中考解直角三角形知识点整理复习.docx
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中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余:
可表示如下:
∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a
2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平
方和等于斜边的平方
B
弦
c
a
勾
AC
b
股
勾:
直角三角形较短的直角边股:
直角三角形较长的直角边弦:
斜边
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:
a
2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
2+b2=c
2
3、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c满足a
,那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角三角
形:
勾三、股四、弦五)
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为c);
(2)若c
2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形;
若a
2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);
若a
2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)
4.勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理,作出长为n的线段
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图,在△ABC中,∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA,即
sinA
A
的对边
斜边
a
c
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA,即
cosA
A
的邻边
斜边
b
c
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA,即
tanA
A
的对边
A
的邻边
a
b
1
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记为cotA,即
cotA
A
的邻边
A的对边
b
a
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数30°45°60°
sinα
1
2
2
2
3
2
cosα
3
2
2
2
1
2
tanα
313
3
cotα31
3
3
4、各锐角三角函数之间的关系
(1)互余关系:
sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A);
(2)平方关系:
sin2Acos2A1
(3)倒数关系:
tanAtan(90°—A)=1
(4)商(弦切)关系:
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时,
sin
cos
A
A
(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);
(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);
(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有
未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c
(1)三边之间的关系:
2b2c2
a(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
正弦sin,余弦cos,正切tan
(4)面积公式:
(hc为c
边上的高)
考点五、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例:
(1)仰角:
视线在水平线上方的角;俯角:
视线在水平线下方的角。
2
视线铅垂线
仰角
俯角
水平线
h
ih:
l
α
视线
l
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示,即
i
h
l
。
坡度一般写成1:
m的形式,如
h
i1:
5等。
把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角),那么itan
l
。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别
是:
45°、135°、225°。
解直角三角形的基本类型及其解法公式(总结)
1、解直角三角形的类型与解法
已知、解法
三角已知条件解法步骤
类型
Rt△ABC
两直角边(如a,b)
a
由tanA=,求∠A;∠B=90°-A,c=
b
2b
a
2
B
两
斜边,一直角边(如c,a)
a
由SinA=,求∠A;∠B=90°-A,b=
c
c2-a2
2-a2
c
边
a
AbC
一
边
一角边
锐角,邻边
(如∠A,b)
b
∠B=90°-A,a=b·SinA,c=cosA
cosA
一
角
和
一锐角
锐角,对边
(如∠A,a)
a
∠B=90°-A,b=
tanA
,c=
a
sinA
斜边,锐角(如c,∠A)∠B=90°-A,a=c·SinA,b=c·cosA
2、测量物体的高度的常见模型
1)利用水平距离测量物体高度
数学模型所用应测数据数量关系根据
工具原理
tanα=,tanβ=
xx
1
2
ι
α
x1x2
a
β
侧倾α、β、
=a·
tanα·tanβ
tanα+tanβ
直角
三角
3
器
皮尺
水平距离a
tanα=tanβ=
axx
形的
边角
关系
ι
αβ
ax
=a·
tanα·tanβ
tanβ-tanα
2)测量底部可以到达的物体的高度
数学模型所用应测数据数量关系根据
工具原理
h
a
3
=
a
1
a
2
,h=
aa
13
a
2
a
1
镜子
h
皮尺
镜子
目高a1
水平距离a2
反射
定律
aa3
2
水平距离a3
h
a
1
aa2
3
皮尺
标杆
标杆高a1
标杆影长a2
物体影长a3
h
a
1
=
a
3
a
2
h=
aa
13
a
2
同一时刻物高与影
长成正比
αh
侧倾器高a1
tanα=
h
a
1
a
2
矩形的性质和直角
三角形的边角关系
aa2
1
皮尺
水平距离a2
倾斜角α
h=a1+a2tanα
侧倾
h
1
器
α
β
a
1
h
2
h
仰角α
俯角β
tanα=
h
1
a
1
tanβ=
h
2
a
1
矩形的性质和直角
三角形的边角关系
h=h1+h2=a1(tanα+tanβ)
水平距离a1
3)测量底部不可到达的物体的高度
(1)
数学模型所用应测数据数量关系根据
工具理论
α
h
1
h
仰角α
tanα=
h1
x
,tanβ=
a
x
β俯角β
x
4
皮尺
高度a
tanα
h=a+h1=a+a=a(1+
tanβ
tanα
tanβ
)
矩形的性质和直
角三角形的边角
αβ
侧倾
器
tanα=
a-h
tanβ=
x
a
x
关系
a
俯角α
俯角β
a-h
∴x=
=
tanα
a
tanβ
atanα
tanβ
∴h=a-
h
高度
x
测量底部不可到达的物体的高度
(2)
数字模型所用应测距离数量关系根据
工具原理
A
tanα=
h
1tanβ=
ax
1
h1
x
a
2
仰角α,
仰角β
αβ
水平距离a1
ax
1
h
1
h
侧倾器高a2
a
1
tan
∴=h1
tan
h=a2+h1=a2+
tan
tan
a
1
tan
tan
tan
tan
皮尺
tanα=
hh-a
tanβ=
xx
h
1
侧倾
器
仰角α
h=
tanα
tanα-tanβ
矩形的性质
和直角三角
β
a
x
α
h
仰角β
高度a
tanα=
hh-a
tanβ=、h=
xx
tanα
tanα-tanβ
形的边角关
系
a
仰角α
仰角β
ha+h
tanα=,tanβ=
xx
αβ
x
h
高度a
h=
tanα
tabβ-tanα
5
第三部分真题分类汇编详解2007-2012
(2007)19.(本小题满分6分)一艘轮船自西向东航行,在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航
行60海里到达B处,测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛
C最近?
