潮流计算中的特殊问答.docx
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潮流计算中的特殊问答
第四章潮流计算中的特殊问题
第一节负荷的静态特性
负荷的功率是系统频率和电压的函数。
在潮流计算中可以认为频率变化不大。
但由于发电机或输电设备的开断会引起电压较大的变化，在潮流计算中计及负荷的静态电压特性是合理的。
负荷的电压静态特性就是负荷的有功和无功功率与电压大小的关系，一般表
达如下：
（4-1）
式中系数满足
PD（i0）、qD0）是在设定电压Vis下的负荷值。
组成负荷的三部分被分别看做恒定阻抗部分、恒定电流部分和恒定功率部分，所以（4-1）称为负荷的ZIP模型
当api0、aQi0时，忽略电压的二次项。
潮流计算中计及负荷的静态电压特性的方法：
2、牛顿法雅可比矩阵子矩阵N和L的对角线元素要增加
1、节点功率的不平衡量计算
PGiPDi
P（V,）
PGif
2
°Di0）aPi'bRJCPiPi（V,）
VisVis
2（4-2）
QGiQDi
Qi（V,
）QGi
QDiaQitQiCQiQi（V,）
VisVis
P
Qi
Pi
Vi
和
Qi
Vi
3、P-Q分解法，Q-V迭代的系数矩阵B的对角线元素也应增加」，这
Vi
样B不再是常数了。
为了节省计算量，」也可取为常数，如忽略二次项取
Vi
aQi0，或不改变B，但功率不平衡量要按（4-2）计算。
负荷电压静态特性模型的指数形式
（4-3）
0.5~1.8、1.5~6
（4-3）变为。
模型中系数的选取属于负荷建模的问题，仍未得到很好的解决。
第二节节点类型的相互转换
一、PV节点转换为PQ节点
当在迭代过程中出现PV节点无功功率越限时，可以再迭代几次，如果无功仍越限，说明PV节点电压设置不合理，应进行调整:
如果无功功率越下限，检查是否电压设置过低？
如是可适当提高电压设定值，或转换为PQ节点，无功定值置下限值。
如果无功功率越上限，说明节点无功功率不能支持设定的电压，可适当调低电压设定值，或转换为PQ节点，无功定值取上限值。
PV节点转换为PQ节点的处理方法：
1、直角坐标方式的节点不平衡量由Vi2变为Qi；
2、牛顿法极坐标方式的修正方程加1个Q方程；
3、P-Q分解法，P迭代不变，QV迭代的系数矩阵有两种处理方法：
（1）B增加一行一列，如增加到最后:
（4-4）
BBi
B：
Bii
新的矩阵的因子表可由右下角加边的因子表修正法求出。
（2）B的对角元加大数
在形成B时包含PV节点对应的导纳，但PV节点的对角元加一个很大的数。
这样在正常Q-V迭代时，PV节点的电压修正零接近于0，不会影响其他节点的电压修正量。
当PV转换为PQ节点时，将加的大数去掉。
~BAB（4-5）
采用因子表秩1修正法得到新的因子表
二、PQ节点转换为PV节点
当在迭代过程中出现PQ节点电压越限时，可以再迭代几次，如果电压仍越限，说明PQ节点无功设置不合理，应进行调整：
如果电压越下限，说明无功设置较低，可适当提高无功设定值，或转换为
PV节点，电压定值取下限值。
如果电压越上限，说明节点无功设定偏高，可适当调低无功设定值，或转换
为PV节点，电压定值取上限值
PQ节点转换为PV节点的处理方法：
1、直角坐标方式的节点不平衡量由Qi变为Vi2；
2、牛顿法极坐标方式的修正方程减1个Q方程；
3、P-Q分解法，P迭代不变，QV迭代的系数矩阵有两种处理方法：
（1）
在B中划去将要转换为PV节点的节点所在的行和列，重新形成因子
