1718年度8年级数学上第10次常考题.docx
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1718年度8年级数学上第10次常考题
1．如图，AO⊥OM，OA=4，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为 ．
2．如图，在△ABC中，AC=5，∠C=60°，点D、E分别在BC、AC上，且CD=CE=2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为 ．
3．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
4．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且
+|BC﹣6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．
（1）求BD的长（长度单位是cm）；
（2）如图2，若点P从D点出发，以2cm/s的速度沿DA向点A运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，P、Q同时出发，一个点到达终点时，两点同时停止运动；设运动时间为x，用含x的代数式表示△CPQ的面积S．
（3）如图3，在BC上取一点E，使EB=1，那么当△EPC是等腰三角形时，请直接写出△EPC的周长．
5．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：
△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．
6．定义：
三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出等边“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
7．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．
（1）求证：
∠FMC=∠FCM；
（2）AD与MC垂直吗？
并说明理由．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒
（1）出发1秒后，△ABP的周长= ；
（2）当t= 时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
9．阅读理解
（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？
（S表示面积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC=S△ADE+S△EBC；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．
10．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．
（1）如图①，求证：
；
（2）如图②，若BD=CD，求证：
AB=AC；
（3）如图③，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD的长．
11．如图
（1），△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，把△ECD绕点C逆时针旋转，使点D在AB上，如图
（2），连接AE．
（1）求证：
△ACE≌△BCD；
（2）如图
（2），若AB=4，ED=
，求△ADE的面积．
12．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，CD=14，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为 ．
13．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、3、4，则原直角三角形纸片的斜边长是 ．
1．解：
如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，
∴∠BAO=∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；
在△ABO与△BEN中，
∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；
∵BO=BF，∴BF=NE，
在△BPF与△NPE中，
，∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP=NP=
BN；而BN=AO，∴BP=
AO=
×4=2，故答案为：
2．
2．解：
如图，作FG⊥AE于点G，
∵∠C=60°，CD=CE=2，∴△CDE是边长为2的等边三角形，
∵将△CDE沿DE所在直线折叠得到△FDE，
∴△FDE也是边长为2的等边三角形，∴FE=2，∠AEF=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴Rt△EFG中，∠EFG=30°，∴GE=
EF=1，FG=
，
又∵AC=5，∴AG=5﹣1﹣2=2，
∴Rt△AFG中，AF=
=
．故答案为：
．
3．解：
如图，
由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E．
①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得B′E=
．
△B′EN∽△AB′M，
=
，即
=
，x2=
，
BE=B′E=
=
．
②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得B′E=
，
△B′EN∽△AB′M，
=
，即
=
，
解得x2=
，BE=B′E=
=
，．
4．解：
（1）连接BD，如图1所示，
∵
+|BC﹣6|=0，∴AB=4，BC=6，∴AD=BC=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=
=
=2
（cm）；
（2）连接CQ、PQ、CP，如图2所示，
根据题意得：
BQ=x，PD=2x，AQ=4﹣x，AP=6﹣2x
△CPQ的面积S=矩形ABCD的面积﹣△APQ的面积﹣△CDP的面积﹣△BCQ的面积
=6×4﹣
×（6﹣2x）（4﹣x）﹣
×2x×4﹣
×6×x=12﹣x2（cm2）；
（3）∵BC=6，EB=1，∴CE=6﹣1=5，
分三种情况：
①当CP=CE=5时，作EM⊥AD于M，如图3所示，
则AM=EB=1，EM=AB=4，
∵∠D=90°，CD=AB=4，∴PD=
=
=3，
∴PM=AD﹣AM﹣PD=6﹣1﹣3=2，
∴PE=
=
=2
，∴△EPC的周长=CE+CP+PE=10+2
（cm）；
②当PE=CE=5时，同①得：
△EPC的周长=10+2
（cm）；
③当PC=PE时，作PN⊥BC于N，如图4所示，
则PN=CD=4，EN=CN=
CE=2.5，
∴PE=PC=
=
=
，∴△EPC的周长=CE+PC+PE=5+
（cm）；
综上所述：
△EPC的周长为（10+2
）cm或（5+
）cm．
5．
（1）证明：
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，
∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
，∴△DBN≌△DCM．
（2）结论：
NE﹣ME=CM．
证明：
由
（1）△DBN≌△DCM可得DM=DN．
作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，
在△DEF和△CEM中，
，∴△DEF≌△CEM，
∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．
6．解：
（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：
（2）①不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：
设等边三角形的边长为a，则等边三角形面积为
．
因为，若边长a为整数，那么面积
一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”；
②能摆出如图3所示一个非特殊“整数三角形”：
7．
（1）证明：
∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；
（2）AD⊥MC，理由：
由
（1）知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．
8．解：
（1）如图1所示：
由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=
=
=4（cm），
动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2cm，∴AP=2cm，
∵∠C=90°，∴PB=
=
（cm），
∴△ABP的周长为：
AP+PB+AB=2+5+
=7+
（cm），
故答案为：
（7+
）cm，
（2）分两种情况：
①如图2所示：
当点P在边AC上时，CP=BC=3cm，3÷2=1.5（s），
此时用的时间为1.5s，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
②如图3所示：
当点P在边AB上时，CP=BC=3cm，
过C作斜边AB的高CD，则CD=
=2.4（cm），
在Rt△PCD中，PD=
=
=1.8（cm），
∴BP=2PD=3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4（cm），
则用的时间为5.4÷2=2.7（s），△BCP为等腰三角形；
综上所述：
当t=1.5s或2.7s时，△BCP是以BP为底边的等腰三角形；
故答案为：
1.5s或2.7s；
（3）分两种情况：
①如图6所示：
当P点在AC上，Q在BC上，则PC=2t，CQ=t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+t=4﹣2t+3﹣t+5，解得：
t=2；
②如图7所示：
当P点在BC上，Q在AB上，则BQ=t﹣3，BQ=2t﹣9
∴AQ=5﹣（t﹣3）=8﹣t，CQ=3﹣（2t﹣9）=12﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴4+8﹣t+12﹣2t=t﹣3+2t﹣9，解得：
t=6，
9.解答：
解：
（1）如图①，过点A作AE⊥BC于E．
∵D是BC中点，∴BD=CD，
又∵S△ABD=
•BD•AE，S△ADC=
•CD•AE，∴S△ABD=S△ADC．故答案为相等；
（2）如图②，延长DE交CB的延长线于点F．
∵E是AB的中点，∴AE=BE．
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE．在△DAE与△FBE中，
，
∴△DAE≌△FBE（AAS），
∴DE=FE，S△DAE=S△FBE，∴
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