最新版有理数提高题有答案超详细.docx
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最新版有理数提高题有答案超详细
有理数基础训练题
6、已知|a|
b，则a
b
3,|b|
2,|a
b|
a
（
）
7、|x
2|
|x
3|的最小值是（
）。
1
1
，
8、在数轴上，点A、B分别表示
，则线段AB的中点所表示的数是（
）。
42
2010
a
b
p
p2
9、若a,b互为相反数，
m,n互为倒数，P的绝对值为
3，则
mn
（
）。
10、若abc≠0，则|a|
|b|
b
|c|的值是（
）.
a
c
11、下列有规律排列的一列数：
1、3、
4
2
3
5
3
、、、,，其中从左到右第
100
8
5
个数是（
）。
二、解答问题：
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z对应的点到-2对应的点的距离是
z这三个数两两之积的和。
7，求x、y、
3、若2x
4的值恒为常数，求x满足的条件及此时常数的值。
|4
5x|
|1
3x|
b|2010
a|2010
4、若a,b,c为整数，且|a
|c
1，试求|c
a|
|a
b|
|b
c|的值。
能力培训题
A．ab
b
B．ab
b
C．a
b
0
D．a
b
0
拓广训练：
1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在
a
b,b
2a,a
b,b
a
中，负数的个数
有（
A．1
）
a
O
b
B
．2
C
．3
D
．4
2
a
5中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。
3、把满足
2、利用数轴能直观地解释相反数；
例2：
如果数轴上点A到原点的距离为
3，点B到原点的距离为
5，那么A、B两点的距离
为
拓广训练：
1、在数轴上表示数
2、已知数轴上有
。
a的点到原点的距离为
3，则
a
3
.
A与原点O的距离为3，那么所有满
。
A、B两点，A、B之间的距离为
1，点
足条件的点B与原点O的距离之和等于
3、利用数轴比较有理数的大小；
3：
已知a
0,b
0且a
b
0，那
a,b,a,b
例
么有
理数
的大
小关系
是
拓广训练：
。
（用“
”号连接）
1、若m
0,n
0且
m
n，比较
m,n,m
n,m
n,n
m的大小，并用“
”号连
接。
a
5比较a与4的大小
例4：
已知
拓广训练：
1、已知a
3，试讨论
a
与3的大小
2、已知两数a,b，如果a比b大，试判断
a与
b
的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5：
有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子
a
b
ab
b
c
化简结果为
（
）
A．2a
3b
c
B．3bc
C．b
c
．c
b
D
-1
a
O
1
b
c
拓广训练：
a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简
a
b
b
1
a
c
1
c
1、有理数
的结果
为
。
b
a
O
c
1
a
b
a
b
2b，在数轴上给出关于
a,b的四种情况如图所示，则成立的
2、已知
是
。
0
a
b
0
b
④
a
a
b
b
a
0
0
①
②
③
a,b,c在数轴上的对应的位置如下图：
则
c
1a
c
a
b
3、已知有理数
化简后的结
果是（
）
-1
c
O
a
b
A．b
1
．2a
b
1
．1
2a
b
2c
．1
2c
b
B
C
D
三、培优训练
2
2
1
2y
1
0，那以
1、已知是有理数，且
x
x
y的值是（
）
1
2
3
2
1
2
3
2
3
2
A．
B．
C
1或
．
或
D
．
A向左移动
B，再向右移动
）
2、如图，数轴上一动点
2个单位长度到达点
A表示的数为（
Ｄ．2
5个单位长度到达
5
点C．若点
Ａ．7
C表示的数为
Ｂ．3
1，则点
Ｃ．
C
B
3
2
A
0
1
是整数a,b,c,d且d
2a
10，那么数轴的原点应是（
）
A
B
C
D
A．A点
B
．B点
C
．C点
D
．D点
4、数a,b,c,d
a
c与b
d的大
A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么
所对应的点
小关系是（
A．a
）
b
AD
．ac
0
C
B
c
d
．a
c
b
d
bdD．不确定的
B
C
abb
c
a
c
5、不相等的有理数
a,b,c在数轴上对应点分别为
A，B，C，若
，那
么点B（
A．在
）
A、C点右边
B．在A、C点左边
C
．在A、C点之间
D．以上均有可能
y
x
1
x
1，则下面四个结论中正确的是（
6、设
）
．只一个x使
