等比数列及其前n项和课时提升作业含答案解析.docx

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等比数列及其前n项和课时提升作业含答案解析

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课时提升作业（三十）

等比数列及其前n项和

（45分钟　100分）

一、选择题（每小题5分,共40分）

1.（2014·黄冈模拟）公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a10=16,则a6=（　　）

A.1B.2C.4D.8

2.（2014·襄阳模拟

）记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=

S2=2,则S4=（　　）

A.2B.6C.16D.20

3.（2014·天门模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中,a3=

-1,a5=

+1,则

+2a2a6+a3a7=（　　）

A.4B.6C.8D.8-4

4.（2013·新课标全国卷Ⅰ）设首项为1,公比为

的等比数列{an}的前n项和为Sn,则（　　）

A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an

5.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列,则q3等于

（）

A.-1或

B.1或-

C.1D.-

6.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

7.已知等比数列{an}中的各项都是正数,且5a1,

a3,4a2成等差数列,则

=（　　）

A.-1B.1C.52nD.52n-1

8.已知f（x）=bx+1是关于x的一次函数,b为不等于1的常数,且g（n）=

设an=g（n）-g（n-1）（n∈N*）,则数列{an}为（　　）

A.等差数列B.等比数列

C.递增数列D.递减数列

二、填空题（每小题5分,共20分）

9.（2013·广东高考）设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|=.

10.（2013·辽宁高考）已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个

根,则S6=.

11.等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若

=

则公比q=.

12.（能力挑战题）（2014·孝感模拟）已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,则数列lga1,2lga2

22lga3,23lga4,…,2n-1lgan,…的前n项和Sn等于________.

三、解答题（13题12分,14～15题各14分）

13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn（c是常数,n=1,2,3,…）,且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.

（1）求c的值.

（2）求{an}的通项公式.

14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=

4an-3（n∈N*）.

（1）证明:

数列{an}是等比数列.

（2）若数列{bn}满足bn+1=an+bn（n∈N*）,且b1=2,求数列{bn}的通项公式.

15.（能力挑战题）（2013·湖北高考）已知Sn是等比数列{an}的前n项和

S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.

（1）求数列{an}的通项公式.

（2）是否存在正整数n,使得Sn≥2013?

若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.

答案解析

1.【解析】选B.由题

意可得

=a4a10=16,

又数列的各项都是正数,

故a7=4,故a6=

=

=2.

2.【解析】选D.根据题意,由于等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=

S2=

=

2⇒1+q=4⇒q=3,S4=

=

·（1+q2）=2×10=20.

【加固训练】设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则

=（　　）

A.2B.4C.

D.

【解析】选C.

=

·

=

=

.

3.【解析】选C.a3+a5=

-1+

+1=2

故

+

2a2a6+a3a7=

+2a3a5+

=（a3+a5）2=8.

【加固训练】在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=2,则a5+a6+a7+a8=

（　　）

A.10B.11C.12D.14

【解析】选C.由题意知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,

所以a5+a6=2×2=4,a7+a8=4×2=8.

所以a5+a6+a7+a8=4+8=12.

4.【思路点拨】利用等比数列的通项公式以及前n项和公式Sn=

或Sn=

求解.

【解析】选D.方法一:

因为等比数列的首项为1,公比为

Sn=

=

所以Sn=3-2an.

方法二:

Sn=

=3-3×

=3-2

an=

观察四个选项可知选D.

5.【解析】选D.当q=1时,易

验证知不符合S3,S9,S6成等差数列,

当q≠1时,由2S9=S3+S6,得2·

=

+

.

化简整理得:

2q9-q6-q3=0,

即（q3-1）（2q3+1）=0⇒q3=-

.

【误区警示】等比数列求和公式分两种情况q=1和q≠1,解题时应注意条件是否暗示了q的范围,如果没有暗示,应该讨论,而不能直接用公式Sn=

.

6.【解析】选C.若已知a1

为01,又a1>0,所以数列{an}是递增数列;反之,若数列{an}是递增数列且a1>0,则公比q>1,所以a1

7.【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q（q>0）,则依题意有a3=5a1+4a2,即a1q2=5a1+4a1q,q2-4q-5=0,解得q=-1或q=5.又q>0,因此q=5,所以

=

=q2n=52n,选C.

