Koch雪花曲线.docx

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Koch雪花曲线

例1Koch雪花可由一个正三角形生成，即将正三角形的每一边三等分后将中间一段向外凸起成一个以该段长度为边长的正三角形（去掉底边），然后对每一段直线又再重复上述过程，这样无休止地重复下去即得Koch雪花（因大自然雪花大多为六角形而得名）。

如图1所示。

图1

试用极限知识说明Koch雪花曲线周长无限而它所围成的平面图形面积有限。

解

设正三角形的边长为

，如图2所示，则其周长为

，面积为

。

按科赫方法第一次生成的六角形如图3所示，每一条边生成

图2图3

四条新边，新边长为原来的

，同时生成的三个新正三角形，每个新正三角形与原正三角形相似，且相似比是

，故每个新正三角形面积为原正三角形面积的

，所以六角形周长为

，面积为

。

为求通项

的表达式，我们先看一条边的变化情况。

如图4所示。

图4

注意到：

（1）每一条边生成四条新边，且边长缩短率为

；

（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，且面积缩小率为

，得到，

，

，…，

，

，

。

所以

，

。

由上结论可知，对同一国家的国境线，测量时划分得越细，则测出的国境线越长，如果分得无限细，那么测出的国境线的长度为无穷大，但国土面积是一定值。

Koch曲线是由瑞典数学家HelgevonKoch最先于1904年提出来的。

Koch曲线属于数学上的分形几何问题，是最早提出的分形图形之一。

我们仔细观察一下这条特别的曲线。

它有一个很强的特点：

你可以把它分成若干部分，每一个部分都和原来一样（只是大小不同）。

这样的图形叫做“自相似”图形（self-similar），它是分形图形（fractal）最主要的特征。

自相似往往都和递归、无穷之类的东西联系在一起。

比如，自相似图形往往是用递归法构造出来的，可以无限地分解下去。

一条Koch曲线中包含有无数大小不同的Koch曲线。

你可以对这条曲线的尖端部分不断放大，但你所看到的始终和最开始一样。

它的复杂性不随尺度减小而消失。

另外值得一提的是，这条曲线是一条连续的，但处处不光滑的曲线。

曲线上的任何一个点都是尖点。

分形图形是一门艺术。

把不同大小的Koch雪花拼接起来可以得到很多美丽的图形。

下面这些图片（图5）或许会让你眼前一亮。

图5