国债利率期限结构.docx
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国债利率期限结构
国债利率期限结构拟合研究
国债利率期限结构拟合研究
一、引言
利率是金融市场的核心，准确构造利率期限结构，对于固定收益证券、利率衍生工具的定价及利率风险管理等具有重要意义。
在成熟的金融市场中，国债利率最直接反映了市场的交易者对市场资金供求状况的真实感受以及资金的准确价格，因此可以根据二级市场上国债的交易价格及变动来估计和分析市场基准利率的期限结构及其动态变化。
随着我国利率市场化改革的进展和债券市场的规范发展，中央银行将逐步放松对商业银行存贷款利率的管制，更多地依靠公开市场业务形成市场基准利率。
因此，根据债券交易价格构造利率期限结构，将越来越具有实用性。
利率期限结构是在某个时点上不同期限的利率所组成的一条利率曲线。
它是债券市场中最为重要的概念之一，体现了利率与剩余期限之间的关系。
从横截面的角度看，利率期限结构可以用一条无风险债券的收益率曲线表示。
当前市场上构建收益率曲线用的是到期收益率，而到期收益率编制的曲线只能得到收益率曲线的一个大致近似，即期收益率才是收益率曲线的精确反映。
然而即期收益率并不能直接从市场上观察，因此只有通过拟合估计才能得到。
利率期限结构的估计方法有很多，常用的主要有息票剥离（Bootstrapmethod）、样条估计（Splineapproximation）和Nelsen—Siegel方法（包括改进的Nelsen—Siegel—Svennson方法等，以下简称NS和NSS模型。
考虑到期限结构构造方法的多样性和中国债券市场的特殊性，有必要对上述不同模型方法进行比较系统的横向对比研究。
本文选择Nelson—Siegel模型、Nelsen—Siegel—Svennson模型、多项式样条法及指数样条法这4种最常用的构造方法进行实证分析，研究其不同构造特点及各自的适用性问题。
选取2007年12月10日的全国间固定收益债券的各项数据，运用多项式样条、指数样条、NS、NSS拟合数据，做出参数估计，并给出利率期限结构曲线、债券定价误差，最后比较分析结果。
二、文献综述
McCulloh是将样条方法应用于利率期限结构估计的开拓者，他于1971年和1975年分别提出二次、三次样条函数法，将贴现函数分别假设为一个二次多项式、三次多项式样条函数，后者已经成为标准的收益率曲线估计方法。
Bliss的研究发现，无论样本内还是样本外，三次样条法都很稳定，并且对债券的定价也很精确。
Steely利用B样条拟合利率期限结构曲线，提高了拟合的有效性。
但这些方法有两个主要缺点，①贴现因子E（t0,t）（表示在时间t支付一元的零息票债券在时间t0的价格）是到期期限t从E（t0，t0）=l到E（t0，∞）=0的连续递减函数，它具有指数函数的形状，而多项式函数和指数函数有不同的曲率，这样虽然可以用增加节点的方式使多项式样条函数逼近指数函数，但是往往使多项式样条函数沿着指数函数波动，造成远期利率很不稳定。
②多项式样条没有一个理想的渐进性质，不能随着到期期限的增大而以指数形式趋于O。
进一步，Vasicek和Fong将贴现因子函数设计成指数样条函数的形式，随后马特里尼和普奥兰德类似于多项式样条，根据样条函数定义对指数样条函数迸行了化简，它与多项式样条相比较，突出的优点是产生的远期利率是时间的连续函数，可以估计出起息日为未来无限远时的瞬时远期利率，同时它对到期期限很长的贴现因子具有很好的渐进性质。
另外，国外实证也表明，在参数估计过程中，指数样条模型比多项式样条模型拟合效果要好一点，但其形式比较复杂，需要估计的参数较多，实证相对比较困难。
在国内，由于中国债券市场发育不够成熟，估计利率期限结构的研究并不多见。
杨大楷和杨勇（1997）、姚长辉和梁跃军（1998）、陈雯和陈浪南（2000）用到期收益率或银行存款利率来估计收益率曲线；曹兴华（2002）采用多项式样条函数拟合国债到期收益率；林海和郑振龙（2002）用息票剥离方法和样条函数来拟合债券市场利率吲；王建喜、王晓轩（2004）则是用指数样条函数与多项式样条函数估计收益率曲线；唐革榕、朱峰（2003）和范龙振、王晓丽采用Nelson-Siegel模型构造上交所债券利率期限结构；朱峰（2003）分别采用Svensson模型和带平滑技术的B-样条方法构造上交所国债利率期限结构。
国内学者很少用到西方国家使用较多的NS或NSS方法来估计，只有朱世武、陈健恒（2003）和朱峰（2003）曾经用多项式样条函数和NSS方法估计。
三、理论分析
（一）利率期限结构模型介绍
期限结构模型可以分为二大类：
一类是经济模型，包括均衡模型和无套利模型；另一类是数量模型。
经济模型主要是通过经济和金融原理（如均衡原理、无套利原理）建立利率的随机微分方程，通过这些微分方程推导出利率期限结构。
经典的均衡模型有Vasicek、CIR和Merton等。
由于并没有引入市场上各种债券的实际价格信息，均衡模型所推导的只是一个理论上的期限结构，与实际中可观察的期限结构并不一定一致。
而经典无套利模型主要有Ho-Lee模型。
