第三章测量数据处理冲刺考点整理.docx

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第三章测量数据处理冲刺考点整理

第三章测量数据处理

第一节测量误差的处理

一、系统误差的发现和减小系统误差的方法

1，减小系统误差的方法：

（1）采用修正的方法

（2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素（3）选择使系统误差抵消而不致带入测得值的测量方法。

2，试验和测量中常用的几种减小系统误差的测量方法：

（1）恒定系统误差消除法：

①异号法②交换法③替代法

（2）可变系统误差消除法：

①对称测量法消除线性系统误差

替代方案采用按“标准～被校～被校～标准”顺序进行。

　②半周期偶数测量法消除周期性系统误差——这种方法广泛用于测角仪上。

3，修正系统误差的方法：

（1）在测得值上加修正值

（2）对测得值乘修正因子（3）画修正曲线；（4）制定修正值表

4，获得修正值或修正因子的注意事项：

（1）修正值或修正因子的获得，最常用的方法是将测得值与计量标准的标准值比较得到，也就是通过校准得到。

修正曲线往往还需要采用实验方法获得。

（2）修正值和修正因子都是有不确定度的。

在获得修正值或修正因子时，需要评定这些值的不确定度。

（3）使用已修正测得值时，该测得值的不确定度中应该考虑由于修正不完善引入的不确定度分量。

二、实验标准偏差的估计方法

1，几种常用的实验标准偏差的估计方法：

（1）贝塞尔公式法

——适合于测量次数较多的情况

（3—6）

计算步骤如下：

1）计算算术平均值2）计算10个残差3）计算残差平方和4）计算实验标准偏差

（2）极差法

一般在测量次数较小时采用该法。

s（x）=（xmax—xmin）/c（3-8）

（3）较差法　

——适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。

2，各种实验标准偏差估计方法的比较

　　贝塞尔公式法是一种基本的方法，但n很小时其估计的不确定度较大，例如n=9时，由这种方法获得的标准偏差估计值的标准不确定度为25%，而n=3时标准偏差估计值的标准不确定度达50%，因此它适合于测量次数较多的情况。

　极差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果为准。

在测量次数较少时常采用极差法。

较差法更适用于随机过程的方差分析，如适用于频率稳定度测量或天文观测等领域。

三、算术平均值及其实验标准偏差的计算

四、异常值的判别和剔除

1，什么是异常值：

异常值又称离群值，指在对一个被测量重复观测所获的若干观测结果中，出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值，他们可能属于来自不同的总体，或属于意外的、偶然的测量错误。

也称为存在着“粗大误差”。

所以必须正确地判别和剔除异常值。

在测量过程中，记错、读错、仪器突然跳动、突然震动等异常情况引起的已知原因的异常值，应该随时发现，随时剔除，这就是物理判别法。

有时，仅仅是怀疑某个值，对于不能确定哪个是异常值时，可采用统计判别法进行判别。

2,判别异常值常用的统计方法：

（1）拉依达准则：

∣Xd-X∣≥3s

（2）格拉布斯准则：

∣Xd-x∣/s≥G（a,n）

（3）狄克逊准则：

（考前加强，出的可能性不大）

3，三种异常值判别准则的比较：

（1）当ｎ＞50的情况下，3σ准则较简便；3＜n＜50的情况下，格拉布斯准则效果较好，适用于单个异常值；有多于一个异常值时狄克逊准则较好。

（2）实际工作中，有较高要求的情况下，可选用多种准则同时进行，若结论相同，可以放心。

当结论出现矛盾，则应慎重，此时通常需选a=0.01。

当出现既可能是异常值，又可能不是异常值的情况时，一般以不是异常值处理较好。

五、测量重复性和测量复现性的评定六、加权算术平均值及其实验标准偏差的计算方法

七、计量器具误差的表示与评定

1，最大允许误差可以用绝对误差，相对误差，引用误差或它们的组合形式表示。

2，计量器具的示值误差是指计量器具（即测量仪器）的示值与相应测量标准提供的量值之差。

在计量检定时，用高一级计量标准所提供的量值作为约定值，称为标准值；

被检仪器的指示值或标称值统称为示值。

则示值误差可以用下式表示：

　　　　　　　　　　　示值误差=示值一标准值

　　根据被检仪器的情况不同，示值误差的评定方法有比较法、分部法和组合法几种。

3，测量仪器示值误差符合性评定的基本要求

　　评定示值误差的测量不确定度（U95或k=2时的U）与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值（MPEV）之比小于或等于1：

