考研数学强化班高等数学讲义.docx
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考研数学强化班高等数学讲义
第一讲极限与连续
主要内容概括
一、极限
1极限的概念
1）数列极限:
limanA：
0,N0,当n
N时，恒有|anA|.
n
2）函数极限:
（1）lim
f（x）
A：
0,
X
0,当|x|
X时，恒有
x
|f（x）
A|.
类似的定义
lim
f（x）
A，lim
f（x）
A。
x
x
lim
f（x）
A
lim
f（x）
lim
f（x）
A
x
x
x
（2）lim
f（x）
A：
0,
0,当0|x
x0|
时，恒有
xx0
|
f（x）
A|
。
左极限：
lim
f（x）
f（x0
）（或f（x0
0））
x
x0
右极限：
lim
f（x）
f（x0
）（或f（x0
0））
x
x0
lim
f（x）
A
lim
f（x）
limf（x）
A
xx0
x
x0
xx0
几个值得注意的极限：
1
1，limex,limarctanx,lim
1
x2
limex,limarctan
.
x
0
x
0
x
x
x
x
x
2极限的性质
1）局部有界性
若
lim
（
）
存在，则f（x）在
某去心邻域有界。
x
x0
f
x
x0
2）保号性
设lim
f（x）
A
x
x0
（1）如果A
0,则存在
0,当xU
（x,
）时，f（x）
0.
0
（2）如果当xU（x0,）时,f（x）0,那么A0.
3）有理运算性质若limf（x）A,limg（x）B.
那么:
lim[f（x）g（x）]limf（x）limg（x）AB
lim[f（x）g（x）]limf（x）limg（x）AB
lim
f（x）
limf（x）
A
（B0）
g（x）
limg（x）
B
两个常用的结论：
1）lim
f（x）存在，limg（x）
0
limf（x）
0;
g（x）
2）
lim
f（x）
A
0,limf（x）
0
limg（x）
0;
g（x）
4）极限值与无穷小之间的关系;
limf（x）Af（x）A（x）.其中lim（x）0.
注：
数列极限也有以上对应的四条性质。
3极限的存在准则
1）夹逼准则：
若存在
N，当n
N时，xn
yn
zn，且limxn
limzna,则
n
n
limyna.
n
2）单调有界准则：
单调有界数列必有极限。
4常用的基本极限
limsinx
1
1）x
1,
lim（1
x）x
e,
lim（1
e
x0
x
x
0
x
x
limln（1
x）
1,
limex
1
1
limax
1
lna
x0
x
x
0
x
x
0
x
lim（1x）
1
limn
n
1.
x0
x
n
5无穷小量
1）无穷小量的概念:
若lim
f（x）
0，则称f（x）为x
x0时的无穷小量.
x
x0
2）无穷小的比较:
设lim
（x）
0,
lim
（x）
0
，且
（x）
0.
（1）高阶：
（x）
0；记为
（x）
（（x））;
若lim
（x）
（2）同阶：
（x）
C
0；
若lim
（x）
（3）等价：
（x）
1；记为
（x）~
（x）;
若lim
（x）
（4）无穷小的阶:
若lim
（x）
C
0，称
（x）是
（x）的k阶无穷小.
[
（x）]k
3）常用的等价无穷小：
当x
0时,
x~sinx~tanx
~arcsinx~arctanx~ln（1
x）~ex
1;
1cosx~
1x2,
（1
x）
1~
x,
ax
1~xlna,
，
2
4）等价无穷小代换
若~,
~,
则lim
lim
5）无穷小的性质:
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小.
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小.
（3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小.
6无穷大量
1）无穷大量的概念:
若limf（x）
，称f（x）为x
x0时的无穷大量；
xx0
2）常用的一些无穷大量的比较
（1）当x
时
ln
x
x
ax
其中
0,
0,a
1.
（2）当n
时
lnn
n
an
n!
nn
其中
0,
0,a
1.
3）无穷大量与无界变量的关系：
无穷大量无界变量
4）无穷大量与无穷小量的关系：
在同一极限过程中，如果
f（x）是无穷大，则
1
是无穷小；反之，如果
f（x）是无穷
f（x）
小，且
f（x）0,则
1
是无穷大；
f（x）
二、连续
1连续的定义:
若
lim
（）
（
）
（或
lim
0
）则称
f（x）在
处连续。
xx0
f
x
f
x0
x0
y
x0
左连续:
若lim
f（x）
f（x0）,则称f（x）在x0
处左连续。
x
x0
右连续:
若lim
f（x）
f（x0）,则称f（x）在x0
处右连续。
x
x0
f（x）连续
f（x）左连续且右连续
2间断点（f（x）在x0某去心邻域有定义，但在
x0处不连续）
1）第一类间断点:
左,右极限均存在的间断点
可去间断点:
左极限=右极限
跳跃间断点:
左极限
右极限
2）第二类间断点:
左、右极限中至少有一个不存在的间断点
无穷间断点:
x
x0时,f（x）
振荡间断点:
x
x0时,f（x）振荡
3连续函数性质
1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数；
2）基本初等函数在其定义域内是连续的；初等函数在其定义区间内是连续的；
3）有界性：
若f（x）在[a,b]上连续,则f（x）在[a,b]上有界。
4）最值性:
若f（x）在[a,b]连续,则f（x）在[a,b]上必有最大值和最小值。
5）介值性:
若f（x）在[a,b]连续,且f（a）f（b），则对f（a）与f（b）之间
任一数C,至少存在一个（a,b）,使得f（）C.
