广义切比雪夫滤波器的标准综合技术.docx
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广义切比雪夫滤波器的标准综合技术
广义切比雪夫滤波器的标准综合技术
滤波器的设计方法有很多种，现代滤波器设计多采用网络综合法。
图1给出了网络综合法设计滤波器的流程图，网络综合法以网络的衰减以及相移函数为基础，利用网络综合理论，先求出集总元件低通原型电路（再由频率变换函数，可变换为带通滤波器电路），然后将集总元件原型电路中的各元件用微波结构来实现，本文介绍的是滤波函数选择广义切比雪夫滤波函数的网络综合法。
图1：
网络综合法设计滤波器流程图
所谓分析（Analysis）就是由具体的电路结构求出其结果的过程，所谓综合（Synthesis）就是由结果反推至电路结构的过程。
工程上滤波器都是要根据客户给的指标来设计的，所谓的指标主要是指衰减指标（Attenuation）。
所以在设计滤波器的过程中，往往需要先根据指标确定结果（通常指的是S参数的模值），然后根据所求得的满足指标的S参数结果确定电路结构，此过程称为滤波器的综合。
对于广义切比雪夫滤波器，其滤波函数使用的是广义切比雪夫滤波函数（GeneralizedChebyshevFilteringFunction），一般可以通过改变滤波器的阶数N以及传输零点（TransmissionZero，Tz）的位置来使得滤波器的响应满足指标，也就是说广义切比雪夫滤波器的阶数与传输零点确定了，其响应也就确定了。
如何由指标确定阶数与传输零点，现在通常使用手工确定然后在优化调整的方法，工程上一般在客户给出的指标的基础上加5dB的余量，然后通过改变阶数与传输零点的数量和位置来使得滤波器的响应（即S参数）满足加有余量之后的指标，最后再由该响应综合得出微波电路的物理参数。
在滤波器综合的过程中主要分为三步：
由指标综合出阶数与传输零点的数量、位置（手工加优化确定,此时确定的是归一化低通原型频率的传输零点位置）；由阶数与传输零点的数量、位置综合出S参数（特征多项式的综合）；
最后由特征多项式综合出耦合矩阵（耦合矩阵的综合）；最后由耦合矩阵综合出具体的滤波器物理参数。
耦合矩阵的综合过程需要使用导纳参数Y作为桥梁，即使用电路模型得出一个导纳参数Y，再根据所得到的特征多项式（S参数）得到另一个导纳参数Y，最后令两者相等得出耦合矩阵，这样就求得了具有所需要响应的电路模型，然后再根据电路模型指导设计实际滤波器结构。
滤波器综合过程中最重要的一步就是耦合矩阵的综合，虽然耦合矩阵是由电路模型得出来的，但是它可以和实际的微波结构一一对应上，耦合矩阵有助于快速设计以及调试滤波器。
一、滤波器的特征多项式
滤波器是一个无耗的互易的二端口网络，其必满足无耗互易二端口网络具有的特性。
在信号与系统中，通常使用的是复频变量σω，这样做更具有普遍性。
虽然我们习惯使用复频变量s，但是在实际中我们看到的往往是
ω，ω在∞∞之间变化。
对于一个负载终端网络（图2），其内部
含有电感、电容两种器件，那么策动点函数输入阻抗将可以表示为两个关于s的多项式之比的形式：
z（s）=n（s）/d（s），对于S参数我们知道S11表示的是端口1的反射系数，通过传输线理论可知，反射系数与输入阻抗有如下关系:
于是，S11也可以表示成为两个多项式之比的形式。
根据能量守恒公式
S11（s）S11（s）*S21（s）S21（s）*1
可得:
E（s）E（s）*F（s）F（s）*P（s）P（s）
此时得到了滤波器的三个特征多项式E、F、P，确定任意两个可以通过能量守恒公式确定第三个。
确定了这三个特征多项式，S参数也就确定下来了。
需要注意的是，为保证网络可以实现，E（s）必须为严格的赫尔维茨（Huruitz）多项式，其根必须分布在s的左半开平面内。
图2：
负载终端滤波网络
对于广义切比雪夫滤波器，我们定义：
F（s）/RP（s）/
S11（s）RS21（s）
11E（s），21E（s）
由能量守恒：