3，即满足U95≤1/3MPEV，时，示值误差评定的测量不确定度对符合性评定的影响可忽略不计（也就是合格评定误判概率很小）合格丨△丨≤MPEV；不合格丨△丨＞MPEV。

　　对于型式评价和仲裁鉴定，必要时U95与MPEV之比也可取小于或等于1：

5。

4，考虑示值误差的测量不确定度后的符合性评定

　　当示值误差的测量不确定度（U95或是k=2时的U）与被评定测量仪器的最大允许误差的绝对值（MPEV）之比不满足小于或等于1：

3的要求时，必须要考虑示值误差的测量不确定度对符合性评定的影响。

（1）合格判据

　　当被评定的测量仪器的示值误差△的绝对值小于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度U95之差时可判为合格，即

　　　　　　　　　　　　　　　丨△丨≤MPEV-U95判为合格

（2）不合格判据

　　当被评定的测量仪器的示值误差△的绝对值大于或等于其最大允许误差的绝对值MPEV与示值误差的扩展不确定度u95之和时可判不合格，即

　　　　　　　　丨△丨≥MPEV+U95判为不合格

　（3）待定区

　　当被评定的测量仪器的示值误差既不符合合格判据又不符合不合格判据时，为处于待定

区。

这时不能下合格或不合格的结论，即

MPEV-U95＜丨△丨＜MPEV+U95判为待定区

当测量仪器示值误差的评定处于不能做出符合性判定时，可以通过采用准确度更高的计量标准、改善环境条件、增加测量次数和改善测量方法等措施，以降低示值误差评定的测量不确定度U95后再进行合格评定。

对于只具有不对称或单侧允许误差限的被评定测量仪器，仍可按照上述原则进行符合性评定。

5，计量器具其他一些计量特性的评定：

（一）准确度等级测量仪器的准确度等级应根据检定规程的规定进行评定。

有以下几种情况：

（1）按最大允许误差评定准确度等级

（2）按示值的标准值的测量不确定度评定准确度等级

（3）测量仪器多个测量范围成多个参数时准确度等级的评定

当被评定的测量仪器包含两个或两个以上的测量范围，并对应不同的准确度等级时，应分别评定各个测量范围的准确度等级。

对多参数的测量仪器，应分别评定各测量参数的准确度等级。

（二）分辨力对测量仪器分辨力的评定，可以通过测量仪器的显示装置或读数装置能有效辨别的最小示值来确定。

（1）带数字显示装置的测量仪器的分辨力为：

最低位数字显示变化一个步进量时的示值差。

（2）用标尺读数装置（包括带有光学机构的读数装置）的测量仪器的分辨力为：

标尺上任意两个相邻标记之间最小分度值的一半。

（三）灵敏度对被评定测量一起，在规定的某激励值上通过一个小的激励变化△x，得到相应的响应变化△y，，则比值s=△y/△x，即为该激励值时的灵敏度。

对线性测量仪器来说，灵敏度是一个常数。

（四）鉴别阈对被评定测量仪器，在一定的激励和输出响应下，通过缓慢单方向地逐步改变激励输入，观察其输出响应。

使测量仪器产生恰能察觉有响应变化时的激励变化，就是该测量仪器的鉴别阈。

（五）稳定性

（1）方法一：

通过测量标准观测被评定测量仪器计量特性的变化，当变化达到某规定值时，其变化量与所经过的时间间隔之比即为被评定测量仪器的稳定性。

（2）方法二：

通过测量标准定期观测被评定测量仪器计量特性随时间的变化，用所记录的被评定测量仪器计量特性在观测期间的变化幅度除以其变化所经过的时间间隔，即为被评定测量仪器的稳定性。

