③有理数中，最大的负整数是____，最小的正整数是____。
最大的非正数是____。
④与原点的距离为三个单位的点有____个，他们分别表示的有理数是________。
2、请画一个数轴，并检查它是否具备数轴三要素？
3、选择题
在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（ ）
Ａ整数 Ｂ负数 Ｃ非负数 Ｄ非正数
下列语句中正确的是（ ）
Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数
Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
知识点三：
相反数
相反数:
只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。
在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。
1、填空
①-2的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。
②|-3|的相反数是；它的倒数是；它的绝对值是。
③相反数是它本身的数是0；倒数是它本身的数是1和-1；绝对值是它本身的数是非负数。
2、选择
①若a和b是互为相反数，则a+b＝（）
A、–2aB、2bC、0D、任意有理数
②下列说法正确的是（）
A、–1/4的相反数是0.25B、4的相反数是-0.25
C、0.25的倒数是-0.25D、0.25的相反数的倒数是-0.25
③用-a表示的数一定是（）
A、负数B、正数C、正数或负数D、都不对
④一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（）
A、–1B、1C、±1D、0
3、判断
①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（）
②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（）
③只要符号不同，这两个数就是相反数（）
4、计算：
已知和的值互为相反数，求x的值。
知识点四：
绝对值
1、绝对值的几何意义:
一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。
2、绝对值的代数定义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。
3、比较两个数的大小关系
数学中规定：
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序，即左边的数小于右边的数。
由此可知：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
1、化简
（1）-|-2/3|＝_____；
（2）|-3.3|-|+4.3|＝___；
（3）1-|-1/2|=___；
（4）-1-|1-1/2|=______。
3、填空题。
①若|a|＝3，则a＝____；|a+1|＝0，则a＝____。
②若|a-5|+|b+3|＝0，则a＝___，b＝___。
③若|x+2|+|y-2|＝0，则x＝___，y＝___。
④绝对值小于2的整数有________。
⑤绝对值等于它本身的数有___________。
⑥绝对值不大于3的负整数有__________。
⑦数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为。
⑧将2.5,0,-1,1/2,-3,-1/3,2,1/3,1这组数按从大到小的顺序排列，并用“>”号连接。
知识点五：
有理数加减法
1、有理数的加、减法法则
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
②互为相反数的两个数相加得0。
③一个数同0相加，仍得这个数。
④减去一个数，等于加上这个数的相反数。
2、计算
知识点六：
乘除法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
0乘以任何数，都得0。
②几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。
③两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
④有理数中仍然有：
乘积是1的两个数互为倒数。
⑤除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
知识点七：
乘方
乘方定义：
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
中，底数是
，指数是
，幂是乘方的结果；读作：
的n次方或
的n次幂。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
1、填空
① 23中，底数是；指数是；结果是；读作：
。
② （-2）2中，底数是；结果是。
③ 5中，底数是；指数是。
④
中，底数是；指数是；幂是。
⑤ 18表示个相乘，结果是。
2、计算：
32=；-23=；-14=；
（-3）2=；05=；0.13=.
知识点八：
运算律及混合运算
1、基本知识
v
加法交换律：
v
乘法交换律：
v
加法结合律：
v
乘法结合律：
v
乘法分配律：
v有理数混合运算顺序：
先乘方；再乘除；最后算加减。
有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
同级运算，从左到右进行。
2、计算
知识点九：
科学记数法近似数
把一个大于10的数表示成
的形式（其中
是整数数位只有一位的数，即1≤|a|<10，
是正整数），使用的是科学记数法。
如：
。
知识点十：
近似数
1、近似数：
在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。
2、近似数的分类：
（1）具体近似数（如30.2、58.0…）
（2）带单位近似数（如2.4万…）
（3）科学记数法（如
…）
3、精确度：
用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。
四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位（看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:
2.4万精确到千位，而非十分位，因为2.4万就是24000，4在千位上）。
4、有效数字：
对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到末尾数止，所有数字都是这个近似数的有效数字。
求近似数要求保留n个有效数字时，第n+1个有效数字作四舍五入处理。
例：
0.0109有三个有效数字1、0、9，要求保留2个有效数字时，0.0109的第三个有效数字9四舍五入，变为0.0110，保留两个有效数字1、1后求出近似数0.0109≈0.011。
5、计算
按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.1296（精确到0.1/0.01/0.001）
（2）220.45（精确到个位/0.1）
（3）0.0099999（保留3个有效数字）
第二章整式的加减
知识点一：
整式的相关概念
代数式中的一种有理式：
不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
（分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式）
1.单项式：
数或字母的积（如5n，
，
等），单个的数或字母也是单项式。
（1）单项式的系数：
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
（如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0）。
（2）单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（非零常数的次数为0）。
2.多项式
（1）概念：
几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
（2）多项式的次数：
多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意：
（1）由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分，一起移动。
（2）有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：
a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。
3、整式:
单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“·”乘，或省略不写；
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“·”乘，也不能省略乘号；
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；
（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×
应写成
a；
（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成
的形式；
（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.