P（s）P（s）*/2E（s）E（s）*F（s）F（s）*/R2
R与用于归一化F、P，是实常数。
用于归一化滤波器通带内的最大幅值，可以在特定的s下由P/E计算得出。
R用于归一化多项式F、E使其为首1多项式（最高次项系数为1）。
通常特征多项式可写成由根组成的因式相连乘确定的多项式，如此构成的多项式满足此条件，当nfz小于N的时候，由S11（s）S11（s）*S21（s）S21（s）*1可以得出在s趋于无穷的时候（假设F、E是首1多项式）R1。
当nfz等于N的时候，同样可得在s趋于无穷的时候（假设F、E、P是首1多项式），R/2-11。
由于无源滤波网络无耗，E应为N阶（相同于滤波器阶数）严格的赫尔维茨多项式（由无源滤波网络决定的），其复系数为e0、e1、...、eN，F为N阶多项式，其复系数为f0、f1、...、fN，P为nfz阶多项式，nfz小于等于N，否侧当频率趋于无穷的时候S21趋于无穷，这是不可能的。
多项式根的个数等于其阶数，对于广义切比雪夫滤波器而言，F的N个根（S11=0）全落在虚轴上（这是由广义切比雪夫函数决定的），表示的是传输极点；P的nfz个根（S21=0）必须落在虚轴上或者是关于虚轴成对出现（这是由无耗互易网络决定的），表示的是传输零点。
传输零点定义为S21=0的点，分为两类：
1.无穷远的：
由于P的阶数比E的阶数少而产生的传输零点，由于P为nfz阶多项式E为N阶多项式，当sj的时候，S21=0，此时处有N-nfz个传输零
点。
（不可见）
2.有限位置的：
1）P关于虚轴对称的一对复零点或位于实轴上的一对零点。
（不可见）
2）P位于虚轴上的传输零点。
（可见）
广义切比雪夫滤波器相对于传统切比雪夫滤波器而言最大的优势在于其引入了有限位置传输零点，切比雪夫滤波器无论广义还是传统都有N个传输零点，传统切比雪夫滤波器的P=1，nfz=0，具有N个无穷远的传输零点，而广义切比雪夫滤波器引入有限位置处的传输零点，无论是关于中心频率对称还是非对称分布，是位于虚轴上还是关于虚轴成对出现，图3展示了广义切比雪夫滤波器有限传输零点的可能分布状况（虚轴上的有限位置传输零点有助于提高带外抑制，实轴上的或是复数的关于虚轴对称的传输零点有助于改善群时延）。
图3：
有限位置传输零点的可能分布状况
下面推导满足无耗互易条件的二端口滤波网络其特征多项式应满足什么条件。
二端口网络的S参数定义如下（a、b是归一化的入射、反射电压波）：
b1S11S12a1
b2S21S22a2
对于无耗网络，S参数满足幺正性，能量守恒方程：
S11（s）S11（s）*S21（s）S21（s）*1
S22（s）S22（s）*S12（s）S12（s）*1
以及唯一正交方程：
S11（s）S12（s）*S21（s）S22（s）*0
对于互易网络S12=S21，因此有：
S11（s）S11（s）*S21（s）S21（s）*1
S22（s）S22（s）S21（s）S21（s）1
S11（s）S21（s）*S21（s）S22（s）*0
S参数写成幅度相位的形式（S11S11ej11,S21S21ej21,S22S22ej22），
22
由能量守恒公式可得到S11S22，S112S2121，由唯一正交公式可得到：
S11ej11S21ej21S21ej21S11ej220
S11S21ej1121ej21220
即：
由于S参数可写成特征多项式之比的形式：
S11（s）
F11（s）/R（）P（s）/
S21（s）
E（s），21E（s）
并且它们都拥有共同是分母E（s），将E（s）的相位设为d（s），F11（s）、F22（s）的相位设为n11（s）、n22（s），P（s）的相位设为n21（s），有：
21（s）n21（s）d（s），11（s）n11（s）d（s），22（s）n22（s）d（s）
此时有：
不管s如何变化，特征多项式的相角必须满足上式，这就有了限制条件：
1.对于频率由负无穷变化至正无穷的过程中（s在虚轴任意位置），要求n21（s）的相角为2/整数倍，故P的零点要么位于虚轴上，要么关于虚轴对称成对出现。
