y兰X2
*y兰X3
x2+x3兰y十1x1,x2,x3,y均为0-1变量
5.3某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1表5-1
仪器装置代号
体积
重量
实验中的价值
A
V1
w
C1
A
V2
w
C2
A
V3
W3
C3
A
V4
w
C4
A
V5
w
C5
A
V6
w
C6
要求：
（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V,总质量不超过W
（2）A与A中最多安装一件；（3）A与A中至少安装一件；（4）A同A或者都安上，或者都不安。
总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。
试建立这个问题的数学模型。
解：
6
maxz八cjxj
j仝
$6
ZVjXj兰V
jm
6
ZWjXjEW
u
«為+x3兰1
x2+x4畠1
X5=X6
1，安装Aj仪器
Xi=」
、0，否则
5.4某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。
若10个井位的代号为S1,S2,…S10,相应的钻探费用为C1,C2,…,C10,并且井位选择上要满足下列限制条件：
（1）
（2）
（3）
或选择S1和S7,或选择钻探S8；选择了S3或S4就不能选择S5,或反过来也一样；在S5,S6,S7,S8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
解:
10
minz_7cjxj
j=
10
二Xj=5
j4
X1X8=1
x7x8=1
X5X6X7
X3X5-1
X4X5_1
X8乞2
1,选择钻探第Sj井位
0，否则
5.5用割平面法求解下列整数规划问题
（a）maxz=7x19x2
-x「3x2-6
<7Xj+x2兰35x1,x20且为整数
minz=4x15x2
3xj+2x2兰7
Xj+4x2王5
3X1X2_2x「x2_0且为整数
maxz=4为6x22x3
（b）
（c）
（d）
4x!
-4x2兰5
-Xi6x2-5
一為x2X3乞5
x2,x3,-0且为整数
maxz=11捲4x2
—x,+2x2<14
5x,+2x2兰16
2xj-x2二4
x2,-0且为整数
解：
（a）不考虑整数约束，用单纯形法求解相应线性给华问题得最终单纯形表,见表5A-1。
表5A-1
X1
X2
X3
X4
X27/2
0
1
7/22
1/22
X19/2
1
0
-1/22
3/22
Cj-Zj
0
0
-28/11
-15/11
从表中第1行得
717
x2x3x4
22222
171.
711
-22X3一刃&
X2—3=——X3—X4兰0由此22222
X1
X2
X3
X4
S1
X27/2
0
1「
7/22
r1/22
0
X19/2
1
0
-1/22
3/22
0
S1-1/2
0
0
[-7/22]
-1/22
1
Cj-Zj
0
0
-28/11
r-15/11
0
X23
0
1
0
0
1
X132/7
1
0
0
1/7
-1/7
X311/7
0
0
1
1/7
-22/7
Cj-Zj
0
0
0
-1
-8
即
将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-2。
表5A-2
由表5A-2的x行可写出
x1（0|）x4（-16）®=（44）
又得到一个新的约束
164
X4S]s2
X1
X2
X3
X4
S1
S2
X23
0
1
0
0
1
0
x132/7
1
0
0
1/7
-1/7
0
X311/7
0
0
1
1/7
-22/7
0
s2-4/7
0
0
0
[-1/7]
-6/7
1
Cj-Zj
0
0
0
-1
-8
0
再将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表
表5A-3
5A-3。
X23
Xi4
X31
X44
01
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1-1-4
6
0
1
1
-7
Cj-Zj
0
0
0
0
-2
-7
因此本题最优解为x1=4,X2=3,z=55
（b）本题最优解为Xi=2,X2=1,z=13
（c）本题最优解为Xi=2,X2=1,X3=6,z=26
（d）本题最优解为Xi=2,X2=3,z=34
5.6分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成各项任务时间如表5-2所。
由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表5-2
任务
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：
加工假设的第五个人是戊，他完成各项工作时间去甲、乙、丙、丁中最小者，构
造表为5A-4
表5A-4
任务
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
24
27
26
20
32
对表5A-4再用匈牙利法求解，得最优分配方案为甲-B,乙-D和C,丙-E,丁-A,总计需要131小时。
5.7某航空公司经营A,B,C三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与