（3）方法三：

频率源的频率稳定性用阿伦方差的正平方根值评定，称频率稳定度。

当稳定性不是对时间而言时，应根据检定规程、技术规范或仪器说明书等有关技术文件规定的方法评定。

（六）漂移根据技术规范要求，用测量标准在一定时间内观测被评定测量仪器计量特性随时间的慢变化，记录前后的变化值或画出观测值随时间变化的漂移曲线。

　当测量仪器计量特性随时间呈线性变化时，漂移曲线为直线，该直线的斜率即漂移率。

在测得随时间变化的一系列观测值后，可以用最小二乘法拟合得到最佳直线，并根据直线的斜率计算出漂移率。

（七）响应特性在确定条件下，激励与对应响应之间的关系称为测量仪器的响应特性。

评定方法是：

在确定条件下，对被评定测量仪器的测量范围内不同测量点输入信号，并测量输出信号。

当输入信号和输出信号不随时间变化时，记下被评定测量仪器的不同激励输入时的输出值，列成表格、画出曲线或得出输入输出量的函数关系式，即为测量仪器静态测量情况下的响应特性。

第二节测量不确定度的评定与表示

一、统计技术应用

1

（一）期望：

期望是概率分布曲线与横坐标轴所构成面积的重心所在的横坐标，所以期望是决定概率分布曲线位置的量。

（二）方差：

方差就是随机误差平方的期望值。

方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。

2，标准偏差是表明测量值分散性的参数，σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。

用期望与标准偏差表征概率分布

期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。

由于方差不便使用，通常用期望和标准偏差来表征一个概率分布。

——μ影响概率分布曲线的位置；

对于单峰、对称的概率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应的横坐标处。

——σ影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。

（σ小表明测量值比较集中，σ大表明测量值比较分散。

）

　期望与标准偏差都是以无穷多次测量的理想情况定义的，无法由测量得到μ和σ2，因此都是概念性的术语。

3，实验标准偏差：

用有限次测量的数据得到的标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。

　　在给出标准偏差的估计值时，自由度越大，表明估计值的可信度越高。

[（n—1）越大，1/n—1值越小，则其s（x）值也越小]

4，正态分布曲线：

正态分布图，具有如下特征：

　①单峰：

概率分布曲线在均值μ处具有一个极大值；

　②对称分布：

正态分布以x=－μ为其对称轴，分布曲线在均值μ的两侧是对称的；

　③当x—＞∞时，概率分布曲线以x轴为渐近线；

　④概率分布曲线在离均值等距离（即x=μ±σ）处两边各有一个拐点；

　⑤分布曲线与x轴所围面积为1，即各样本值出现概率的总和为1；

　⑥μ为位置参数，σ为形状参数。

由于μ，σ能完全表达正态分布的形态，所以常用简略符号x~n（μ,σ）表示正态分布。

当μ=0,σ=1时表示为x~n（0，1），称为标准正态分布。

5，相关系数与协方差的关系

（1）相关系数是一个纯数字，相关系数的值在－1到+1之间，它表示两个量的相关程度，通常比协方差更直观。

（2）协方差估计值s（x,y）与相关系数估计值r（x，y）的关系

（3-52）

（3-53）

式中，s（x）和s（y）分别为x和y的实验标准偏差。

二、GUM法评定测量不确定度的步骤和方法

1，GUM法评定测量不确定度的步骤：

（1）明确被测量，必要时给出被测量的定义及测量过程的简单描述；

（2）分析不确定度来源并写出测量模型；（3）评定测量模型中各输入量的标准不确定度u（xi），计算灵敏系数ci从而给出与各输入量对应的输出量y的不确定度分量ui（yi）=丨ci丨u（xi）；（4）计算合成标准不确定度uc（y），计算时应考虑各输入量之间是否存在值得考虑的相关性，对于非线性数学模型则应考虑是否存在值得考虑的高阶项；（5）列出不确定度分量的汇总表，表中应给出每一个不确定度分量的详细信息；（6）对被测量的概率分布进行估计，并根据概率分布和所要求的置信水平p确定包含因子kp；（7）在无法确定被测量y的概率分布时，或该测量领域有规定时，也可以直接取包含因子k=2；（8）由合成标准不确定度uc（y）和包含因子k或kp的乘积，分别得到扩展不确定度U或Up；（9）给出测量不确定度的最后陈述，其中应给出关于扩展不确定度的足够信息。