【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别

等差数列

等比数列

不同点

（1）强调每一项与前一项的差

（2）a1和d可以为0

（3）任意两实数的等差

中项唯一

（4）当m+n=p+q（m,n,p,q∈N*）时am+an=ap+aq

（1）强调每

一项与前一项的比

（2）a1与q均不为0

（3）两同号实数（不为0）的等比中项有两个值

（4）当m+n=p+q（m,n,p,q∈N*）时aman=apaq

相同点

（1）都强调每一项与其前一项的关系

（2）结果都必须是常

数

（3）数列都可以由a1,d或a1,q确定

联系

（1）若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中m>0,且m≠1

（2）{an}为等差数列,则{

}为等比数列

（3）非零常数列既是等差数列又是等比数列

8.【解析】选B.a1=g

（1）-g（0）=f（g（0））-g（0）=b+1-1=b,当n≥2时,an=g（n）-g（n-1）

=f（g（n-1））-f（g（n-2））=b[g（n-1）-g（n-2）]=ban-1,所以{an}是等比数列.

9.【解析】由题意知a1=1,q=-2,得an=a1·qn-1=1·（-2）n-1=（-2）n-1,

a1+|a2|+a3+|a4|=1+|-2|+（-2）2

+|（-2）3|=15.

答案:

15

10.【思路点拨】利用方程求得a1,a3的值,结合等比数

列,求出基本量（首项和公比）,进而解决求和问题.

【解析】因为方程x2-5x+4=0的根为1,4,而等比数列{an

}是递增数列,所以a1=1,a3=4.由等比数列的通项公式得,

a3=a1q2=q2

=4⇒q=±2.又因为等比数列{an}是递增数列,故q=2.从而S6=

=

=63.

答案:

63

11.【思路点拨】利用等比数列的前n项和的性质求解.

【解析】由

=

a1=-1知公比q≠1,

=-

.由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,

且公比为q5,故q5=-

解得q=-

.

答案:

-

【加固训练】设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1（n=1,2,…）,若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=.

【解析】由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,3

7,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,所以q<0,

又因为|q|>1,所以{an}的连续四项为-24,36,-54,81,所以q=

=-

所以6q=-9.

答案:

-9

12.【解析】因为等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,所以

=

102n,即an=10n,所以2n-1lgan=2n-1lg10n=n·2n-1,所以Sn=1+2·2+3·22+…+n·

2n-1①

2Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n②

所以①-②得：

-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=（1-n）2n-1,

所以Sn=（n-1）2n+1.

答案：

（n-1）2n+1

13.【解析】

（1）a1=2,a2=2+c,a3=a2+2c=2+3c,

因为a1,a2,a3成等比数列,所以（2+c）2=2（2+3c）,

解得c=0或c=2.

当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故c=2.

（2）由

（1）知an+1-an=2n（n=1,2,3,…）

a2-a1=2,

a3-a2=4,

…

当n≥2时,an-an-1=2（n-1）,

以上各式累加得an-a1=2[1+2+…+（n-1）]

=2×

=n（n-1）.

又a1=2,故an=2+n（n-1）=n2-n+2（n=2,3,…）.

当n=1时,上式也成立,

所以an=n2-n+2（n=1,2,…）.

14.【解析】

（1）依题意Sn=4an-3（n∈N*）,

n=1时,a1=4a1-3,解得a1=1.

因为Sn=4an-3,

则Sn-1=4an-1-3（n≥2）,

所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,

整理得an=

an-1.又a1=1≠0,

所以{an}是首项为1,公比为

的等比数列.

（2）因为an=

由bn+1=an+bn（n∈N*）,

得bn+1-bn=

.

可得bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）

=2+

=3·

-1（n≥2）,

当n=1时也满足,

所以数列{bn}的通项公式为bn=3·

-1.

15.【思路点拨】

（1）由条件S4,S2,S3成等差数列和a2+a3+a4=-1

8列出方程组,解出首项和公比,运用等比数列通项公式得出{an}的通项公式.

（2）假设存在正整数n,使得Sn≥2013,解不等式,求n的解集.

【解析】

（1）设数列

的

公比为q,则a1≠0,q≠0.由题意得

即

解得

故数列

的通项公式为an=3

.

（2）由

（1）有Sn=

=1-

.

若存在n,使得Sn≥2013,则1-

≥2013,即

≤-2012.

当n为偶数时,

>0,上式不成立;

当n为奇数时,

=-2n≤-2012,

即2n≥2012,则n≥11.

综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为

.

【加固训练】已知数列{an}是等比数列,a3=1,又a4,a5+1,a6成等差

数列,数列

的前n项和