汕头市二模数学试题理科.docx

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汕头市二模数学试题理科

汕头市2020年普通高校招生模拟考试

理科数学

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（AUB）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（AQB）=P（A）-P（B）

圆锥的侧面积公式S=rl其中r、I分别表示圆锥的底面半径和母线

球的表面积公式S=4R2其中R表示球的半径

考生注意：

1•本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；

2.第13题、14题、15题为选答题，考生选答其中两题，三题都答的只计算前两题得分。

第I卷（选择题，共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

60个。

用系统抽样法从中抽取容

1.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品量为20的样本.则每个个体被抽取到的概率是（

1

A.

24

2.下列关系式中，使

A.sincos

C■.1cos2

1

B.

36

存在的关系式是（

5

3

2cos

1

C.—

60

）

B.cos

sincossin.2

D.1cos2log12

2

3.在ABC中,

A60,AC16，面积为220•.3，那么BC的长度为（

A.25B.51

C.49、3D.49

4.若双曲线

2

x

2a

2

£1（a0,b0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离

b2

心率为（）

B.<3

C80

c8zC8Z2

C；

3z

C84Z4C；Z5

C：

Z6c8Z7

（

）

A.

16

B.

15

C

.16i

D.

16

（i为虚数单位），则（

）

3

A.—

2

2

B.—

3

1

c.

2

1

D.-

3

7.函数y（sinx

a）21，当

sinx

a时有最小值，当

sinx

1时有最大值，则a的取

值范围是（

）

A.[1,0]

B.[

1,1]

C.（

0]

D.[0,1]

6•若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球面积之比是（）

8.已知f（x）是以2为周期的偶函数，当

关于x的方程f（x）

kxk1（kR且k

1）有4个不同的根，则k的取值范围是

（）

C.（：

0）

D.（^,0）

A.（^,0）

B.（1,0）

4

2

3

第H卷（非选择题

共110分）

、填空题：

本大题每小题

5分，共30分.把答案填在答题卷中的横线上

5.设复数Z

x［0,1］时，f（x）x，那么在区间［1,3］内,

9.将一张坐标纸折叠一次,

使点（2,0）与点（2,4）重合，则与点（4,1）重合的点的坐标是

14916

10.数列1_,2-,419）,8石，的一个通项公式是an

11.利用计算机计算S

11

1

1

S=0

122

334

99

100’

K=1

某同学编写的右边程序语句中，

（①）处应填

DO

S=S+1/（K*（K+1））

K=K+1

12.给出以下五个命题：

①

*2

nN,（n5n

5）2

1.

LOOPUNTIL（①）PRINT”S=”;S

x0

END

②当x,y满足不等式组

xy

时，目标函数

k

3x2y的最大值为5.

2xy1

③设全集U={1,2,3,4,5,6}

，集合A

3,4,B

3,6

，则Cu（A

B）{1,2,3,5,6}.

④定义在R上的函数y

f（x）在区间（1,2）上存在唯一零点的充要条件

是f

（1）gf

（2）0.

muuuuunruuu

⑤已知ABC所在平面内一点P（P与A,B,C都不重合）满足PAPBPCBC

则ACP与BCP的面积之比为2•

其中正确命题的序号是•

▲选做题：

在下面三道小题中选做两题，三道小题都选的只计算第13、14小题的得分。

13.在极坐标系中，圆p=cos0与直线pcos0=1的位置关系是•

14•函数y3、.x24.6x的最大值是.

15•已知圆0的半径为3，从圆0外一点A引切线AD和割线ABC,

圆心0到AC的距离为22,AB3，则切线AD的长为

（第15小题）三、解答题：

本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•

16.（本小题满分12分）

设f（x）=ax+b,az0,Snf

（1）f

（2）f（3）Lf（n），若f（3）5，且

f

（1）,f

（2）,f（5）成等比数列，求Sn•

17.（本小题满分12分）

中央电视台《同一首歌》大型演唱会即将于4月25日在汕头市举行，甲、乙两人参加

大会青年志愿者的选拔.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中

的8题。

规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.

（I）求甲答对试题数E的概率分布及数学期望；

（H）求甲、乙两人至少有一人入选的概率.

18.（本小题满分14分）

D

A

C

D

如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点

3

tanDAC-.

4

现沿对角线BD把ABD折起，

9

ADC的余弦值为一•

25

（I）求证：

平面ABD平面CBD;

（n）若M是AB的中点，求AC与平

面MCD所成角的一个三角函数值.