知识点二：
整式的加减运算
1.同类项的概念：
所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
（同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关）。
2.合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
法则：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
不能合并的项单独作为一项，不可遗漏
3.整式加减实质就是去括号，合并同类项。
注：
去括号时，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
4、几个重要的代数式：
（m、n表示整数）
（1）a与b的平方差是：
a2-b2；a与b差的平方是：
（a-b）2；
（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：
10a+b,则三位整数是：
100a+10b+c；
（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：
5m+n；偶数是：
2n，奇数是：
2n+1；三个连续整数是：
n-1、n、n+1；
（4）若b＞0，则正数是:
a2+b，负数是：
-a2-b，非负数是：
a2，非正数是：
-a2.
补充例题如下：
第三章一元一次方程
知识点一：
方程的相关概念
等式：
表示相等关系的式子。
方程：
含有未知数的等式。
（方程一定是等式,但等式不一定是方程）。
方程的解：
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：
求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。
一元一次方程：
只含一个未知数，未知数的次数是1，并且等式两边都是整式的方程。
同解方程：
两方程的解相同。
知识点二：
等式的性质
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
即：
如果
，那么
。
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即：
如果
，那么
；如果
，那么
。
知识点三：
解一元一次方程
一般解法：
ⅰ去分母：
两边同乘以各分母的最小公倍数；
ⅱ去括号；
ⅲ移项：
移项要变号；
ⅳ合并同类项：
把方程化成ax=b（a≠0）的形式；
ⅴ系数化为1：
两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。
一元一次方程的应用（重点难点）：
列方程解应用题的关键是：
仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。
几种常见问题：
1.和差倍分问题：
这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。
2.行程相遇问题：
三个基本量的关系路程=速度×时间
（1）两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度（直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同）；
（2）两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:
快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。
3.工程任务问题：
三个基本量的关系:
工作量=工作效率×工作时间
一般情况下，把全部工作量看做1（即100%），工作效率=1／工作时间（各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量）。
合作效率=各个人的效率之和。
4.利润问题：
利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。
5.分配问题：
例：
某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母（建立等量关系的依据），应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？
6.水上航行问题：
顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。
应用举例：
1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?
等量关系：
已读的+未读的=总页数（或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的）。
2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比（）
A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1%
注意：
不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。
3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,
（1）当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
（2）当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?
