高一下学期月考数学试题IV.docx
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高一下学期月考数学试题IV
2021-2022年高一下学期4月月考数学试题（IV）
一、选择题
1．若a、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是（ ）
A．a∥β，α⊥βB．a⊂β，α⊥β
C．a⊥b，b∥αD．a⊥β，α∥β
【答案】D
2．下列命题中不正确的是（ ）
A．若
B．若∥，∥，则∥
C．若，，∥，则∥
D．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外
【答案】D
3．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出一列四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】A
4．设有直线m、n和平面,下列四个命题中，正确的是（）
A．若B．若
C．若D．若
【答案】D
5．“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
6．设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：
①若②若
③若④若
其中正确命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
7．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
8．下列命题中不正确的是（ ）
A．若
B．若∥，∥，则∥
C．若，，∥，则∥
D．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外
【答案】D
9．在空间中，给出下面四个命题：
（1）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（2）若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；
（3）两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
（4）两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
其中正确的是（ ）
A．
（1）
（2）B．
（2）（3）C．（3）（4）D．
（1）（4）
【答案】D
10．已知空间中两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
11．“直线a与平面M没有公共点”是“直线a与平面M平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
12．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【答案】B
二、填空题
13．设m、n,是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，
①若m⊥n,m⊥，，则；
②若
；
③若；
④若
.
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．
【答案】①④
14．一个正方体纸盒展开后如图13－7所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
图13－7
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【答案】①③
15．已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都填上）．
【答案】①④
16．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即：
⇒m________α.
【答案】∥ ⊥ ⊥
三、解答题
17．已知四棱锥P－ABCD的直观图和三视图如图所示，E是PB的中点．
（1）求三棱锥C－PBD的体积；
（2）若F是BC上任一点，求证：
AE⊥PF；
（3）边PC上是否存在一点M，使DM∥平面EAC，并说明理由．
【答案】
（1）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA＝2，
∴VC－PBD＝VP－BCD＝
×
×1×2×2＝
．
（2）证明：
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A.
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，
又在△PAB中，∵PA＝AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB.又∵BC∩PB＝B，
∴AE⊥平面PBC，且PF⊂平面PBC，∴AE⊥PF.
（3）存在点M，可以使DM∥平面EAC.
连结BD，设AC∩BD＝O，连结EO.
在△PBD中，EO是中位线．
∴PD∥EO，
又∵EO⊂平面EAC，PD⊄平面EAC，
∴PD∥平面EAC，
∴当点M与点P重合时，可以使DM∥平面EAC.
18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，
点D是AB的中点．
（1）求证：
CD⊥平面A1ABB1；
（2）求证：
AC1∥平面CDB1.
【答案】
（1）∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面A1ABB1，
∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，
∴CD⊥平面A1ABB1.
（2）连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE，则E为BC1的中点．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.
∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
19．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（1）求证：
DM∥平面APC；
（2）求证：
平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积．
【答案】
（1）由已知得，是ABP的中位线
（2）为正三角形，D为PB的中点，
又
又
平面ABC⊥平面APC
（3）由题意可知，，是三棱锥D—BCM的高，
20．如图，ABEDFG为多面体，平面ABED与平面AGFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAC，△ODE，△GDE都是正三角形．
（1）证明直线BG∥EF；
（2）求梭锥F－GBED的体积．
【答案】
（1）（综合法）
证明：
设G是线段DA与线段EB的延长线的交点，于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB綊
DE，OG＝OD＝2，同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2.
又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合．
在△GED和△GFD中，由OB綊
DE和OC綊
DF，可知B，C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
（向量法）
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．
由条件知E（
，0,0），F（0,0，
），B（
，－
，0），C（0，－
，
）．
则有＝（－
，0，
），＝（－
，0，
）．
所以＝2，即得BC∥EF.
（2）解：
由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S△EOB＝
，而△OED是边长为2的正三角形，故S△OED＝
．
所以S四边形OBED＝S△EOB＋S△OED＝
．
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F－OBED的高，且FQ＝
，
所以VF－OBED＝
FQ·S四边形OBED＝
．
21．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、，F、G分别是棱AP、CC、BC、PB的中点．
（1）求证：
DE∥平面BCP；
（2）求证：
四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？
说明理由．
【答案】
（1）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC，
又因为DE⊄平面BCP，PC⊂平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
（2）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形．
（3）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由
（2）知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝
EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与
（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝
EG，
所以Q为满足条件的点．
22．已知E和F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点，且AE＝C1F，求证：
四边形EBFD1是平行四边形．
【答案】如图所示，在DD1上取一点G，使D1G＝A1E，则易知A1E綊D1G，
∴四边形A1EGD1为平行四边形，
∴EG綊A1D1.
又∵A1D1綊B1C1，
B1C1綊BC，
∴EG綊BC，
∴四边形GEBC是平行四边形，∴EB綊GC.
又∵D1G綊FC，∴四边形D1GCF是平行四边形，
∴GC綊D1F，∴EB綊D1F，
∴四边形EBFD1是平行四边形.
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