初一数学相交线和平行线探究题附答案解析.docx

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初一数学相交线和平行线探究题附答案解析

初一数学相交线和平行线探究题

1．AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合）．∠ABC=n°，∠ADC=80°．

（1）若点B在点A的左侧，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；

（2）将

（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．

2．已知：

如图①、②，解答下面各题：

（1）图①中，∠AOB=55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数。

（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？

为什么？

（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（请画图说明结果，不需要过程）

3．如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．

（1）试说明AB∥OC的理由；

（2）试求∠BOE的度数；

（3）平移线段AB；

①试问∠OBC：

∠ODC的值是否会发生变化？

若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．

②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．

4．

（1）①如图1，已知AB∥CD，∠ABC=60°，可得∠BCD=_______°；

②如图2，在①的条件下，如果CM平分∠BCD，则∠BCM=_________°；

③如图3，在①、②的条件下，如果CN⊥CM，则∠BCN=___________°．

（2）、尝试解决下面问题：

已知如图4，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．

5．已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．

（1）求证：

∠F+∠FEC=2∠A；

（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．

6．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于C、D两点，点P在直线CD上.

（1）试写出图1中∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系，并说明理由；

（2）如果P点在C、D之间运动时，∠APB，∠PAC，∠PBD之间的关系会发生变化吗？

答：

.（填发生或不发生）；

（3）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2、图3），试分别写出∠APB，∠PAC，∠PBD之间的关系，并说明理由.

7．（8分）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；

（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．

8．

（1）已知：

如图1，直线AC∥BD，求证：

∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）如图2，如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？

并加以证明；

（3）如图3，如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是（只写结果，不要证明）．

9．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？

若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？

请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？

（不需证明）

（3）根据

（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

参考答案

1．

（1）∠BED=

n°+40°；

（2）∠BED的度数改变，∠BED=220°﹣

n°．

【解析】

试题分析：

（1）如图1，过点E作EF∥AB，根据平行线性质可得∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，再由角平分线定义得出∠ABE=

∠ABC

=n°，∠CDE=

∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF即可求得答案；

（2）如图2，过点E作EF∥AB，根据角平分线定义可得∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=40°，再由平行线性质可得∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣

n°，∠CDE=∠DEF=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF即可求得答案．

试题解析：

解：

（1）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，

∴∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=40°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=

n°+40°；

（2）∠BED的度数改变，

过点E作EF∥AB，如图，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，

∴∠ABE=

∠ABC=

n°，∠CDE=

∠ADC=40°，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=180°﹣∠ABE=180°﹣

n°，∠CDE=∠DEF=40°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°﹣

n°+40°=220°﹣

n°．

考点：

平行线的判定及性质；角平分线定义．

2．

（1）125°；

（2）∠P=∠O；（3）相等或互补；（4）相等或互补.

【解析】

试题分析：

（1）利用四边形的内角和定理即可求解；

（2）利用垂直的定义和三角形的内角和定理求解；

（3）根据

（1）和

（2）的结果即可求解；

（4）本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．

试题解析：

（1）如图①，

∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠PEO=∠OFP=90°，

∴∠EPF=360°-90°-90°-55°=125°；

（2）如图②，

∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠PEO=∠OFP=90°，

又∵∠OGF=∠PGE，

∴∠P=∠O；

（3）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补；

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．

如图③，

∠1，∠2，∠3的两边互相平行，

∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；

∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．

∴这两个角相等或互补．

考点：

1.平行线的性质；2.垂线．

3．

（1）答案见解析

（2）∠BOE=40°.（3）①不会，比值=1:

2；②∠OEC=60°.

【解析】

试题分析：

（1）根据OA//CB，得出

，再根据已知条件，即可证明∠C+∠ABC=180°，从而得证.

（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再求出∠EOB=

∠AOC.（3）①根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的外角性质∠OEC=2∠OBC即可.②根据三角形的内角定理，求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OD、OE是∠AOC的四等分线，在利用三角形的内角定理即可求出∠OEC的度数.

试题解析：

（1）∵OA∥CB，∴∠OAB+∠ABC=180°，∵∠C=∠OAB=100°，∴∠C+∠ABC=180°，

∴AB∥OC.

（2）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=∠EOD，∵∠DOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=

∠AOC=

×80°=40°；（3）①∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠EOB=∠AOB，∴∠EOB=∠OBC，∴∠OEC=∠EOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：

∠OEC=1：

2，是定值；

②在△COE和△AOB中，∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，∴∠COE=∠AOB，∴OB、OD、OE是∠AOC的四等分线，

∴∠COE=

∠AOC=

×80°=20°，∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，∴∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°.

考点：

1、平行线的性质与判定定理2、三角形的外角性质和内角定理.

4．

（1）、①60；②30；③60；

（2）、20°

【解析】

试题分析：

（1）、根据平行线的性质以及角平分线、垂线的性质得出角度的大小；

（2）、根据平行线的性质得出∠BCE=140°，根据角平分线的性质得出∠BCN=70°，根据垂直的性质得出∠BCM=20°.

试题解析：

（1）、①60；②30；③60．

（2）、∵AB∥CD，∴∠B+∠BCE=180°，∵∠B=40°，∴∠BCE=180°-∠B=180°-40°=140°．

∵CN是∠BCE的平分线，∴∠BCN=140°÷2=70°∵CN⊥CM，∴∠BCM=90°-∠BCN=90°-70°=20°

考点：

平行线的性质

5．

（1）证明见解析

（2）∠MBC=∠F+∠FEC，证明见解析

【解析】

试题分析:

（1）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案；

（2）由BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，结合

（1）的结论证得答案即可．

（1）证明：

∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，

∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，

∵∠ADE=∠BDF，

∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，

∵∠A=∠ABC，

∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．

（2）∠MBC=∠F+∠FEC．

证明：

∵BM∥AC，

∴∠MBA=∠A，、

∵∠A=∠ABC，

∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，

又∵∠F+∠FEC=2∠A，

∴∠MBC=∠F+∠FEC．

考点：

三角形内角和定理；平行线的性质；三角形的外角性质．

6．见试题解析

【解析】

试题分析：

（1）过点P作PE∥l1，∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，两个等式相加即可得出结论。

（2）不发生（3）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：

①如图1，有结论：

∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由如下：

过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，

所以可得出结论∠APB＝∠PBD－∠PAC.。

②如图2，有结论：

∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由如下：

过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，

又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以可得结论∠APB＝∠PAC-∠PBD.

试题解析：

解：

（1）∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由如下：

过点P作PE∥l1，

则∠APE＝∠PAC，

又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所