．有无穷多个
A．y没有最小值
C．有限个x（不止一个）使
B
y取最小值
x使y取最小值
y取最小值
D
1
和
3
1，则线段
5
7、在数轴上，点A，B分别表示
AB的中点所表示的数是
。
8、若a
0,b
0，则使
x
a
x
b
a
b成立的
x的取值范围是
。
100
221
95
221
9、x是有理数，则
x
x
的最小值是
。
a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：
10、已知
6a
6b
3c
4d
6,求3a
2d
3b
2a
2b
c
且
的值。
d
b
O
a
c
点A、B在数轴上分别表示实数a,b，A、B两点这间的距离表示为
AB
，当A、B两点中有
AB
OB
b
a
b
A在原点，如图
1，
；当A、B两点都不
一点在原点时，不妨设点
O
（A）
B
O
A
B
在原点时，
o
a
o
b
a
b
AB
OB
OA
b
a
b
ab
①如图2，点
A、B都在原点的右边
；
AB
OB
OA
b
a
b
a
a
b
②如图3，点
A、B都在原点的左边
；
③如图4，点
A、B在原点的两边
AB
OA
OB
a
b
a
B
b
A
a
O
b。
o
A
AB
a
b
b
a
A、B两点之间的距离
综上，数轴上
。
B
O
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是
b
，数轴上表示
o
-2
a
的两点之间的距离
和-5
1和-3的两点之间的距离是
是
，数轴上表示
；
②数轴上表示x和-1
AB
2，那么
x
A
和B之间的距离是
的两点
，如果
为
；
x
1
x
2
取最小值时，相应的x的取值范围是
③当代数式
；
x
1
x
2
x
3
x
1997的最小值。
④求
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式
的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌
握绝对值概念应注意以下几个方面：
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则：
a0
a
aa
a
0
0
0
a
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；
a
b
表示数a、数b的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
a
b
a
b
2
2
2
a
0
③ab
ab
b
0
①
②
a
a
a
④
a
b
a
b
a
b
a
b
⑤
⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
a
5,b
3且
a
b
b
a那么a
b
例1：
已知
。
拓广训练：
2
a1,b
2,c
3,且a
b
c，那么
1、已知
a
b
c
。
a
8,b
5，且a
b0，那么ab的值是（
2、若
）
A．3或13
拓广训练：
B
．13或-13C
．3或-3D．-3
或-13
x
3
x
2的最小值是
a，
x
3
x
2的最大值为b，求
a
b的值。
1、已知
三、培优训练
1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示：
-2
a
-1
0
b
1
a
b,b
2a,b
a,a
b,a2,
b
4
则在
中，负数共有（
）
A．3个
B．1个
C
．4个
D．2个
2、若m是有理数，则
m
m一定是（
）
A．零
B．非负数
C
．正数D．负数
x
2
x
2
0，那么x的取值范围是（
3、如果
）
A．x
2
．x
2
．x2
．x
2
B
C
D
4、a,b是有理数，如果
a
b
a
b，那么对于结论（
1）a一定不是负数；
（2）b可能
是负数，其中（
）
A．只有（
1）正确
B
2）正确
C．
（1）
（2）都正确
D．
（1）
（2）都不正确
．只有（
a
a，则化简
a
1
a
2
5、已知
所得的结果为（
）
A．1
B．1
C．2a
3
D．3
2a
6、已知0a
4，那么
a2
3
a的最大值等于（
）
A．1
B．5
C．8
D．9
a
b
a
b
8、满足
成立的条件是（
）
A．ab
0
B．ab
1
C．ab
0
D．ab1
x
x
5
5
x
2
2
x
x
x
2
x
5，则代数式
9、若
的值为
。
a
a
b
b
ab
ab
10、若ab
0，则
的值等于
。
a
a
b
b
c
c
abc
abc
11、已知a,b,c是非零有理数，且
a
b
c
0,abc
0，求
的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
x0
x
xx
x
0
0，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，