到达时间如表5-3所示
表5-3
航班号
起飞城市
起飞时间
到达城市
到达时间
101
A
9：
00
B
12：
00
102
A
10：
00
B
13：
00
103
A
15：
00
B
18：
00
104
A
20：
00
C
24：
00
105
A
22：
00
C
2：
00
106
B
4：
00
A
7：
00
107
B
11：
00
A
14
00
108
B
15：
00
A
18
00
109
C
7：
00
A
11
00
110
C
15：
00
A
19
00
111
B
13：
00
C
18
00
112
B
18：
00
C
23
00
113
C
15：
00
B
20
00
114
C
7：
00
B
12
00
设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落
到下班起飞至少需要2小时准备时间，试决定一个使停留费用损失为最小的飞行
解：
把从某城市起飞的飞机当作要完成的任务，到达的飞机看作分配去完成任务的人。
只要飞机到达后两个小时，即可分配去完成起飞的任务。
这样可以分别对城市A，B,C各列出一个指派问题。
各指派问题效率矩阵的数字为飞机停留的损失的费用。
设飞机在机场停留一小时损失为a元，则停留2小时损失为4a元，停留3小时损失为9a，依次类推。
对A，B，C三个城市建立的指派问题得效率矩阵分别见表5A-6,表5A-7，表
5A-8。
表5A-5城市A
起飞
到达、、
101
102
103
104
105
106
4a
9a
64a
169a
225a
107
361a
400a
625a
36a
64a
108
225a
256a
441a
4a
16a
109
484a
529a
16a
81a
121a
110
196a
225a
400a
625a
9a
表5A-6城市B
起飞
到达、、
106
107
108
111
112
101
256a
529a
9a
625a
36a
102
225a
484a
4a
576a
25a
103
100a
289a
441a
361a
576a
113
64a
225a
361a
289a
484a
114
256a
529a
9a
625a
36a
表5A-7城市C
'''到达
起飞
109
110
113
114
104
49a
225a
225a
49a
105
25a
169a
169a
25a
111
169a
441a
441a
169a
112
64a
256a
256a
64a
对上述指派问题用匈牙利法求解，即可得到一个使停留费用损失最小的方案。
5-8需制造2000件的某种产品，这种产品可利用A,B,C设备的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用，生产该产品时的单件成本，以及每种设备的最大加工量如表5-4所示，试对此问题建立整数规划模型并求解。
表5-4
设备
准备结束费（元）
生产成本（兀/件）1
最大加工数（件）
A
100
10
600
B
300
2
800
C
200
5
1200
设x为在第j台设备上生产的产品数，j=A，B，C,则问题的数学模型可表为:
minz=100yi300y2200y310xi2x25x3
Xi+x2十x3兰2000
0兰为兰600y
*0兰X2兰800y
0兰X3兰1200y
yj=0或1
最优解为xi=0,X2=800,X3=1200,z=8100
5-9运筹学中著名的旅行商贩（货郎担）问题可以叙述如下：
某旅行商贩从某一城市出发，到其它几个城市去推销商品，规定每个城市均须到达而且只到达一次，然后回到原出发城市。
已知城市i和城市j之间的距离为dij，问该商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程为最短。
试对此问题建立整数规划模型。
彳,旅行商贩从i直接去j
X--=*
解：
设"0，否则
由此可写出其整数规划模型为
nn
minz八、dijxij
yj
n
无Xj=1（j=1,…,n）
im
n
为xij-1（i=3…,n）
-j
«Uj_uj+nxijST
5为连续变量（i=1，，n），也可取整数值
i，j=1,…,n，i
5.10有三个不同产品要在三台机床上加工，每个产品必须首先在机床1上加工,然后依次在机床2,3上加工。
在每台机床上加工三个产品的顺序应保持一样，假定用tj表示在第j机床上加工第i个产品的时间，问应如何安排，使三个产
品总的加工周期为最短。
试建立这个问题的数学模型。
解：
用Xij表示第i中产品在j机床上开始加工的时刻，则冋题的数学模型可表示为：
minz=max'xi3ti3,X23t23,X33-taa
Xij+tjMti,j+（i=123；j=1,2）加工顺序约束
Xj+如一Xfj兰M®、
」x“,j+t—j—Xjj兰M（1—&）>互斥性约束
i=1,2;j=1,2,3;6=0或1,
Xj>0
5.11某电子系统由三种元件组成，为使系统正常运转，每个元件都必须工作良好。
如一个或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性。
已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性则是备用件数量的函数，具体数值见表5-5o
表5-5
备用件数
元件可靠性
1
2
3
0
0.5
0.6
0.7
1
0.6