在B中将要转换为PV节点的节点对应的对角元加一个很大的数，用
因子表秩
1修正法得到新的因子表
三、因子表修正方法
1、因子表秩1修正法
设系数矩阵A已因子化为如下的形式
ALDU（4-6）
由于某种原因，A变化为：
〜t
AAMaNAA（4-7）
其中M和N为n1的列矢量，a为标量。
新矩阵A的因子表为：
ALDU（4-8）
将（4-8）、（4-6）代入（4-7）有：
〜〜〜
LDULDUMaNT（4-9）
为了求出~D~中的各元素，将~DU和LDU各矩阵的第一行和第一列单独列
出，并写成分块矩阵的形式：
1
L
l1L1
d1
D1
1u1
U1
（4-10）
〜1
L^〜^〜
〜L1
d1
D1
U1
U1
（4-11）
n1
N1
（4-12）
（4-10）代入（4-6）,A矩阵可写为:
（4-13）
d1d1u1
hdr11d1U1L1D1U1
（4-11）代入（4-8）,A矩阵可写为:
（4-14）
Ad1d1U1
l[d[l1d1u1L1D1U1
（4-12）代入AMaN:
根据等号两端矩阵对应元素相等，可得:
其中
（4-20）
1
11M1an1d1
其中
M1M1l1m1
（4-21）
由上
（1）、
（2）、（3）可计算出新矩阵因子表上三角矩阵第一行元素、下三角矩阵第一列元素和对角线矩阵第一个元素。
〜〜〜〜〜〜t
（4）lidiuiLiDiUilidiuiLiDiUiMiaN1
重写为
〜〜〜〜〜
LiDiUilidiuilidiuiLiDiUiM^N：
LiDiUiAi（4-22）
其中Ailidiui〜diuiMiaN：
将（4-i8）、（4-20）代入得
〜〜〜t
AilidiUilidiUiMiaNi
~~~i~~i~Tt
li（dimiani）ui（liMianidi）di（uidimiaNi）MiaNi
〜〜〜~i~t〜〜i〜〜〜i〜〜i~丁t
lidiuilimianulidiuilididimiaNiMianididuiMianididdimiaNiMiaNi
l1m1an1u1
〜T
limiaNi
Mianiui1
〜〜i〜Tt
MianidimiaNiMiaNi
l1m1an1u1
l1mia（Nir
niui）（M
T〜~i~t
ilimi）aniuiMiaNiMianidimiaNi
l1m1an1u1
limiaNT
limianiui
T〜~i~t
MianiuilimianiuiMiaNiMianidimiaNi
limiang
limiaNT
MianiuiM
T〜~i~t
iaNiMianidimiaNi
（Milimi）aNT（Mi
limi）aniui
〜~i~t
MianidimiaNi
T〜〜i〜T
（Milimi）a（Niniui）MianidimiaNi
〜~i~T
Mi（aanidimia）Ni
m1~nT
（4-23）
其中
〜
~（aanidiimia）（4-24）
因此，（4-22）可写为如下的形式
L1D1UiL1D1UiM1~nT（4-25）
（4-25）与（4-9）有同样的形式，可用
（1）、
（2）、（3）的方法分别求出
~iDiUi矩阵的第一行第一列元素。
因子表的秩1修正过程就是递归使用式（4-17）、（4-18）和（4-20）逐次求出新矩阵的因子表的过程。
程序流程为:
loopi12,...,n-1
didimiani
MjMilimi
1
liliMianidjNiNiuh
uiuidi1miaNTaa-anid'miaendloop
dndnmnan.