利用这些信息，至少应该使用户能从所给的扩展不确定度进而评定其测量结果的合成标准不确定度。

简化步骤：

分析不确定度来源和建立测量模型—评定标准不确定度分量ui—计算合成标准不确定度uc—确定扩展不确定度U或Up—报告测量结果

2，通常测量不确定度来源从以下方面考虑：

（1）被测量的定义不完整

（2）复现被测量的测量方法不理想（3）取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量（4）对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏移（6）测量仪器的计量性能的局限性（7）测量标准或标准物质提供的量值的不准确（8）引用的数据或其他参量值的不准确（9）测量方法和测量程序的近似和假设（10）在相同条件下被测量在重复观测中的变化

通常，在分析测量结果的不确定度来源时，可以从测量仪器、测量环境、测量方法、被测量等方面全面考虑，应尽可能做到不遗漏、不重复。

特别应考虑对测量结果影响较大的不确定度来源。

3，规范化常规测量时a类标准不确定度评定

在规范化的常规测量中，测量m个同类被测量，得到m组数据，每组测量n次，第j组的平均值为xj，则合并样本标准偏差sp

（3-58）

对每个量的测量结果

的a类标准不确定度

（3-59）

自由度为v=m（n－1）。

若对每个被测件的测量次数nj不同，即各组的自由度vj不等，各组的实验标准偏差为sj，则

（3-60）

式中，vj=nj－1。

对于常规的计量检定或校准，当无法满足n≥10时，为使得到的实验标准差更可靠，如果有可能，建议采用合并样本标准差sp作为由重复性引入的标准不确定度分量。

4，标准不确定度的B类评定是借助于一切可利用的有关信息进行科学判断，得到估计的标准偏差。

①根据有关信息或经验，判断被测量的可能值区间（－a，a）；

②假设测得值在区间内的概率分布；

③根据概率分布和要求的包含概论p估计包含因子k，则B类评定的标准不确定度u为:

u=a/k（3-62）

式中a为被测量可能值区间的半宽度；k为包含因子。

5，区间半宽度a值是根据有关信息确定的，一般情况下，可利用的信息包括：

①以前的观测数据；

②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；

③生产部门提供的技术说明文件（制造厂的技术说明书）；

④校准证书、检定证书、测试报告或其他提供的数据、准确度等级等；

⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；

⑥规定测量方法的校准规范、检定规程或测试标准中给出的数据；

⑦其他有用信息。

6，B类评定时如何建设可能值的概率分布和确定k值。

①概率分布的假设

a.若被测量受许多相互独立的随机影响量的影响，这些影响量变化的概率分布各不相同，但各个变量的影响均很小时，被测量的随机变化服从正态分布。

b.如果有证书或报告给出的扩展不确定度是U90、U95或U99，除非另有说明，可以按正态分布来评定B类标准不确定度。

c.一些情况下，只能估计被测量的可能值区间的上限和下限，测量值落在区间外的概率几乎为零。

若测量值落在该区间内的任意值的可能性相同，则可假设为均匀分布。

d.若落在该区间中心的可能性最大，则假设为三角分布。

e.若落在该区间中心的可能性最小，而落在该区间上限和下限处的可能性最大，则假设为反正弦分布。

f.对被测量的可能值落在区间内的情况缺乏了解时，一般假设为均匀分布。

实际工作中，可依据同行专家的研究和经验来假设概率分布。

例如：

无线电计量中失配引起的不确定度为反正弦分布；几何量计量中度盘偏心引起的测角不确定度为反正弦分布；测量仪器最大允许误差、分辨力、数据修约、度盘或齿轮回差、平衡指示器调零不准等导致的不确定度按均匀分布考虑；两个独立量值之和或之差的概率分布为三角分布；按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布为两点分布。