19.（本小题满分14分）

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）3700x45x210x3（单

位：

万元），成本函数为C（x）460x5000（单位：

万元），又在经济学中，函数f（x）的

边际函数Mf（x）定义为Mf（x）f（x1）f（x）。

（I）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）;（提示：

利润=产值成本）

（n）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（川）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是

什么？

20.（本小题满分14分）

0）上相异两

y

T

Q

R

设P（X1,yj,Q（X2,y2）是抛物线C:

y22px（p

uuuuuur

点，且OPgOQ0,直线PQ与x轴相交于E.

（I）若P,Q到x轴的距离的积为4，求p的值;

（n）若p为已知常数，在x轴上，是否存在异于E的一点F，使得

直线PF与抛物线的另一交点为R，而直线RQ与x轴相交于T，且

ULTUUU

有TR3TQ，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）

定义F（x,y）（1x）y,x,y（0,）,

（I）令函数f（x）F（1,log2（x24x9））的图象为曲线C1,曲线0与y轴交于点A（0,

m），过坐标原点O向曲线G作切线，切点为B（n,t）（n>0），设曲线&在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S,求S的值；

（n）令函数g（x）F（1,log2（x3ax2bx1））的图象为曲线C?

，若存在实数b使得曲

线C2在Xo（4xo1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围;

（川）当x,yN*且xy时，证明F（x,y）F（y,x）.

参考答案：

一、选择题

1.D.每个个体被抽到的概率是

20

1

120

6

2.C.A选项中，sincos

..2sin（

-）.25,

43

故不成立；

e选项中，cossin

cos

sin

2・

cossin

i2cos21.2，故不

成立；

D选项中，由1cos2

logj、.2

1

，得cos2

3

1，故不成立；

2

2

2

C选项中.Jcos2

.2cos2

，当

cos0时，

1cos2、、2cos.

1__

3.D.QSVABCABACSin6043AB220、3,得AB55，再由余弦定理,

2

2401，得BC49.

4.C.焦点到渐近线的距离等于实轴长，故

b2a,e2

•8

i15。

c

a

5.

B.

化简式子得（1

\88

z）z（1

i）8

r2r,

r

lR

22

s锥

6.

B.

l

2R,

R3r,

Rl

R

3r'

s球

b2

Rl

4r2

2

法二：

R=3rtan30°=,3r,l=2,3r,得比值.

7.A•函数y=（sinx-a）2+1当sinx=a时有最小值

-1waw1,

•••当sinx=1时有最大值，•••aw0,\-1waW0

8.D.由题意可得右边f（x）的图像；

-10123x

当k0时，有3个根；当k1时，也有3个根,

3

有BC216255221655cos60

所以当k

、填空题：

（】,0）时，有4个根.

3

9.（4,3）•点（2,0）与（2,4）的垂直平分线为y=2,即为对称轴，故与点（4,1）重合的

点是（4,3）.

2

n-1n1n

10.ai=（-1）2—

n1

11.k99.（或a>=100）

12.②、⑤.①中，n=5时不成立；②画出可行域可知正确；③Cu（AB）{1,2,5}；

13.

14.

y

④零点不唯一；⑤PAPBPCBCPCPB

贝U△ACP与△BCP的面积之比为2.

相切.如图.

10.

当且仅当

x2.6x

即x

34

15.

■.15;BC=29

8=2,AC=3+2=5,

AD2

三、

解答题：

16.

解：

•••f（3）=5,

f

（1）、f

（2）、f（5）成等差数列，

3x24,6x,3242.（x2）（6x）10.

3ab5

（ab）（5ab）（2ab）2

解得a2,（舍去a=0）,$分

b1

•••f（x）=2x-1,6分

•••f（n+1）-f（n）=2（n+1）-1-（2n-1）=2,8分

•{f（n）}是等差数列，f

（1）=1,f（n）=2n-1,10分

n（12n1）2

…Sn=n.12分

2

17.

0、1、2、3,则

解：

（I）依题意，甲答对试题数E的可能取值为

E

0

1

2

3

P

1

3

1

1

30

10

2

6

甲答对试题数E的数学期望

1311

9

EE=012—3—

6分

301026

5

n）设甲、乙两人考试合格的事件分别为

A、B，贝U

P（

0）

C43

3

1

30，

P（

10

P（

2）

3

10

P（

3）

C：

3

10

其分布列如下:

P（A）=

213

C6C4C6

6020

C1

120

P（B）=

213

C8C2C8

C30

565614

12015

因为事件A、B相互独立,

•••甲、乙两人考试均不合格的概率为PA

•••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

答：

甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

另解：

甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

一一一

2

14

BPAPB

1-

1-

3

15

1

44

P1PAB

1—

45

45

44

12分

45

1

45

AC2AD2

CD2

2AD

CDcosADC

100

1002

10

9,

10128

25

3分

在厶AOC中，

OA2

OC2

128AC2,-

4分

AZ

M

B

0

C

D

2111421444

PPABPABPAB

31531531545

44

答：

甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44.