（4-26）
由于M和N是非零元素非常少的稀疏矢量，使用稀疏矢量的排零运算后,上述程序流程的计算量很小。
2、原矩阵右下角加边的因子表修正法
已知原矩阵A的因子表
ALDU
（4-27）
在原矩阵A右下角增加m行m列后形成的加边矩阵A及因子表表示为:
AAMLDUumNaInladua
（4-28）
子表的兀素不变化。
右边展开
AM
LDULDuM
（4-29）
Na
lnDUlnDumldu
对照、比较得
11
umDLM
（4-30）
lNNU1D1
（4-31）
lduaInDum
（4-32）
其中M是nm阶矩阵，N是m
n阶矩阵。
由因子分解方法可知，原矩阵因
对矩阵aInDum进行三角分解可求出la、d和Ua矩阵各元素。
当m1时,
la1、Ua1，（4-32）变为
其结果为一标量
回忆因子表法线性方程组的求解过程的前代、规格化运算
LDUxb
LybyL1b（前代）
DzyzD1yD1L1b（规格化）
可见（4-30）就是用L和D对M中的各列进行的前代、规格化运算。
将（4-31）两边取转置lN（NU1D1）T（DT）1（UT）1nt，所以（4-31）就是用U和D对N中的各行进行的前代、规格化运算。
不别进行矩阵的求逆运算。
第三节多V节点的潮流计算
有时我们只关心一个大电网中的一部分网络的运行状态，为了简化计算将电
网分解为内部网、边界和外部网三部分。
将外部网的所有节点用高斯消去法消
掉，用边界节点间的等值支路来等值替代。
如图所示。
边界母线
要对等值后的网络进行计算，需要知道边界节点处来自外部等值网络的注入功率。
内部网和边界节点的运行参数可由SCADA系统得到，进而用状态估计方法可求出边界节点处的电压后，这样等值网络就是一个具有多V节点的网络。
设系统节点数为N，其中有S个节点V给定，R个节点PV给定，其余N-S-R个节点为PQ给定。
这样可写出N-S个有功约束方程和N-S-R个无功约束方程，
待求的为N-S-R个节点的电压相角和N-S个节点的电压幅值V。
待求变量数量与方程数相等，方程可解。
牛顿法或P-Q分解法均可使用。
上述多V的潮流方程收敛后，可求出边界节点处由外部网注入的等值功率。
将此注入功率作为已知量，可进一步研究内部网在各种运行方式下的潮流分布。
即认为在以后的分析中外部网提供的注入功率不变。
第四节潮流方程解的存在性、多值性以及病态潮流解法
一、潮流方程解的存在性、多值性
（1）、潮流方程是一组非线性方程组，理论上是多解的。
如不同的给定值、
不同的初始条件得到的解可能不同；
（2）、潮流计算得到的解可能是有实际意义的，即与实际运行状态相符或
实际能运行的解；也可能是无实际意义的，如实际无法实现或无法接受的解；
（3）、潮流方程无解，或无实数解，不能收敛；
（4）、潮流方程有解，但算法不完善，不能收敛，如修正方程病态；
（5）、采用“平值启动”或状态估计的参数作为初始条件得到的解一般是
有意义的。
（6）、潮流方程解的存在性、多值性是仍未解决的困难课题。
二、病态潮流及其解法
主要是指修正方程的病态。
1、病态方程
一个线性方程组AXb，若右端向量b或系数矩阵A的微小变化就会引起方程组的解发生很大的变化，则称AXb为病态方程组。
方程组的系数矩阵A的条件数CondAAA1刻画了方程组的性态，若CondA1,则称AXb为“病态”
方程组；若CondA相对较小，则称AXb为“良态”方程组。
良态方程组用GAUSS消去法和JACOBI等简单的迭代法就可以得到比较好的计算解，而对于病态方程组，一般的直接法和迭代法会有较大的误差，甚至严重失真。
所以，在解方程组时，有必要先对方程组的性态进行研究，采用相应的算法，才能得到比较精确的计算解。
利用方程组的条件数来判断就是一个很好的办法。
下面的一些直观的现象可作为判别病态矩阵的参考：
（1）在主元消去法的过程中出现小主元，则A有可能是病态矩阵，但病态
矩阵未必一定有这种小主元；
（2）若解方程组时出现很大的解，则A有可能是病态矩阵，但病态矩阵也可能有一个小解；
（3）从矩阵本身来看，若元素间数量级相差很大且无一定规律；或矩阵的某些行（列）近似线性相关，即矩阵的行列式接近于0，这样的矩阵就有可能是病态的。
当然，这些现象只能帮助我们做初步的判断，并且很多病态矩阵也不一定会出现这些现象。
最可靠的判别方法是求出矩阵的条件数。
2、病态潮流方程的求解
（1）最优乘子法
潮流方程解不收敛可能是由于修真方程病态使修正量偏大，造成解的振荡，
为此在第k次修正时采用如下的公式。
x（k1）x（k）ax（4-34）
是标量乘子，应满足
minf（x（k）x（k））2（4-35）
上式表明的值应使第k次修正后潮流方程f（x）0的适配量的平方和为最小