②k值的确定

a.已知扩展不确定度是合成标准不确定度的若干倍时，则该倍数（包含因子）就是k值。

b.假设概率分布后，根据要求的置信概率查表得到置信因子k值。

③常用的概率分布与置信因子的关系见表3－12和表3－13。

7，输入量间相关时的处理方法：

（1）在以下情况时可取协方差为零或忽略不计

①在不同实验室用不同测量设备、在不同时间测得的量值。

②xi与xj中任意一个量可作为常数处理。

③独立测量的不同量的测量结果。

（2）用同时观测两个量的方法确定协方差估计值

对两个输入量xi及xj进行同时重复观测，设xik，xjk分别是输入量xi及xj的观测值。

k为测量次数（k=1，2，…，n）。

分别为第i个输入量和第j个输入量的k次测量的算术平均值；xi与xj的协方差估计值可由式（3－74）计算

（3-74）

（3）用同时观测两个量的方法确定相关系数的估计值；

（3-75a）

（4）用经验公式估计相关系数

如果两个输入量xi，xj相关，xi变化δi会使xj相应变化变化δj，则xi和xj的相关系数可用经验公式（3－76）估计

（3-75b）

式中，u（xi）和u（xj）分别xi和xj的标准不确定度。

（5）当两个量均因与同一个量有关而相关时，协方差的估计方法

设xi＝f（q）,xj=g（q），q是为使xi与xj相关的变量q的估计值，f,g分别表示两个量与q的测量函数。

则xi与xj的协方差按式（3－76a）计算

（3－76a）

如果多个变量使xi与xj相关，当

时，则协方差按式（3－76b）计算

（3－76b）

（6）采用适当方法去除相关性

①将引起相关的量作为独立的附加输入量进入数学模型

②采取有效措施变换输入量

8，合成标准不确定度的有效自由度的计算：

合成标准不确定度uc（y）的自由度称为有效自由度，用符号veff表示。

在以下情况时需要计算有效自由度veff

（1）当需要评定Up时为求得kp而必须计算uc（y）的自由度veff；

（2）当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度而提出要求时。

有效自由度的计算公式：

当各分量间相互独立且输出量解决正态分布或t分布时，合成标准不确定度的有效自由度通常可按式（3－77）计算得到

（3-77）

当测量模型为

时，有效自由度可用相对标准不确定度的形式计算，式3－78

（3-78）

实际计算中，得到的有效自由度veff不一定是一个整数。

如果不是整数，可以采用将veff数字舍位到最接近的一个较低的整数。

例如计算得到veff=12.65，则取veff=12。

9，明确规定包含概率时扩展不确定度Up的评定方法

当要求扩展不确定度所确定的区间具有接近于规定的包含概率p时，扩展不确定度用符号up表示

　　　　　　　Up=kpuc　　（3—80）

kp是包含概率为p时的包含因子。

（1）接近正态分布时kp的确定

根据中心极限定理，当不确定度分量很多，且每个分量对不确定度的影响都不大时，其合成分布接近正态分布，此时若以算术平均值作为测量结果y，通常可假设概率分布为t分布，可以取kp值为t值。