0
我们知道
x
x
1
x
2
x
1
0和x
2
0，分别求得
x
1,x
2（称
如化简代数式
时，可令
1,2分别为x
1与
x
2的零点值）。
在有理数范围内，零点值
x
1和
x
2可将全体
3种情况：
有理数分成不重复且不遗漏的如下
（1）当x
1时，原式=
x
1
x
2
2x
1;
1x
2时，原式=x
1
x
2
3；
（2）当
（3）当x
2时，原式=x
1
x
2
2x
1。
2x3
2x
1
x1
x
1
x
2
综上讨论，原式=
1
2
通过以上阅读，请你解决以下问题：
x
2
x
4
x
2
x
4
（1）
的零点值；
（2）化简代数式
分别求出
和
14、
（1）当x取何值时，
x取何值时，5
x3
x2
（2）当
有最小值？
这个最小值是多少？
x
4
x
5
是多少？
（3）求
的最小值。
（4）求
有最大值？
这个最大值
x
7
x
8
x
9的最小值。
15、某公共汽车运营线路
AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在
AB段上修建
M的路程总
一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求
A，B，C，D四个汽车站到加油站
M在何处选址最好？
和最小，试分析加油站
A
D
C
B
16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
nn
1
n
P，使这
在一条直线上有依次排列的
台机床在工作，我们要设置一个零件供应站
台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
D
A1
甲
A2
乙
A2（P）
乙
A3
A1
甲
P
丙
①
②
2台机床（甲、乙）时
很明显
P设在
如图①，如果直线上有
A1和A2之间的任何地方都行
因为甲和乙分别到P的距离之和等于
A1到A2的距离.
如图②,如果直线上有3台机床（甲、乙、丙
）时，不难判断，
P设在中间一台机床
A2处最合
适，因为如果P放在
A2处，甲和丙分别到
P的距离之和恰好为A1到A3的距离；而如果
P
放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到
P的距离之和仍是
A1到A3的距离，可是乙还得走
从
A2到D近段距离，这是多出来的，因此
P放在A2处是最佳选择。
不难知道，如果直线上
有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；
问题
（1）：
有n机床时，P应设在何处？
有5台机床，P应设在第3台位置。
x
1
x
2
x
3
x
617
问题
（2）根据问题（
1）的结论，求
的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有
很大的不同：
首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代
符号演算。
数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观
察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有
1、利用运算律；
2、以符代数；3、裂项相消；
4、分解
理数的计算常用的技巧与方法有：
相约；5、巧用公式等。
二、知识点反馈
加法交换律
a
b
b
c
b
a
a
b
1、利用运算
律：
加
法运算
律
乘
法
运
算
律
加法结合律
a
c
乘法交换律
a
bc
c
ba
abab
乘法结合律
乘法分配律
ab
ab
c
ac
23
5
2
3
2
3
例1：
计算：
4
2.75
7
2
3
2
3
4.6
2.753
4.6
5.75
1.15
=4.6
4
2.75
7
解：
原式
拓广训练：
2
5
27
11
7
11
5
11
1、计算（
1）
0.6
0.08
0.92
2
31
4
59
11
1
4
1
4
9
4
（2）
3
6
9
24
9
25
例2：
计算：
50
1
25
1
25
50
500
2
498
解：
原式=
10
50
10
50
拓广训练：
1
2
1
3
1
4
1
5
1、计算：
2
3
4
5
2、裂项相消
a
b
1
a
1；
（2）
b
1
n
1
n
1
m
nn
1
n
1
（1）
；（3）
ab
n
1
n
1
m
n
m
2
1n
1
n
1
1n
（4）
nn
2
n
1
n
2
1
12
1
23
1
2
1
34
1
3
1
20092010
1
2009
例3、计算
1
2
1
3
1
4
1
2010
解：
原式=
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