(参考数据:
sin21.3°≈
9
25
,tan21.3°≈
2
5
,sin63.5°≈
9
10
,tan63.5°≈2)
北
C
东
AB
(2008)19.(本小题满分6分)在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如
图所示,其中,AB表示窗户,且AB2米,BCD表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的
最小夹角为18.6,最大夹角为64.5.请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米?
(结
果保留两个有效数字)
(参考数据:
sin18.60.32,tan18.60.34,sin64.50.90,tan64.52.1)
CD
C
D
B
F
GE
A
BD
A
第19题图
6
(2009)19.(本小题满分6分)在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度.他们首先从A处
安置测倾器,测得塔顶C的仰角CFE21°,然后往塔的方向前进50米到达B处,此时测得仰角CGE37°,
已知测倾器高1.5米,请你根据以上数据计算出古塔CD的高度.
(参考数据:
sin37
°≈3,tan37°≈3,sin21°≈9,tan213
°≈)°≈3,tan37°≈3,sin21°≈9,tan213
54258
(2010)19.(本小题满分6分)小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米.为测量这座居民楼与大厦之间
的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与
大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)
(参考数据:
解:
o3o3o7o11
sin37,tan37,sin48,tan48)
541010
A
37°D
48°C
B
第19题图
A
(2011)19.(6分)某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由
原来的40o减至35o.已知原楼梯AB长为5m,调整后的楼梯所占地
35o40o
面CD有多长?
CBD
(结果精确到0.1m.参考数据:
sin40o≈0.64,cos40o≈0.77,sin35o≈0.57,tan35o≈0.70)
(2012)20.(8分)
7
附历年真题标准答案:
(2007)19.(本小题满分6分)
解:
过C作AB的垂线,交直线AB于点D,得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设BD=x海里,
C
在Rt△BCD中,tan∠CBD=
CD
BD
,∴CD=x·tan63.5°.
CDABD
在Rt△ACD中,AD=AB+BD=(60+x)海里,tan∠A=
,
AD
∴CD=(60+x)t·an21.3°.∴x·tan63.5°=(60+x)·tan21.3°,即
2
2x60x.解得,x=15.
5
答:
轮船继续向东航行15海里,距离小岛C最近.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6′
(2008)19.(本小题满分6分)
解:
设CD为x,在Rt△BCD中,BDC18.6,
∵
BC
tan,∴BCCDtanBDC0.34x.········2′
BDC
CD
在Rt△ACD中,ADC64.5,∵
AC
tanADC,∴ACCDtanADC2.1x.
CD
∵ABACBC,∴22.1x0.34x.x≈1.14.
C
答:
CD长约为1.14米.
(2009)19.(本小题满分6分)
解:
由题意知CD⊥AD,EF∥AD,
∴CEF90°,设CEx,
在Rt△CEF中,tanCFECE
EF
CE
在Rt△CEG中,tan
CGE
GE
CEx8
EFx
;
,则
tanCFEtan21°3
CEx4
,则
GEx
tanCGEtan37°3
F
A
GE
B
第19题图
D
∵EFFGEG,∴
84
x50x.x37.5,∴CDCEED37.51.539(米).
33
答:
古塔的高度约是39米.·············································································6分
(2010)19.(本小题满分6分)
A
8
37°D
48°
解:
设CD=x.在Rt△ACD中,tan37
AD
CD
,
则3
4
AD
x
,∴
3
ADx.
4
在Rt△BCD中,tan48°=BD
CD
,
11
则
10
BD
x
,
∴11
BDx.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
10
∵AD+BD=AB,∴31180
xx.
410
解得:
x≈43.
答:
小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2011)19.(本小题满分6分)
(2012)20.(8分)
9
10