即

　　　　　　　　　　　kp=tp（veff）　　（3—81）

根据合成标准不确定度uc（y）的有效自由度veff和需要的置信水平p，查表得到的t值即置信水平为p的包含因子kp。

扩展不确定度Up=kpuc（y）提供了一个具有包含概率（置信水平）为p的区间y士Up。

获得kp的计算步骤为：

①求得测量结果的估计值y及其合成标准不确定度uc（y）。

②按式（3－82）计算uc（y）的有效自由度veff

（3-82）

式中，ci为灵敏系数，u（xi）为输入量xi的标准不确定度，vi为u（xi）的自由度。

当u（xi）为A类标准不确定度时是由n次观测得到的s（x）或s（x），其自由度为vi=n—1；

当u（xi）为B类标准不确定度时，用式（3－83）估计自由度vi

（3-83）

式中，δu（xi）/u（xi）是标准不确定度u（xi）的相对不确定度，是所评定的u（xi）的不可靠程度。

在实际工作中，B类标准不确定度通常根据区间[－a,a]的信息来评定。

若可假设被测量值落在区间外的概率极小，则可认为u（xi）的评定是很可靠的，即δu（xi）/u（xi）趋于0，此时，可假设u（xi）的自由度vi→∞。

③根据要求的置信水平p和计算得到的有效自由度veff，查t分布的t值表得到tp（veff）值。

④取kp=tp（veff），并计算Up=kpuc。

三、蒙特卡洛法评定测量不确定度的步骤和方法

1，蒙特卡洛法简称MCM，是用概率分布传播的方法来评定测量不确定度。

蒙特卡洛法评定测量不确定度的方法：

（1）建立测量模型；

（2）对每个输入量设定概率密度函数（PDF）；（3）选定蒙特卡洛试验数；（4）输入量概率分布的抽样及模型值计算；（5）输出量分布函数的离散表示；（6）输出量的估计值及其标准不确定度和包含区间；（7）报告评定结果；

四、GUM法与蒙特卡洛法的比较

1，GUM法与蒙特卡洛法

（1）GUM法：

通过不确定传播率计算合成标准不确定度，从而得到被测量估计值的测量不确定度的方法成为GUM法，即不确定度指南的方法。

GUM法的使用详见JJF1059.1－2012《测量不确定度表示与评定》。

GUM法主要适用条件：

1.可以假设输入量的概率分布呈对称分布；

2.可以假设输入量的概率分布近似为正态分布或t分布；

3.测量模型为线性模型、可以转换为线性的模型或可用线性模型近似的模型。

（2）蒙特卡洛法：

适用GUM法的条件MCM也都适用，除此之外，MCM对以下情况尤为有利：

1，测量模型明显呈非线性。

2，输入量的概率分布明显非对称。

3，输出量的概率分布较大程度地偏离正态分布或t分布，尤其是明显非对称分布。

第三节测量结果的处理和报告

一、最终报告时测量不确定度的有效位数

1，在报告测量结果时，不确定度以U或uc（y）都只能是1-2位有效数字。

也就是说，报告的测量不确定度最多为2位有效数字。

建议：

当第一位有效数字是1或2时，应保留2位有效数字。

除此之外，对测量要求不高的情况可以保留1位有效数字。

测量要求较高时，一般取二位有效数字。

“近似值修约误差限的绝对值不超过末位的单位量值的一半”。

二、报告测量结果的最佳估计值的有效位数的确定

1，测量结果（即被测量的最佳估计值）的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。

即同样单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样；如果是整数，则末位一致。

三、测量结果的表示和报告

1，完整的测量结果应包含：

（1）被测量的最佳估计值

（2）测量不确定度

2，用合成标准不确定度报告测量结果：

（1）基础计量学研究；

（2）基本物理常量测量；（3）复现国际单位制单位的国际比对。

合成标准不确定度可以表示测量结果的分散性大小，便于测量结果间的比较。

3，带有扩展不确定度的测量结果报告的表示：

（2）测量结果及其扩展不确定度的报告形式

扩展不确定度的报告有U或Up两种。

①U=kuc（y）的报告

例如：

标准砝码的质量为ms，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度uc（ms）为0.35mg，取包含因子k=2，Up=kuc（y）=2×0.35mg=0.70mg。

一般，U可用以下两种形式之一报告：

a.ms=l00.02147g；U=0.70mg，k=2。

b.ms=（100.02147±0.00070）g，k=2。

②Up=kpuc（y）的报告

Up可用以下四种形式之一报告：

a.ms=100.02147；