数学建模第三次作业.docx
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数学建模第三次作业
院系：
数学学院
专业：
信息与计算科学
年级：
2014级
学生姓名：
王继禹
学号：
201401050335
教师姓名：
徐霞
6.6习题
3.一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者，计算并画出狗的轨迹。
解：
（1）模型分析建立:
狗的轨迹：
在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。
假设1：
慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X（t）和Y（t）描述。
假设2：
当t=0时，狗是在点（x0,y0）处，在时刻t时，它的位置是（x（t）,y（t））
那么下列方程成立：
（1）狗以恒定速率跑:
X’2+y’2=w2
（2）狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：
将上述方程带入等式：
可得：
再将λ代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：
（2）程序及结果
dog函数
[dog.m]
function[zs,isterminal,direction]=dog（t,z,flag）
globalw;%w=speedofthedog
X=jogger（t）;
h=X-z;
nh=norm（h）;
ifnargin<3||isempty（flag）
zs=（w/nh）*h;
else
switch（flag）
case'events'
zs=nh-1e-3;
isterminal=1;
direction=0;
otherwise
error（['Unknowflag:
'flag]）;
end
end
慢跑者的运动轨迹方程，水平向右
[jogger.m]
functions=jogger（t）;
s=[8*t;0];
标记的函数
[cross.m]
functioncross（Cx,Cy,v）
Kx=[CxCxCxCx-vCx+v];
Ky=[CyCy+2.5*vCy+1.5*vCy+1.5*vCy+1.5*v]
plot（Kx,Ky）;
plot（Cx,Cy,'o'）;
主程序：
静态显示
[main1.m]
globalw
y0=[60;70];
w=10;
options=odeset（'RelTol',1e-5,'Events','on'）;
[t,Y]=ode23（'dog',[0,20],y0,options）;
clf;holdon;
axis（[-10,100,-10,70]）;
plot（Y（:
1）,Y（:
2））;
J=[];
forh=1:
length（t）,
w=jogger（t（h））;
J=[J;w'];
end
plot（J（:
1）,J（:
2）,':
'）;
p=max（size（Y））;
cross（Y（p,1）,Y（p,2）,2）
holdoff;
动态显示
[main2.m]
globalw;
y0=[60;70];
w=10;
options=odeset（'RelTol',1e-5,'Events','on'）;
[t,Y]=ode23（'dog',[0,20],y0,options）;J=[];
forh=1:
length（t）;
w=jogger（t（h））;
J=[J;w'];
end
xmin=min（min（Y（:
1））,min（J（:
1）））;
xmax=max（max（Y（:
1））,max（J（:
1）））;
ymin=min（min（Y（:
2））,min（J（:
2）））;
ymax=max（max（Y（:
2））,max（J（:
2）））;
clf;holdon;
axis（[xmin-10xmaxymin-10ymax]）;
title（'ThejoggerandtheDog'）;
forh=1:
length（t）-1,
plot（[Y（h,1）,Y（h+1,1）],[Y（h,2）,Y（h+1,2）],'-','Color','red','EraseMode','none'）;plot（[J（h,1）,J（h+1,1）],[J（h,2）,J（h+1,2）],'-','Color','green','EraseMode','none'）;
drawnow;
pause（0.1）;
end
plot（J（:
1）,J（:
2）,':
'）;
p=max（size（Y））;
cross（Y（p,1）,Y（p,2）,2）
holdoff;
结果
t=12.2761812635281，在12.27秒后狗追上慢跑者。
慢跑者轨迹是椭圆轨迹
[jogger2.m]
functions=jogger2（t）
s=[10+20*cos（t）20+15*sin（t）];
狗的微分方程
[dog.m]
function[zs,isterminal,direction]=dog（t,z,flag）
globalw;%w=speedofthedog
X=jogger2（t）;
h=X-z;
nh=norm（h）;
ifnargin<3||isempty（flag）
zs=（w/nh）*h;
else
switch（flag）
case'events'
zs=nh-1e-3;
isterminal=1;
direction=0;
otherwise
error（['Unknowflag:
'flag]）;
end
end
主程序
[main3.m]
globalw;
y0=[60;70];
w=10;
options=odeset（'RelTol',1e-5,'Events','on'）;
[t,Y]=ode23（'dog',[0,20],y0,options）;J=[];
forh=1:
length（t）;
w=jogger2（t（h））;
J=[J;w'];
end
xmin=min（min（Y（:
1））,min（J（:
1）））;
xmax=max（max（Y（:
1））,max（J（:
1）））;
ymin=min（min（Y（:
2））,min（J（:
2）））;
ymax=max（max（Y（:
2））,max（J（:
2）））;
clf;holdon;
axis（[xmin-10xmaxymin-10ymax]）;
title（'ThejoggerandtheDog'）;
forh=1:
length（t）-1,
plot（[Y（h,1）,Y（h+1,1）],[Y（h,2）,Y（h+1,2）],'-','Color','red','EraseMode','none'）;plot（[J（h,1）,J（h+1,1）],[J（h,2）,J（h+1,2）],'-','Color','green','EraseMode','none'）;
