“严密“的楷模，这样，对于培养良好的学风将起着潜移默化的作用。

在证明微分中值定理过程中，要突出构造性方法证明的传授，要上学生了解定理中各个条件之完备性要让学生确切地理解“中值”的涵义。

研究函数极值问题，研究函数图象几何特征求不定式极限是中值定理的一种应用，其本身也具有重大的实践价值，是《数学分析》理论联系实际的一部分重要内容。

讲授时，既要讲好方法的理论依据，又要让学生掌握求极值、分析函数图象几何特征与求不定式极限的具体方法，并通过一定数量目的训练，以便巩固这种基本技能。

注“本章除微分中值定理一节放在第一学期讲授外，其余内容都安排在一年级二学期讲授。

为了照顾整章叙述的连续性所以没有将它们分开作说明。

6、关于《第六章不定积分》的教学

重点：

不定积分（或原函数）概念，基本积分表，积分法（直接法，换元法，分部积分法）。

难点：

凑微分法，有理函数与可化为有理函数的积分方法。

关键：

不定积分概念，凑微分与与第二换元法。

本章的教学目的是：

通过微分法的逆运算概念引入原函数及不定积分概念，熟记基本积分表，理解并掌握基本积分法（直接积分法，凑微分法（第二）换元法以及其他类型的转化（部分分式法，变量替换法））。

通过一定数量题目的训练，掌握及巩固常用初等函数求积法。

本章是《数学分析》四大部分之一——积分学的理论基础知识，是进行各类积分运算的最后归宿，是整个章程的重点与关键之一。

讲授时要让学生对不定积分概念有确切的认识，用类比方法推演并熟记基本积分表——这是《数学分析》的第二个“九九”表，要求学生依据这个表熟练地使用直接积分法。

凑微分（第一的换元法）是数学分析最基本的确良技能之一，讲授时要组织好一套例题，让学生顺利地掌握这个方法。

讲授第二换元法时，要让学生注意法则条件，也就是要让学生明确进行变量替换的定义域。

讲清这一点，有助于学生准确地理解且能下确地使用第八章中的定积分换元法。

讲授《有理函数的可化为有理函数的积分》这一节时，主要精力应放在“转化”的方法上，题目类型也仅仅以书上所列为限。

讲授时应注意比较各种积分法的使用条件和优缺点，同时要指出可积函数类的不定积分并不能全部可用初等函数表出，也要指出在实际工作中所使用的“查表积分法”及使用方法。

讲授本章时，要加强实践环节，要求学生用各种积分法完成一定数量的题目，以便形成使用积分法的比较熟练的技能，提高积分计算能力。

7、关于《第七章定积分》的教学

重点：

定积分概念，达布和性质与可积充要条件，定积分基本性质，微积分学基本定理（包括牛顿——莱布尼兹公式），积分法。

难点：

定积分概念的引入，达布和性质。

关键：

达布和性质，微积分学基本定理。

本章的教学目的和任务是：

通过对典型事例的分析引入定积分概念，理解并掌握解决《数学分析》第二大类极限问题的数学分析方法。

通过研究达布和性质推演出可积的条件，掌握定积分的基本性质（线性性质，区间可加性，积分中值定理）。

掌握微积分学基本定理的推证方法，熟练地运用积分法，牛顿——莱布尼兹公式进行定积分计算。

本章内容是《数学分析》中第二大类极限问题的基本概念，基本理论和基本技能，从而是该课程的重点章节。

在引入定积分概念时，要认真分析三个典型事例，抓住变与不变（或曲与直），有限与无限，近似与准确的矛盾斗争与统一，按四个步骤，归纳出解决这一大类极限问题的数学分析方法，从而抽象出定积分概念。

要注意指出这类极限问题与第二、四章的极限问题的联系与差异，加深对极限概念的理解。

讲授达布和性质电动机注意形象思维与抽象思维的结合。

讲授定积分的基本性质电动机指出这些内容与导数与（微分）、不定积分性质的异同，并指出其内在原因——源同于极限。

微积分学基本定理（包括牛顿——莱布尼兹公式）是积分学的重点内容，也是关键所在，要求学生掌握推导方法并能熟练运用。

定积分的换元法是定积分计算的最基本的方法，但对定理的条件较难理解的使用，讲授时要用具体例子加深学生对定理的理解，提高运用的换元法的能力。

8、对于《第八章定积分的应用和近似计算》的教学

重点：

微元法，面积公式，旋转体侧面积公式，弧长公式。

难点：

微元法的导入及微元法的运用。

关键：

微元法。

本章的教学目的与任务是对定积分概念本质属性的分析，引出在科技立足点，应用广泛的微元法L，利用微元法分析几何、物理中几个典型导出经常使用的个公式，使学生掌握重用微元法解决实际问题的能力。

讲授本章内容时，要在前章对定积分概念分析的基础上，抓住“保留本质、简化形式、方便应用”的思想，导入“微元法”。

并在几何、物理的几个典型问题中反复强调上述思想，具体地运用“微元法”导出常用的几个公式。

在实践中主要靠“经验估计”（猜想），并可用旋转体侧面积推导过程加以说明。

9、关于《第九章数项级数》的教学

重点：

级数收敛概念、级数的柯西准则、正项级数敛散性判别法（比较原则、比式判别法、根式判别法）及莱布尼兹判别法。

难点：

级数重排。

关键：

比较原则，几何级数（无穷等比级数）、P-级数的敛散性。

本章的教学目的和任务是，通过数列的极限概念引入数项级数收敛概念，让学生掌握数项级数的柯西准则和运算性质，掌握并熟练地运用正项级数敛散性的判别法（比较