2.对于频率由负无穷变化至正无穷的过程中，[n11（s）n22（s）]/2的相角为
2/整数倍，故F11（s）的零点与F22（s）的零点关于虚轴对称分布。
由限制条件2可得F11（s）与F22（s）根的关系：
s22is11i
NN
而F22（s）ss22i，F11（s）ss11i，可得（sj）：
i1i1
NNN*
*N*N*F22（s）ss22iss1*1i
（1）Nss11i
（1）NF11（s）*
i1i1i1
图4：
无耗互易网络的特征多项式相角限制条件
当N为奇数的时候，可得：
n22（s）n11（s）N
由公式：
n21（s）n11（s）2n22（s）2（2k1）
N
此时n21（s）满足公式：
n21（s）22（2k1）
由于S21的有限传输零点个数为nfz，而且这些零点要么位于虚轴上，要么关于虚轴对称成对出现。
故n21（s）满足公式：
nfz
n21（s）fz2k1
由上述两个公式可得：
nfzN
fzk1（2k1）
2122
Nnfz2k12（2k1）
不难发现，当N-nfz为奇数的时候上式左边与右侧相同，但是当N-nfz为偶数的时候，为了满足无耗互易网络的特征多项式相角限制条件，n21（s）必须
加上2/，等同于此时P要乘以j（在由根的因式连乘表示出之后乘以j）。
N为偶数的时候可得出相同的结论。
二、广义切比雪夫滤波器特征多项式的综合广义切比雪夫滤波器特征多项式的综合指的是根据广义切比雪夫滤波器的
阶数N以及传输零点的位置（数量为N）确定特征多项式E、P、F的过程。
先由阶数N以及传输零点个数及位置确定P（）n，再由广义切比雪n1
夫滤波函数确定F，最后由能量守恒定律确定E。
应注意：
在进行特征多项式综合的过程中，我们往往是先得出这几个多项式的根，再由这些根来构造多项式的，故三个特征多项式可写成如下的形式（它们都是首1多项式）：
P（s）ssp,1ssp,2ssp,Nz,1或j
F（s）ssf,1ssf,2ssf,N
E（s）sse,1sse,2sse,N
前文知滤波器的S参数可表示为多项式之比的形式：
假设多项式都为首1多项式，定义滤波函数：
滤波函数是广义切比雪夫函数的滤波器称为广义切比雪夫函数滤波器。
广义切比雪夫函数定义为：
其中，n是传输零点的位置，若N个传输零点都在无穷远处，xn（），此时广义切比雪夫滤波函数退化为切比雪夫滤波函数：
归纳特征多项式的综合步骤如下：
1
xx（ee）
2
第二步：
由CN（）F（），CN（）coshcosh1xn（）求出
P（）n1
第三步：
求出P、F、R、后由能量守恒：
P（s）P（s）*/2E（s）E（s）*F（s）F（s）*/R2确定E的根（取左半开平面内的）。
现简要介绍第二步，根据恒等式：
cosh1xln（xx21），coshx
化简广义切比雪夫函数CN（）：
取an
xn（）、bnxn2（）12，得an2bn21，有：
N
N
cndn
1
1
112
n1
n1
n
n
N
N
1
1
cndn
12
n1
n1
n
n
UN（）VN（）
GN（）
GN（）
UN（）VN（）
1
NumCN（）21GN（）GN（）
采用是否含有纯的变量来定义UN（）、VN（）：
UN（）u0u1u22uNN
2N
VN（）v0v1v22vNN
然后进行递归计算，先由1计算G1（），由G1（）分离变量、得出
U1（）、V1（）再由1、2、...、n依次递归计算出G1（）、G2（）、...、GN（）从而计算出U1（）、U2（）、...、UN（）以及V1（）、V2（）、...、VN（）此过程可交由计算机处理（1999，参考文献1），注意：
2变量是纯的变量。
最终：
NumCN（）12GN（）GN（）12UN（）UN（）VN（）VN（）UN（）
可得：
特征多项式F的根与UN（）的根相同，然后由这些根可构造出特征多项式F（我们构建特征多项式的时候都是根据根来确定的，这样做可以使得特征多项式为首1多项式）。
