圆锥曲线的定点定值和最值问题.docx

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圆锥曲线的定点定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

本节目标：

会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.

一、主要知识及主要方法：

在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。

如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。

对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

二、精选例题分析

【举例1】（

广东改编）在平面直角坐标系

中，抛物线

上异于坐标原点

的两不同动点

、

满足

．

（Ⅰ）求

得重心

的轨迹方程；

（Ⅱ）

的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

【举例2】已知椭圆

上的两个动点

及定点

，

为椭圆的左焦点，且

，

，

成等差数列.

求证：

线段

的垂直平分线经过一个定点

；

设点

关于原点

的对称点是

，求

的最小值及相应的

点坐标.

【举例3】（

全国Ⅱ改编）已知抛物线

的焦点为

，

、

是抛物线上的两动点，且

（

）．过

、

两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5xA，0.5xB），设其交点为

。

（Ⅰ）证明

为定值；

（Ⅱ）设

的面积为

，写出

的表达式，并求

的最小值．

问题4．直线

：

和双曲线

的左支交于

、

两点，直线

过点

和线段

的中点

，求

在

轴上的截距

的取值范围.

（四）课后作业：

已知椭圆

（

）的右焦点为

，过

作直线与椭圆相交于

、

两点，若有

，求椭圆离心率的取值范围.

过抛物线

的顶点任意作两条互相垂直的弦

、

，

求证：

交抛物线的对称轴上一定点.

如图，在双曲线

的上支上有三点

，

，

，它们与点

的距离成等差数列.

求

的值；

证明：

线段

的垂直平分线经过

某一定点，并求此点坐标.

（六）走向高考：

（

重庆）已知椭圆

的方程为

，双曲线

的左、右焦点分别为

的左、右顶点，而

的左、右顶点分别是

的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线

的方程；

（Ⅱ）若直线

：

与椭圆

及双曲线

都恒有两个不同的交点，且

与

的两个交点

和

满足

（其中

为原点），求

的取值范围.

（

江西）

是双曲线

的右支上一点，

分别是圆

和

上的点，则

的最大值为

（

重庆）如图，中心在原点

的椭圆的右焦点为

，右准线

的方程为：

.

求椭圆的方程；

在椭圆上任取三个不同点

，使

证明：

为定值，并求此定值.

（

全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点

，焦点在

轴上，斜率为

且过椭圆右焦点

的直线交椭圆于

、

两点，

与

共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设

为椭圆上任意一点，且

，证明

为定值.

（

全国Ⅱ）

、

、

、

四点都在椭圆

上，

为椭圆在

轴正半轴上的焦点．已知

与

共线，

与

共线，且

．求四边形

的面积的最小值和最大值．

（

浙江）已知双曲线的中心在原点，右顶点为

，点

、

在双曲线的右支上，点

到直线

的距离为

，

若直线

的斜率为

，且

求实数

的取值范围；

当

时，

的内心恰好是点

，求此双曲线的方程.

（

重庆文）如图，倾斜角为

的直线经过抛物线

的焦点

，且与抛物线交于

、

两点.

求抛物线的焦点

的坐标及准线

的方程；

若

为锐角，作线段

的垂直平分线

交

轴于点

，证明:

为定值，并求此定值.

（

山东）已知椭圆

的中心在坐标原点，焦点在

轴上，椭圆

上的点到焦点距离的最大值为

，最小值为

．

（Ⅰ）求椭圆

的标准方程；

（Ⅱ）若直线

：

与椭圆

相交于

，

两点（

不是左右顶点），且以

为直径的圆过椭圆

的右顶点，求证：

直线

过定点，并求出该定点的坐标．

（

上海）已知双曲线

，

为

上的任意点。

（1）求证：

点

到双曲线

的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

（2）设点

的坐标为

，求

的最小值；

（

安徽文）设椭圆

其相应于焦点

的准线方程为

.

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）已知过点

倾斜角为

的直线交椭圆

于

两点，求证：

;

（Ⅲ）过点

作两条互相垂直的直线分别交椭圆

于

和

求

的最小值