分析
（1）:
设经过x秒首次相遇。
两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:
甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×时间x乙的路程=乙的速度×时间x得到方程:
9x+7x=400
（2）设经过x秒首次相遇。
同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是:
快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。
4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天
分析:
合作时间=工作量／合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效率
甲的效率=工作量／甲的时间=1／x乙的效率=工作量／乙的时间=1／y
∴合作时间=1／（1／x+1／y）
5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？
分析：
设标价x元,等量关系:
利润（求）÷成本（已知250元）=利润率（已知15.2%）
利润=实际售价（标价的9折即90%x）-成本250
∴（90%x-250）／250=15.2%
练习：
小明、小红买工具，所带钱之比为7：
6，小明用掉50元，小红用掉60元，两人余下钱之比为3：
2,，求他们分别余下多少钱？
第四章图形认识初步
知识点一：
几何图形
1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。
2、有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等。
3、有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
如线段、角、三角形、长方形、圆等。
4、立体图形与平面图形虽然是两类不同的几何图形，但是立体图形中某些部分是平面图形，对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。
知识点二：
点、线、面、体
1、立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。
2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。
知识点三：
直线、射线、线段
1、线段：
直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。
射线：
将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
直线：
将线段向两个方向无限延长就形成了直线。
2、点与直线的位置关系：
点p在直线a上（或说直线a经过点p）；
点p不在直线a上（或说直线a不经过点p）。
过一点可画无数条直线，过两点有且仅有一条直线。
简述为：
两点确定一条直线。
3、线段的中点：
把一线段分成两相等线段的点。
两点的所有连线中，线段最短，简述为：
两点之间，线段最短。
两点间的距离：
连接两点间的线段的长度。
线段的长短比较：
⑴度量法；⑵叠合法
判断：
①两点间的距离是指两点间的线段。
（）
②两点间连线的长度叫这两点间的距离。
（）
知识点四：
角
角：
由两条具有公共端点引出射线组成的图形（也可看做是由一射线绕端点旋转而成）。
角的表示：
三个大写字母;一个大写字母（不混淆情况下方可使用）;一个数字;一个希腊字母。
角的要素：
顶点和边，角的大小与边的长短无关。
角的单位：
度,分,秒①1°的60分之一为1分，记作1′，即1°＝60′
②1′的60分之一为1秒，记作1″，即1′＝60″
角的大小比较：
⑴度量法；⑵叠合法。
角平分线：
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个等角，这条射线叫角平分线。
余角和补角：
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
性质：
等角的补角相等；等角的余角相等。
n
题型一：
作图题
例1、已知：
线段m、n。
（如图）
求作：
线段AC，使AC=m-n。
作法：
（1）作射线AM；
（2）在射线AM上截取AB=m。
（3）在线段AB上截取BC=n。
则线段AC就是所求作的线段。
题型二：
线段的分类考虑
例2已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．
解：
本题分两种情况：
如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时，
AC＝AB＋BC＝8＋3＝11（crn）；
如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时，
AC=AB－BC＝8—3＝5（cm）．
所以线段AC的长为11cm或5cm.
例3经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）
A．1或3B．3C．2D．1
解析：
这道题要分两种情况考虑：
一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线．答案：
A
题型三：
两角互补、互余定义及其性质的应用
例4一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．
解：
设这个角是x°，则它的补角是（180－x）°．
由题意，得180－x＝4x，解得x＝36．所以这个角是36°．
点拨
本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．
例5如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是（）
A．30°B．60°C．90°D．150°
解析：
本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°．答案：
A
例6根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．….观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?
请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．
解：
结论为：
一个角的补角比这个角的余角大90°．
说明：
设任意角是α（0＜α＜90°），α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，
则（180°－α）－（90°－α）＝90°.
题型四：
角的有关运算
例7如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．
解：
因为∠AOE＝90°，
所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′．
又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD，
所以∠3＝
∠AOD＝76°20′．
所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．
例8如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．
解：
因为∠MON＝α，∠BOC=β，
所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β
又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON
=2（∠BOM＋∠CON）＝2（α－β），
所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2（α－β）＋β=2α－β.
例9
（1）用度、分、秒表示54．12°．
（2）32°44′24″等于多少度?
（3）计算：
133°22′43″÷3．
解：
（1）因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，
所以54．12°=54°7′12″．
（2）因为24″=（
）′×24＝0．4′，44．4′=（
）°×44．4=0．74°，
所以32°44′24″=32.74°．
（3）133°22′43″÷3＝（132°＋82′）÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3
＝44°＋（81′＋1′）÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3
=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.
方法总结
角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个
数．
题型五：
钟表的时针与分针夹角问题
例10、15：
25时钟面上时针和分针所构成的角是度．
解析：
起始时刻定为15：
00（下午3点整时，时针和分针构成的角是90°），终止时刻为15：
25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝1
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