应注意此时综合出来的S参数是低通原型频率的S参数，其中心频率为0，起始频率（startfrequency）与终止频率（stopfrequency）分别为-1与+1。
这是因为我们在进行特征多项式综合的时候最先得到的零点位置（也就是P的根，是得出P的关键）是使用低通原型频率表示的，将来还需要进行频率变换得出实际的带通滤波器的S参数响应。
使用低通原型频率表示的S参数更具有普适性（适用于任何中心频率及带宽的带通滤波器）。
在综合有限Q值滤波器的传输、反射响应的时候，sj不再是仅在虚轴上变化了，而是应该引入一个正实因子使得sj。
此时当频率由负
无穷变化至正无穷的时候，s不再位于虚轴上了。
这样导致的结果是使得S参数波形的拐角由尖锐变得圆滑，特别是在边带下降快速的地方尤为明显。
由于有限Q值的影响，可能会使得边频处的带内插入损耗过大，从而满足不了指标，工程上解决的办法是适当的拓展带宽（特别是在实零点个数多、离通带近的那一侧）。
图5：
有限Q值对S参数带来的影响
f01
B0WQ（的计算公式，Qu为无载Q值，f0为带通滤波器中心频率，BW为绝对带宽）
三、广义切比雪夫滤波器耦合矩阵的综合
耦合矩阵的重要性在于它是连接理想LC滤波电路模型与实际微波滤波结构的桥梁，具有明显的物理意义（理想LC滤波电路之所以无法运用在微波频段主要是由于在微波频段无法找出集总的电容电感）。
耦合矩阵可以直接与微波滤波器（无论是同轴、微带还是波导等结构的滤波器）的物理结构一一对用上（如图6），可以指导我们设计调试滤波器。
由第二节广义切比雪夫滤波器特征多项式所求得的S参数是关于低通原型频率的，需要频率变化至带通。
公式如下：
其中012为带通滤波器的中心频率（注意：
中心频率不是在通带的正中间，在带宽宽的时候偏离正中间更明显），1为起始频率，2为终止频
率，B为起始频率。
将上节求出的S参数中的s使用上式代替就可的得出实际的带通S参数。
低通原型频率到带通频率的转换公式为：
此公式亦可将低通原型频率的零点位置（可见的虚轴上的P、F的根）转换至实际频率处
下面先介绍综合N阶耦合矩阵的步骤（1999，参考文献1），然后介绍现在工程上常用的耦合矩阵综合的步骤（2003，参考文献2），图7展现了由特征多项式综合N+2阶耦合矩阵的过程（N阶耦合矩阵类似）。
N阶耦合矩阵（仅存在交叉耦合）最多可产生N-2个有限位置传输零点，N+2阶耦合矩阵（还存在源/负载耦合）最多可产生N个有限位置传输零点（有限位置传输零点的最大个数）。
图6：
N+2阶耦合矩阵与波导滤波器物理结构的对应关系
图7：
N+2阶耦合矩阵的综合过程
下面介绍N阶与N+2阶耦合矩阵综合通用第一步：
由特征多项式得出Y参数。
这里要使用ABCD矩阵作为桥梁，先通过S参数得出对应的ABCD参数再由ABCD参数确定与其对应的Y参数。
若二口滤波网络（图1）端接未归一化的电阻，则其ABCD矩阵可表示为：
如果端接电阻归一化：
[ABCD]jP（s1）/CA（（ss））BD（（ss））
接下来要确立A（s）、B（s）、C（s）、D（s）与特征多项式的关系，需要区分奇偶阶因为在N为奇数或偶数的时候A（s）、B（s）、C（s）、D（s）的系数的虚实性（指的是常数项是纯虚数还是纯实数）不一样。
N为偶数的时候：
2NA（s）jIme0f0Ree1f1sjIme2f2s2jImeNfNsN
2NB（s）Ree0f0jIme1f1sRee2f2s2ReeNfNsN
C（s）Ree0f0jIme1f1sRee2f2s2ReeNfNsN
N为奇数的时候：
A（s）Ree0f0jIme1f1sRee2f2s2jImeNfNsN
B（s）jIme0f0Ree1f1sjIme2f2s2ReeNfNsN
2N
C（s）jIme0f0Ree1f1sjIme2f2s2ReeNfNsN
D（s）Ree0f0jIme1f1sRee2f2s2jImeNfNsN
ei与fi为特征多项式E、F/R的复系数。
这些多项式不但满足前文给出的二口滤波网络的S矩阵与ABCD矩阵的关系还满足第一节推导出的无耗互易网络的关系。