45

3

18.（I）证明：

菱形ABCD中，tan/DAC=,AD=10,

4

•OA=8,OD=61分

翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，

•••/AOC=90，即AO丄OC,又AO丄BD,06BD=O,

•••AO丄平面BCD,

又AO平面ABD,

•平面ABD丄平面CBD.6分

（H）解：

由（I）知OA,OC,OD两两互相垂直，分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建

系，贝UA（0,0,8）,B（0,-6,0）,C（8,0,0）D（0,6,0）M（0,-3,4），……7分

MC（8,3,4）,DC（8,6,0）,AC（8,0,8）,……8分

设平面MCD的一个法向量为n（x,y,z），则由

nMC0

nDC0

8x3y4z0

8x6y0，

令y=4，有n

（3,4,9）,

10分

11分

设AC与平面

MCD所成角为0,

uuu

AC,

n|5353，

13分

14分

19.解：

（I）P（x）R（x）C（x）10x45x3240x5000,（xN,且1x20）;2

分

o*

MP（x）P（x1）P（x）30x60x3275,（xN,且1x19）.4

cos|cos

•AC与平面

MCD

所成角的余弦值为

53

分

2

（H）P（x）30x90x324030（x12）（x9）.

当012时P（x）0.

x12,P（x）有最大值.

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.8分

（川）QMP（x）30x260x3275=30（x1）23305,11分

所以，当x1时，MP（x）单调递减，所以单调减区间为1,19，且xN.12

分

MP（x）是减函数的实际意义：

随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，禾U润在减少.14

分

20.解：

（I）：

OPOQ=0，则X1X2+y1y2=0,

又P、Q在抛物线上,

•••yi2=2pxi,y22=2px2,

22yiy2

2p2p

+yiy2=0,

yiy2=—4p2,

…|yiy2|=4p2,

又|yiy2|=4,•4p2=4,p=1.

（n）设E（a,O）,直线PQ方程为x=my+a,

联立方程组

x=my+ay2=2px

消去x得y2—2pmy—2pa=0

二yiy2=—2pa,①

设F（b,O）,R（X3,y3），同理可知:

yiy3=—2pb,②

由①、②可得鬻a‘③

3分

4分

5分

6分

7分

8分

9分

若TR=3TQ，设T（c,O），则有

（X3—c,y3—0）=3（X2—c,y2—0）,

•y3=3y2即卷=3,④

将④代入③，得b=3a.

10分

11分

又由（I）知，OPOQ=0,

•-y1y2=—4p2，代入①，

得—2pa=—4p2•a=2p,

•-b=6p,

13分

故，在x轴上，存在异于E的一点F（6p,0），使得TR=3TQ.14分

注：

若设直线PQ的方程为y=kx+b，不影响解答结果.

21.解：

（I）vF（x,y）（1x）y

2

•f（x）F（1,log2（x24x9））2log2（x4x9）x2

故A（0,9）,

又过坐标原点0向曲线。

畀乍切线，切点为B（n,t）（n>0）

f（x）=2x-4.

2

tn4n9丄2n4，n

解得B（3,6）,

•S\x2

0'

3

x2

4x92x）dx（3x9x）

3

（n）g（x）F（1,log2（x3ax2bx1））x3ax2bx1,

设曲线C2在x0（4

Xo

1）处有斜率为-8的切线,

又由题设Iog2（x3+ax2+bx+1）>0,g（x）=3x2+2ax+b.

•••存在实数b使得

3x。

2

4

3

x0

2ax0bx°1

ax02bx°

2

3x0

2axo，代入

3）

•••由

2x。

2

4

ax°

Xo

80有解,

1

2

得2X（-4）+ax（-4）+8>0或2X（-1）

•a<10或a10,

•-a

2

+ax

（川）令h（x）

又令p（x）

ln（1x）xx

x

x

ln（1

1x

1，由h（x）

x）,x0,

•p（x）

1

（1x）2

x

x（1x）2

（1）

（2）有解,

2

得2x0ax°

（-1）+8>0,

x

ln（1x）

1x

2

x

10分

p（x）在［0,

）连续•

p（x）在［0,

当x0时有,

p（x）

p（0）

0,

当x1时有，

h（x）

0,

h（x）在［1,

）单调递减，

1xy时，有叫1-

x

yln（1+x）>xln（1+y）,

（1x）y（1y）x,

x）

ln（1y）

y

）单调递减,

12分

13分

•••当x,yN且xy时，F（x,y）F（y,x）

14分