值。
所以叫最优乘子法。
式（4-35）是最小二乘目标函数，展开为
（4-35）取最小值的条件是
x（k））2
nn
（fi（x（k）x（k）））2（fi（x（k））fi'（x（k））
（4-39）
i1i1
n
（fi2（x（k））2fi（x（k））fi'（x（k））x（k）2（f；（x（k））x（k））2）
i1
（4-40）
（4-40）等于0,得
x（k））
n
（fi（x（k））fi'（x（k））
i1
n
（fi'（x（k））x（k））2
i1
（4-41）
如潮流有解，目标函数会逐渐减小为零；如果无解，目标函数会逐渐减小到
一个定值上，越来越小，最后为零，此时得到的解为潮流方程的最小二乘解。
（2）、非线性规划法
解潮流方程是寻求满足f（x）0的x的值。
如果x满足
如果上述非线性规划问题的解使目标函数为0,则非线性规划问题的解就是
潮流方程的解，潮流方程有解；如果上述非线性规划问题的解使目标函数非0,
表明潮流方程无解，非线性规划问题的解是潮流方程的最小二乘解。
式（4-42）非线性规划目标函数取极小值的条件是
上式为n个方程组成的非线性方程组。
n为潮流方程变量数，m为潮流方程数。
可见这种方法不要求潮流方程数与变量数相等。
方程组（4-44）求解计算量太大，实用的是最优乘子法
第五节潮流方程中的二次型
一、二次型函数的泰勒展开
考虑只包含二次项的代数函数为如下形式
（4-45）
22
f（x,y）AxBxyZy
该函数三阶以上的导数为零，其各一、二导数为
fx2AxBy
fy2ZyBx
fxyB
:
“（4-46）
fxx2A
fyxB
fyy2Z
该函数在X。
yo处泰勒展开为
f（xox,yoy）f（xo,y。
）fx（xo,y。
）xfy（xo,y。
）y
122
2（fxx（x°,y。
）x2fxy（x°,y。
）xyfyy（x°,y。
）y）
122
f（xo,yo）fx（xo,yo）xfy（xo,yo）y（2Ax2Bxy2Zy）
2
f（xo,y。
）fx（x°,y°）xfy（xo,yo）yf（x,y）
（4-47）
即二次型函数的泰勒展开二次项部分与原函数有同样的形式，只是变量换成
了变量的增量。
由于三阶以上的导数为零，所以（4-47）是函数的精确表达。
二、潮流方程中的二次型及求解
直角坐标形式的潮流方程为仅包含二次项的非线性代数方程组
Pis
ei
ji
（Gjej
Bijfj）fi（Gjfj
ji
B®）0
（i
1,2,..
.,n1）
Qis
fi
j
（Gijej
i
Bijfj）ei（Gijfj
ji
Bijej）0
（i
1,2,..
.,n-r-1）
（4-48）
Vi"
（e2
fi2）
（in
r,n
r1,.
..,n1）
（4-49）
表示为
yspy（x）
其中ysp为2n1列矢量，是已知量；y（x）为2n1潮流方程的函数矢量；x为
待求变量，是2n1维矢量。
（4-50）
按照二次型函数的特点，将（4-49）在解的初值xo处展开式为
yspy（x。
）Jxy（x）
J是y（x）在x°的雅可比矩阵。
（4-50）是（4-49）的精确表达，没任何近似。
对于潮流方程取平启动电压为初值，由（4-50）解出x并用xX。
x修正可得原方程的解。
但（4-50）也是一个非线性方程组，其形式较原方程一致，所以不是一个可取的解法。
由（4-50）可以得到一个迭代式
x（k1）J1（yspy（xo）y（x（k）））（4-51）
上式中J可保持平启动电压时的值不变，所以是一种定雅可比的算法。
x的初值可取0。
式（4-51）为高斯迭代法，可以使用高斯-赛德尔迭代法改善收敛性。
特点是避免了牛顿法每次迭代需要重新计算雅可比矩阵的问题。
（4-51）能得到可靠稳定解的条件是J非病态，如果J病态可采用最优乘子法。
将（4-51）修改为
x（k1）J1（yspy（x°）y（x（k）））（4-52）
值的选取是使（4-50）两端的偏差量的平方和为最小，先写出偏差量的
表达式
f（
x）
ysp
y（x°）
Jxy（x）
y
spy
（X0）
Jx
y（x）2
a
b
2c
式中
a
ysp
y（x°
）
b
j
x
c
y（
x）
（4-53）
（4-54）
目标函数
12T2
minF（）（abc）（abc）
2
对目标函数取
的的一阶导数，并令其为零，得
23
g0g1g2
g3
0
（4-55）
其中
（4-56）
goaTbg1bTb2aTc
g23bTc
g42cTc
解（4-55）一元三次方程得最优乘子
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