该二端口滤波网络的Y参数可表示为：
D（s）
ABCDP（s）
y11（s）
y12（s）
1
y11n（s）
y12n（s）
1
y21（s）
y22（s）
yd（s）
y21n（s）
y22n（s）
B（s）
P（s）
A（s）
对于互易网络ABCD矩阵行列式为1，最终得出二端口的Y参数与特征多项式的关系：
yd（s）
B（s）
y11n（s）
D（s）
y22n（s）
A（s）
y21n（s）
y12n（s）P（s）
可以发现二口滤波网络的四个Y参数也都可以写成多项式的形式。
至此，耦合矩阵综合第一步结束，无论是N阶矩阵还是N+2阶矩阵以上第一步都是相同的。
接下来是根据电路结构再一次确定Y矩阵，然后令其第一步得出的Y矩阵相等即可得出初始的耦合矩阵，初始的N阶耦合矩阵几乎所有地方的值都非零，初始的N+2阶矩阵给出了全规范形式的耦合矩阵（谐振腔间无耦合，源/负载与任意谐振腔间都存在耦合，源与负载直接耦合）。
N阶耦合矩阵综合第二步：
由全耦合电路模型求得对应的Y矩阵。
图7给出了串联形式的全耦合低通原型电路模型，并联形式与串联形式是对偶的，它们的结果是相同的。
我们通过图8所示的电路，运用基尔霍夫环路定律来求得n个环路电压与电流的关系，通过最外围的（输入端与输出端）电压电流关系可以得出该网络的Y参数（Y参数定义为端口电流与电压的关系）。
图8：
全耦合低通原型滤波器模型及其内部N阶电路（串联形式）
图8所示的内部电路中可以使用两条归一准则：
可以使得N个L/C全为1，
然后使得N-1个变换器的值不为1，也可以使得N-1个变换器的值为1，N个L/C不为1，这两种方法导致的电气性能都是一样的。
在耦合矩阵的综合过程中我们一般取N个L/C全为1，然后使得N-1个变换器的值不为1。
由基尔霍夫环路定律（环路电压降为0）：
其中：
RS0...
0
s0..
0
00
0s
，[sI]
0
s0
0...
0RL
0..
0s
[R]
jM1,N
jM1,N1
jM12
jB2
jB1jM12
[jM]
[M]是N阶耦合矩阵。
其中Bi=Mii指的是FIR（阻抗不随频率变化的元件），FIR元件导致不对称响应，导致特征多项式的系数为复数而不是实数（同步调谐，对称响应的特征多项式的系数为实数），仅在频率变换至带通或带阻滤波器的时候才可以通过改变各个谐振腔的各自的谐振频率来实现。
Mij指的是腔间耦合，这里指的是不同网络节点之间的耦合值。
通常Rs和RL不为1.则需要使用在源与负载处分别加入阻抗值为RS与RL
的阻抗变换器（电压源阻抗为0，电流源阻抗无穷大）类似于变压器实现的阻抗变换，此时终端阻抗转化为终端导纳。
图7：
全耦合N+2阶低通原型滤波器模型（并联形式）
仅取Y矩阵四个角的元素，得出二口网络输入输出电压电流的关系（二口网络的Y矩阵）：
y1Nv1，此式即为通过电路模型得出的
yNNvN
N阶耦合矩阵综合第三步：
令使用耦合矩阵求出的特征多项式求得的Y矩阵相等求出耦合矩阵。
由特征多项式得出的Y矩阵：
yd（s）B（s）y11n（s）D（s）y22n（s）A（s）y21n（s）y12n（s）
由电路模型得出的Y矩阵：
TΛ于是：
y21（s）y22（s）
由于耦合矩阵是实对称矩阵，可以酉对角分解为：
MTΛTt，T为正交矩阵（N行为M的N个正交的特征向量），Λ为对角矩阵（对角线上为M的N个特征值）。
我们只利用y12与y22（使用其他两个也有相同效果）：
11
y21jTΛTI1N，y22jTΛTINN
上式可以发现，如果耦合矩阵的特征值特征向量不变则其进行相似变换的时前后响应不变，这给耦合矩阵的化简带来了思路。
上式右边可化为:
TtIijTikTjk,i,j1,N
ijk1k
y21n（s）jT1kTNk
j
yd（s）k1k
y22n（s）jTNk
j
yd（s）k1k
而上述两个Y参数可表示成为多项式的形式，运用部分分式展开法对上述两个多项式进行展开（
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