2009
1
2010
=
1
1
2010
2009
2010
=
1
拓广训练：
1
13
1
35
1
57
1
20072009
1、计算：
3、以符代数
7
27
1
17
37
39
12
17
17
27
38
39
例4：
计算：
17
27
11
13
8
5
7
27
1634,27
27
1
17
2624,1137
1076
39
17
解：
分析：
17
39
12
17
17
27
2
38
39
7
27
1
17
37
39
34
27
24
17
76
39
令A=13
8
5
，则17
27
11
16
26
10
2A
原式=2A
A
拓广训练：
1、计算：
1
2
1
3
1
2006
1
2
1
3
1
2005
1
2
1
3
1
2006
1
2
1
3
1
2005
1
1
4、分解相约
2
1
1
2
3
4
9
2
2
4
6
8
18
n2n
n3n
4n
9n
例5：
计算：
2
2
1
1
2
3
4
9
2
2
1
1
2
3
4
9
n1
n1
2
3
4
9
1
1
2
3
4
9
1
1
2
2
n
n
解：
原式=
=
2
1
1
2
3
4
9
64
729
=
三、培优训练
2009
b
a2007
1、a是最大的负整数，
b是绝对值最小的有理数，则
=
。
2008
1
35
0.25
1
57
4
1
79
1=
19971999
2、计算：
（1）
；
1
32
3
4
（2）
8
2
2
6
=
。
1898a2
99b2
3、若a与
b互为相反数，则
=
。
1997ab
1
2
1
4
3
4
1
6
3
6
5
6
1
98
3
98
97
98
4、计算：
=
。
22
23
97,
98
24
25
26
27
28
29
210=
5、计算：
2
。
1997,
1998
1998,
1999
98
99
6、
这
四
个
数
由
小
到
大
的
排
列
顺
序
是
。
7、计算：
3.14
31.4
．628
4
8
628
0.686
68.6
6.86=（
）
A．3140
B
3
6
C
14
．1000
D
．1200
12
15
30
8、
等于（
）
2
4
28
1
2
3
1
4
1
4
4
8
C
1
2
A．
B
D．
．
C
．
5
6
2.5
2
4
9、计算：
=（
）
29
．10
3
1
4.5
20
9
5
2
40
9
A．
B
D
．
．
22
23
22008
22
23
22008
10、为了求1
S＝
1
，则2S＝
的值，可令
22
23
24
22009
2009
，因此2S-S＝2
22
23
22008＝22009
1，所以1
1
52
53
52009的值是（
仿照以上推理计算出
1
）
2009
5
4
1
52010
4
2009
2010
1
A、5
1
B、5
1
C、
D、
11、
a1,a2,a3,
a2004都是正数，如果
M
a1
a2
a2003
a2
a3
a2004
，
N
a1
a2
a2004
a2
a3
a2003
M,N的大小关系是（
，那么
）
A．M
N
B．M
N
C．M
N
D．不确定
b
1,a
b,a的形式，又可表示为
b
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为
0,,的形式，
a
求a1999b2000的值
13、计算
（1）5.7
0.00036
0.19
0.006
5700
0.000000164
2
1
3
3
4
13
1
32
4
3
4
（2）
0.25
8
6.5
2
6
x的绝对值等于
14、已知m,n互为相反数，
a,b互为负倒数，
3，
2003
的值
x3
x2
x2001
1
m
n
ab
m
n
ab
求
ab
2
a2
0
15
、
已
知
，
求
、
1
ab
1
a1b
1
2b
1
2006b
的值
1
a
2
a
2006
16、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以
n层．将图
1
1拼成图2
1）
．
下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了
倒置后与原图
的形状，
n（n
2
这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为
1
2
3
n
第1层
第2层
,
第n层
图2
图3
图4
3的方式填上一串
；
（2）我们
图１
如果图1中的圆圈共有
12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图
连续的正整数1，2，3，4，
，则最底层最左边这个圆圈中的数是
23，
22，
21，
4的方式填上一串连
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