高等代数北大版课件9.7向量到子空间的距离.ppt
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2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、向量到子空间的距离,9.7向量到子空间的距离,二、最小二乘法,向量间的距离,长度称为向量和的距离,,基本性质,(i),(ii)并且仅当的等号才成立;,(iii)(三角形不等式),一、向量到子空间的距离,定义,记为,2.向量到子空间的距离,
(1)设为一固定向量,如果与子空间中,每个向量垂直,称垂直于子空间记作,如果则,注:
(2)向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短.,如图示意,对给定,设是中的满足,的向量,则,对有,因是子空间,,则,由勾股定理,证明:
故,所以,二、最小二乘法,问题提出:
实系数线性方程组,
(1),即任意都可能使,
(2),不等于零,可能无解,,设法找实数组使
(2)最小,这样的为方程组
(1)的最小二乘解,,此问题叫最小二乘法问题.,最小二乘法的表示:
设,(3),用距离的概念,
(2)就是,由(3),设则,要找使
(2)最小,等价于找子空间,中向量使到它的距离比到,中其它向量的距离都短.,设,这等价于,(4),即,这样(4)等价于,(5),为此必,或,这就是最小二乘解所满足的代数方程.,已知某种材料在生产过程中的废品率与某种,化学成份有关下列表中记载了某工厂生产,中与相应的的几次数值:
找出对的一个近似公式.,例题,把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势,近于一条直线因此我们决定选取的一次式,来表达当然最好能选到适当的,使得下面的等式,解:
都成立.,实际上是不可能的任何代入上面各式都发生,些误差.于是想找到使得上面各式的误差的平方,和最小,即找使,最小.,易知,最小二乘解所满足的方程就是,解得,(取三位有效数字).,即为,