高考数学讲练试题素养提升练八文含高考+模拟题.docx
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高考数学讲练试题素养提升练八文含高考+模拟题
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题素养提升练（八）文（含2019高考+模拟题）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019·江西分宜中学、玉山一中、临川一中等九校联考）已知m，n∈R，集合A＝{2，log7m}，集合B＝{m，n}，若A∩B＝{1}，则m＋n＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
答案 D
解析 因为A∩B＝{1}，则log7m＝1，m＝7，B＝{m，n}＝{7，n}，n＝1，则m＋n＝8.故选D.
2．（2019·无锡一中三模）已知i为虚数单位，且复数z满足z（1＋i）＝2＋i2019，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D．2
答案 B
解析 z（1＋i）＝2＋i2019，∴z＝
＝
＝
＝
－
i，
＝
＝
＝
，故选B.
3．（2019·厦门一中三模）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：
“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A，B两点，点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 在抛物线y2＝4x中，取x＝2，可得y＝±2
，∴S矩形ABCD＝8
，由阿基米德理论可得弓形面积为
×
×8
＝
，则阴影部分的面积为S＝8
－
＝
.由测度比为面积比可得，该点位于阴影部分的概率为
＝
.故选B.
4．（2019·全国卷Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：
我的成绩比乙高．
乙：
丙的成绩比我和甲的都高．
丙：
我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
答案 A
解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.
5．（2019·梧州一模）函数f（x）＝
（e是自然对数的底数）的图象大致为（ ）
答案 A
解析 f（x）的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，f（－x）＝
＝
＝－
＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C.当x＞1时，f（x）＞0，排除D，故选A.
6．（2019·莱阳一中一模）已知△ABC中，sinA＋2sinBcosC＝0，
b＝c，则tanA的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵sinA＋2sinBcosC＝0，∴sin（B＋C）＋2sinBcosC＝0，∴3sinBcosC＋cosBsinC＝0，由cosB≠0，cosC≠0，化为3tanB＝－tanC，又
b＝c，∴B为锐角，C为钝角，∴tanA＝－tan（B＋C）＝－
＝
＝
≤
＝
，当且仅当tanB＝
时，取等号，∴tanA的最大值是
.
7．（2019·莆田三模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体截去一个三棱锥与一个三棱柱，则该几何体的体积为V＝23－
×
×22×2－2×
×1×1＝
.故选C.
8．（2019·四川二诊）在数列{an}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝nB．an＝n＋1
C．an＝
D．an＝
答案 D
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝
.故选D.
9．（2019·湖北六市联考）将直线x＋y－1＝0绕点（1,0）沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆（x＋3）2＋y2＝4的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
答案 B
解析 依题意得，直线l的倾斜角为150°，所以直线l的方程是y＝tan150°（x－1）＝－
（x－1），即x＋
y－1＝0，圆心（－3,0）到直线l的距离d＝
＝2，故直线l与圆相切．
10．（2019·上饶一模）已知定义在R上的函数满足f（x＋1）＝f（x－1），f（x）＝
若关于x的不等式f（x）＋a（x－2018）≤0在（2018,2020]上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－∞，2]B．（－∞，2）
C.
D.
答案 C
解析 f（x）＝
可得当0＜x≤1时，f（x）递增，且f（x）∈（－4，－3]；当1＜x≤2时，f（x）＝ln（x－1）－5≤－5.由f（x＋1）＝f（x－1），可得f（x＋2）＝f（x），即f（x）的最小正周期为2，关于x的不等式f（x）＋a（x－2018）≤0在（2018,2020]上恒成立，即f（x）在（2018,2020]上的图象在直线y＝－a（x－2018）的下方．可得当2018＜x≤2019时，f（x）＝2x－2018－5∈（－4，－3]；当2019＜x≤2020时，f（x）＝ln（x－2019）－5≤－5，如上图，直线y＝－a（x－2018）恒过定点（2018,0），当直线经过点（2020，－5）时，即－5＝－2a，解得a＝
，由图象可得a≤
时，直线恒在f（x）在（2018,2020]上图象的上方，故选C.
11．（2019·徐州一中二模）已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长为4，M，N分别为AB，BC上的点，且满足AM＝BN，当三棱锥B1－BMN的体积最大时，三棱锥B1－BMN的外接球的表面积为（ ）
A.