推论：
若f（x）在[a,b]上连续，则f（x）在[a,b]可取到介于最小值m与最大值M之
间的任何值.
6）零点定理:
若f（x）在[a,b]连续,且f（a）f（b）0,则必（a,b），使f（）0。
重点题型讲解
一、极限问题
类型一：
连加或连乘的求极限问题
1．求下列极限：
（1）lim
1
1
1
；
1
3
3
5
（2n
1）（2n
n
1）
2．求下列极限：
（1）lim
1
1
1
；
4n2
4n2
4n2
n
1
2
n
3．求下列极限：
（1）lim
1
1
1
；
2
2
2
2
2
n
n
n
n
2
1
n
2
（2）limnn!
；
nn
n
1
（3）lim
。
2
n
i
1
i1n
n
类型二：
利用重要极限求极限的问题
1．求下列极限：
（1）limcos
x
cos
x
cos
x
（x
0）；
（n
1）n1
1
2
n
（2）lim
n
sin
；
n
2
2
2
n
n
n
2．求下列极限：
1
（1）lim1sinx21cosx；
x0
1
1
1
tanx
x3ln（1
2x）
（4）limcos
（3）lim
sinx
；
x
x01
x
类型三：
利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题
1．求下列极限：
x2
；
1
tanx
1
sinx
；
（2）lim
etanx
ex
；
（1）lim
x（1cosx）
x（1
cosx）
x0
x
0
（3）lim1
[（2
cosx）x
1]；
（4）lim（1
1
）；
x0x3
3
x
0x2
tan2
x
（5）lim（3
x）
x
3
x
2
；
x0
x
ln（1
f（x））
f（x）
（6）设lim
sinx
A，求lim
。
ax
1
x2
x0
x0
x2
2．求下列极限：
lim
cosx
e2
3
x
0
xsinx
类型四：
极限存在性问题：
1．设x11,xn1
1
xn
0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。
n
n
n
2．设f（x）在[0,
）上单调减少、非负、连续，an
f（k）
f（x）dx（n1,2,），证明：
k1
1
liman存在。
n
类型五：
夹逼定理求极限问题：
1．求lim
1sinnx
；
01
dx
n
x
n
n
n
1
．
a
b
c
n
abc非负
；
2
lim（
）
（
,
）
n
x2
n
3．limn1
xn
（x
0）。
n
2
类型六：
含参数的极限问题：
1．设lim（x3sin3x
ax2
b）0，求a,b；
x0
2．设lim
x2
1
ax
b）
3，求a,b；
xx1
类型七：
中值定理法求极限：
1、limn2（arctan
arctan
）；
n
n
n
1
1
1
2、limx2（e2x1
e2x1）。
x
类型八：
变积分限函数求极限：
x
x
2
costdt
x
et
0
2
。
1、lim
x
1
x0（xtanx）（
1）
1
x
f（xt）dt
2、设f（x）连续，且f
（1）
1，则lim
1
3
。
x1
x
1
二、连续与间断的判断
ln（1
x）,x
0
x
1．设f（x）
0,x
0
，讨论函数
f（x）在x
0处的连续性。
1
x
1
x,1x
0
x
1
1
2．讨论f（x）
（2x
1）
（2x
1）,x
0在x
0处的连续性。
1,x
0
三、连续性命题的证明
1．设f（x）C[a,）且lim
f（x）存在，证明f（x）在[a,
）上有界。
x
2．设f（x）在[a,b]上连续，任取p
0,q0，证明：
存在
（a,b），使得
pf（a）qf（b）（pq））f（）。
第二讲微分学
第一部分一元函数微分学
内容复习
一、导数与微分的概念
1导数概念：
f（x0）
lim
f（x0
x）
f（x0）=limf（x）
f（x0）
lim
0
y；
x
0
x
xx0
x
x0
x
x
左导数：
f（x0）
lim
f（x0
x）
f（x0）；
x
0
x
右导数：
f（x0）
lim
f（x0
x）
f（x0）；
x
0
x
可导左右导数都存在且相等
2微分的概念：
若yf（x0x）f（x0）Ax（x），则称f（x）在x0处可微。
其中Ax称为
f（x）在x0处的微分，记为
dyAx
3导数与微分的几何意义:
（会求切线、法线方程）.
1）导数f
（x0）在几何上表示曲线yf
（x）在点（x0,f（x0））处切线的斜率。
2）微分dy
f（x0）dx在几何上表示曲线
y
f（x）的切线上的增量。
yf（x0
x）f（x0）在几何上表示曲线
yf（x）上的增量。
y
dy
4连续,可导,可微之间的关系
二、微分法
1求导公式
1
）（C）0
2
）（x）
x1
3
）（ax）axlna
4
）（ex）
ex
5
1
6）
（lnx）
1
）（logax）
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