drawnow;
pause（0.1）;
end
plot（J（:
1）,J（:
2）,':
'）;
p=max（size（Y））;
cross（Y（p,1）,Y（p,2）,2）
holdoff;
结果取w=25有
t=4.017776368842910，经过4秒左右狗追上慢跑者。
8.平面上有n（n>=2）个圆，任何两个圆都相交但无3个圆共点。
试问n个圆把平面划分成多少个不连通的区域？
解：
∵一个圆将平面分为2份
两个圆相交将平面分为4=2+2份，
三个圆相交将平面分为8=2+2+4份，
四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）=2+（n-1）n=n2-n+2
证明：
（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1+2=2，命题成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个区域．
当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，
共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2个区域．
∴n=k+1时，命题也成立．
由
（1）、
（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．
9.某人有
元钱，他每天买一次物品，每次买物品的品种很单调，或者买一元钱的甲物品，或者买二元钱的乙物品，问他花完这
元钱有多少不同的方式？
解：
设an表示花完这n元钱的方案种数，
若n=1，则只能买甲，有一种方法，故a1=1，
若n=2，则可以买2个甲，或者1个乙或1个丙，即a2=3，
当n≥3时，花钱的方式由购买甲和购买乙购买丙的种数之和构成，
即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2
则当n≥3时，an+an-1=2（an-1+an-2），
即{an+1+an}是公比q=2的等比数列，首项为a2+a1=1+3=4，
则an+1+an=4•2n-1=2n+1，
∴an+an-1=2n，
两式相减得an+1-an-1=2n+1-2=2，（n≥2），
若n是奇数，an=2n-1+2n-3+…+22+a1=（2n+1-1）/3
若n是偶数，an=2n-1+2n-3+…+23+a2=（2n+1+1）/3．
7.6习题
1.在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度
和压力
下的导热系数
。
下面是实验得到的一组数据：
/
68
68
87
87
106
106
140
140
/
KPa
9.7981
13.324
9.0078
13.355
9.7918
14.277
9.6563
12.463
K
0.0848
0.0897
0.0762
0.0807
0.0696
0.0753
0.0611
0.0651
试求
=99
和
=10.3x
KPa下的K。
解：
找出温度T相等时，导热系数K与压力P的关系。
由于在不同温度时，仅给出两个K、P的值，因此采用线性近似，把K、P看作是线性关系。
建立M文件：
functiony=y_lagr1（x0,y0,x）
n=length（x0）;m=length（x）;
fori=1:
m
z=x（i）;
s=0.0;
fork=1:
n
p=1.0;
forj=1:
n
ifj~=k
p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
end
s=p*y0（k）+s;
end
y（i）=s;
end
主程序：
p1=[9.7981,13.324];k1=[0.0848,0.0897];%T=68℃
p2=[9.0078,13.355];k2=[0.0762,0.0807];%T=87℃
p3=[9.7918,14.277];k3=[0.0696,0.0753];%T=106℃
p4=[9.6563,12.463];k4=[0.0611,0.0651];%T=140℃
a2=polyfit（p2,k2,1）;a3=polyfit（p3,k3,1）;
x1=polyval（a2,10.3）;x2=polyval（a3,10.3）;
%x1，x2分别是P=10.3*10^3kPa下87℃和106℃的K值
plot（10.3,x1,'k+',10.3,x2,'k+',p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4）
xlabel（'丙烷压力P'）
ylabel（'丙烷导热系数K'）
title（'在不同温度下丙烷导热系数与压力的关系图'）
gtext（'T=68℃'）,gtext（'T=87℃'）,gtext（'T=106℃'）,gtext（'T=140℃'）
运行后图中所标点为P=10.3*10^3kPa时，T=87℃和T=106℃对应的导热系数K值。
在T=87℃和T=106℃之间仍采用线性近似来求T=99℃时的导热系数K。
程序如下：
x=[87,106];
y=[x1,x2];
a=polyfit（x,y,1）;
z=polyval（a,99）
z=0.0729
plot（99,z,'k+',x,y）
grid
xlabel（'丙烷温度T'）
ylabel（'丙烷导热系数K'）
title（'压力P=10.3*10^3kPa时丙烷导热系数与温度的关系'）
运行结果:
T=99℃、P=10.3*10^3KPa时K=0.0729。
4.用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为v（t）=V-（V-V0）
其中v0是电容器的初始电压，
是充电常数。
试由下面一组t，v数据确定V0和
。
t/s
0.5
1
2
3
4
5
7
9
V/伏
6.36
6.48
7.26
8.22
8.66
8.99
9.34
9.63
解：
建立M文件
functionf=dianya（x,t）
f=10-（10-x
（1））*exp（-t/x
（2））
%x
（1）=V0；x
（2）=τ
主程序：
t=[0.51234579];
V=[6.366.487.268.228.668.999.439.63];
x0=[0.2,0.05];
x=lsqcurvefit（'dianya',x0,t,V）%x
（1）代表V0，x
（2）代表τ
f=dianya（x,t）
结果
x=5.55773.5002,即初始电压v0=5.5577，充电常数为τ=3.5002．
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