0.75
0.9
2
0.7
0.95
1.0
3
0.8
1.0
1.0
4
0.9
1.0
1.0
5
1.0
1.0
1.0
又三种元件分别的价格和重量如表5-6所示。
已知全部备用件的费用预算限制为150元，重量限制为20千克，问每个元件各安装多少备用件（每个元件备用件不得超过5个），是系统可靠性为最大。
试列出这个问题的整数规划模型。
表5-6
元件
每件价格（元）
重量（千克/件）
1
20
2
2
30
4
3
40
6
解：
用x,x,x分别表示1,2,3三个元件安装的备用件数量。
根据题中条件及费用、重量的限制，元件1的备件最多安装5个，元件2备件最多5个，元件3的备件最多安装3个。
故问题的数学模型可表示为：
maxz二（0.5y10.6y20.7y30.8y40.9y5y6）
（0.6y70.75y80.95y9%。
）（0.7yn0.9%2yj
20捲+30x2+40x3M150
2x1+4x2十6x3兰20
6
Zy
i=1
7
10
正y
i=1
i=Z
13
送y
i=1
i41
XjX0（j=1,2,3）
y=0或1（i=1,...,13）
5.12用你认为合适的方法求解下述问题：
maxz=x「2x25x3
—+10x2—3x3>15
«2捲+x2+x3兰10
兀必必A0
解：
将问题改写为
maxz=x「2x25x3
乂一10x2+3x3兰—15+My
厂为+10x2—3x3兰—15+（1—y）M
2论+x2+x3兰10
、Xj兰0（j=1,2,3）,y=0或1
求解得X1=0,X2=0,x3=10,y=1,z=50
5.13下述线性规划问题
maxz=20x-i10x210x3
2x120x24x3三15
6x120x24x3=20
x1,x2,x^0,且取整数值
说明能否用先求解相应的线性规划问题然后凑整的办法来求得该整数规划的一个可行解。
解：
当不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为X1=10/3,x2=X3=0。
用凑整法时令X1=3,X2=X3=0,其中第2个约束无法满足，故不可行。
5.14某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。
已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5-7所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。
表5-7
备选校址代号
覆盖的居民小区编号
A
1,5,7
B
1,2,5
C
1,3,5
D
2,4,5
E
3,6
F
4,6
1,在第i备选校址建校
x=
解:
令0，否则
minz=xaxbxcxdxexf‘Xa+Xb+XcXa+Xb+Xc+Xd
Xb+Xd>1
XcXe-1XeXf-1
XdXf-1Xa-1
答案为在A,D,E三个备选校址建校。
5.15已知下列五名运动员各种姿势的游泳成绩（各为50米）如表5-8所示，试
问如何从中选拔一个参加200米混合泳的接力队，使语气比赛成绩为最好。
表5-8单位：
秒
赵
钱
张
王
周
仰泳
37.7
32.9
33.8
[37.0
35.4
蛙泳
43.4
33.1
42.2
34.7
41.8
蝶泳
33.3
28.5
38.9
30.4
33.6
自由泳
29.2
26.4
29.6
28.5
31.1
解：
由下列运动员组成混合接力队：
张游仰泳，王游蛙泳，钱游蝶泳，赵游自由泳，预期总成绩为126.2秒。
5-16用匈牙利法求解下述指派问题，已知效率矩阵分别如下:
承担第4项任务。
在满足上述条件下，如何分配工作，使完成四项工作总的花费时间为最少。
表5-9
X作^
人
甲
乙
丙
丁
戊
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
6
8
解：
先增加一种假想工作5,再据题中给的条件列出表5A-9
表5A-8
工作
人
甲
乙
丙
丁
戊
1
10
2
3
15
9
2
5
10
15
2
4
3
15
5
14
7
15
4
20
15
13
OO
8
5
OO
0
0
0
0
对表5A-9用匈牙利法求解得最优分配方案为：
甲-2，乙-3，丙-1，戊-4，对丁不分配工作。
5-18设有m个某种物资的生产点，其中第i个点（i=1，…，m的产量为a。
该种物资销往n个需求点，其中第j个需求点所需量为bj（j=1，…，n）。
已知
7aibj
ij。
已知。
又知从各生产点往需求点发运时，均需经过p个中间编组
站之一转运，若启用第k个中间编组站，不管转运量多少，均发生固定费用f，
而第k个中间编组站转运最大容量限制为qk（k=1，…，p）。
用Cik和c©分别表示从i到k和从k到j的单位物资的运输费用，试确定一个使总费用为最小的该种物资的调运方案。
_；1,启用第k个编组站
解：
设*1°，否则
则问题的数学模型可表述为：
minz二'fk・yk亠二■-Gk・Xik亠二二q
kikkj
L
z
k
z
k
z
j
z
i
z
i
Xik
Xk
乞a
（i:
=1,...,m）
Xkj
二bj
（j
=1,n）
Xk
乞qk
（k
=1,...,p）
Xk
=n
j
Xkj
（k=1,…,p）
Xk
*yk
（k=1,…,p）
_O,Xkj
_0
yk=0或1
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