B．4π
C.
D.
答案 D
解析 正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长为4，∠ABC＝60°，设AM＝BN＝x（0＜x＜4），则V
＝
×4×
（4－x）xsin
＝
（4－x）x×
≤
×
2＝
，当且仅当4－x＝x即x＝2时取等号，可知△BMN为等腰三角形，R＝
＝
＝
，S＝4πR2＝4π×
2＝
，故选D.
12．（2019·北大附中一模）已知函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，且满足当x＞0时，lnx·f′（x）＜－
f（x），则（x－2019）f（x）＞0的解集为（ ）
A．（－1,0）∪（1,2019）
B．（－2019，－1）∪（1,2019）
C．（0,2019）
D．（－1,1）
答案 C
解析 设g（x）＝lnx·f（x），则g′（x）＝
·f（x）＋lnx·f′（x）＜0，可知函数g（x）在x＞0时单调递减，又g
（1）＝0，可知函数g（x）＝lnx·f（x）在（0,1）上大于零，且lnx＜0，可知f（x）＜0；在（1，＋∞）上，g（x）<0，f（x）＜0；当x＝1时，f′
（1）ln1＜－
f
（1），可得f
（1）＜0，可知函数f（x）在（0，＋∞）上均有f（x）＜0，而函数f（x）为奇函数，可知f（x）在（－∞，0）上均有f（x）＞0，可知（x－2019）f（x）＞0，即
（无解）或
可知不等式的解集为（0,2019）．
第Ⅱ卷 （选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2019·南昌二中模拟）已知
＝（1,2），
＝（2,3），向量m＝（a,2）与
垂直，则向量m的模为________．
答案 2
解析 由已知得
＝
－
＝（1,1），因为m＝（a,2）与
垂直，所以m·
＝（a,2）·（1,1）＝a＋2＝0，解得a＝－2，则m＝（－2,2），|m|＝2
.
14．（2019·东北三校联考）已知x，y满足约束条件
则z＝3x＋y的最大值为________．
答案 3
解析 根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：
由z＝3x＋y，可知直线y＝－3x＋z过A（1,0）时，z有最大值为3×1＋0＝3.
15．（2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋
（x>0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
答案 4
解析 解法一：
由题意可设P
（x0>0），
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝
＝
≥
＝4，当且仅当2x0＝
，即x0＝
时取等号．故所求最小值是4.
解法二：
设P
（x0>0），则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－
.令1－
＝－1，结合x0>0得x0＝
，∴P（
，3
），曲线y＝x＋
（x>0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝
＝4.
16．（2019·扬州中学模拟）已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M，N两点，若cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，
＝
，则双曲线的离心率等于________．
答案 2
解析 如图，由cos∠F1MN＝cos∠F1F2M可得∠F1MN＝∠F1F2M，
∴|F1M|＝|F1F2|＝2c，
|F1N|＝2|F1M|＝4c，
由双曲线的定义可得|MF2|＝2c－2a，|NF2|＝4c－2a，
∴|MN|＝6c－4a，
在△F1MN中，由余弦定理得
cos∠F1MN＝
＝
，
在△F1F2M中，由余弦定理得
cos∠F1F2M＝
＝
，
∵cos∠F1MN＝cos∠F1F2M，
∴
＝
，整理得3c2－7ac＋2a2＝0，
∴3e2－7e＋2＝0，解得e＝2或e＝
（舍去）．
∴双曲线的离心率等于2.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
60分．
17．（本小题满分12分）（2019·太原一模）如图，已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA＋（c－a）sinC＝bsinB，点D是AC的中点，DE⊥AC，交AB于点E，且BC＝2，DE＝
.
（1）求B；
（2）求△ABC的面积．
解
（1）∵asinA＋（c－a）sinC＝bsinB，
且
＝
＝
，可得：
a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理得：
cosB＝
＝
，
∵0＜B＜π，
∴B＝60°.
（2）连接CE，如图，D是AC的中点，
DE⊥AC，
∴AE＝CE，
∴CE＝AE＝
＝
，
在△BCE中，由正弦定理得
＝
＝
，
∴
＝
，∴cosA＝
，
∵0＜A＜180°，
∴A＝45°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝
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