这个模型利用市场上债券的价格信息通过无套利关系推导出短期利率的随机微分方程参数，从而转换为利率期限结构，因此期限结构能够与市场上观察到的债券价格信息保持一致。
但无论是均衡模型还是无套利模型，其模型建立的基本假设是债券市场是高度有效的，市场中能够形成远期价格以及有卖空机制。
因为中国市场债券市场还远没有达到这些模型的基本假设，因此也进一步限制了这些模型在中国的应用。
而且这些模型多数用于理论研究和对利率衍生品的定价，而在利用市场债券价格信息建立期限结构方面主要还是依赖于数量模型。
（二）利率期限结构研究方法
1.多项式样条法
多项式样条法假设利率期限结构以贴现因子表示，而且贴现因子是到期期限
的连续函数
，并进一步假设这个函数是一个多项式分段函数。
在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要的。
阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程度，同时也影响到待估参数的数量。
一般将多项式样条函数的阶数定为3。
因为当多项式样条函数为2阶时，
的导数
是离散的，而且当阶数过高（四阶或五阶）时，验证三阶或四阶导数是否连续的难度将增大。
三阶多项式样条函数的形式如下：
D（t）=
其中，
，
，
为待定参数，
为所有国债的最长期限。
对于即期贴现率函数
来说，显然有
。
另外，为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
样条函数的分段数量也是应用该模型当中需要注意的一个问题。
在对此进行实证检验后，凯努尼（Kanony）和蒙克瑞（Mokrane）（1992）以及迪隆（Dealon）和戴瑞（Derry）（1994），得出了如下两个结论：
（1）样条值越大，参数就越多，模型的拟合程度就越好，但曲线平滑度越差。
当样条值增加时，曲线对异常数据就越敏感，理论价格和实际价格的差距将越来越小。
这样当我们对样本之外的债券进行定价时，拟合程度就会不如样本数据那么高。
也就是说，样条值越大，拟合出来的利率曲线对样本外的债券的适用性将会降低，从而不能很好的对样本外的债券定价，也无法挑选出价格异常的债券。
（2）样条值越小，则曲线越平滑，估计的参数也较少。
另一方面，如果发生一些微小的干扰时，将会引起显著的误差，这意味着，曲线拟合的程度不高。
因此，当选择样条数量时，必须进行权衡，既不要太多，也不要太少。
通常的选择是三段样条。
样条分界点的选取也十分重要，德肯（Deacon）和戴瑞（Derry）（1994）证明了当样条分界点发生变化时，远期利率曲线水平常会发生显著变化。
希尔（1984）认为，每个样条所包括的债券数目应该相同，因此，样条分界点也就由此决定。
而普里奥莱特（1997）认为样条分界点的选择应该能反映出债券市场的自然分隔局面。
2.指数样条法
指数样条函数是Vasicek和Fong在1982年提出的。
其原理也与多项式样条类似，只是在函数形式上略有不同。
模型中同样建立了一个贴现因子函数，其形式为：
D（T）=
为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，也必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件：
指数样条模型也容易导致远期利率曲线不稳定，并且其参数估计须采用非线性最优化。
3．Nelson-Siegel模型
Nelson-Siegel模型是CharlesNelson和AndrewSiegel在1987年提出的一个参数拟合模型。
这个模型提出的时间在样条拟合方法之后，一部分的原因是这个模型可以克服样条拟合方法的一些缺点（曲线尾部的震荡）。
该模型通过建立远期瞬时利率的函数，从而推导出即期利率的函数形式。
该模型的一个最大的好处就是需要估计的参数相对少，因此特别适合于估计债券数量不多情况下的利率期限结构，而且这些参数都有很明显的经济学含义，使得模型本身很容易被理解。
尼尔森和辛戈尔推导了一个瞬间远期利率公式：
容易看出，公式形式与那些描述利率动态变化常微分方程解的表达式十分类似。
瞬间远期利率f（0,θ）表示在0时刻计算，在未来时刻
发生的期限为无限短的利率。
在这里，
是适合于该方程的一个时间常数，
和
是待估计参数。
利用
得到:
这就是Nelson-Siegel模型的基本表达形式。
当固定
时，通过
和
的不同组合，这个方程能够产生大家所熟悉的远期利率曲线的各种形状，如单调型、水平和倒置型曲线。
转换为即期利率曲线时，也能表现类似的形状，但却无法推导出形状更为复杂的利率曲线，例如V形和驼峰形曲线，使得曲线对短期和中期的利率拟合程度不够好。
4.Nelsen—Siegel—Svennson模型
为了克服原模型拟合灵活性不足的问题，Svensson（1994）提出了一个对Nelson-Siegel方程的扩展形式。
即再引入一个新的参数β，这样瞬间远期利率可以表示为
从瞬间远期利率的公式当中，可以看出远期利率实质上是由短期、中期和长期利率三部分组成的。
代表长期利率的是参数
，它表示瞬间远期利率曲线
的渐近线，随着到期限
的增大，
的曲线应趋向于
的值。
而
代表短期利率部分，它是瞬间远期利率曲线向渐近线的趋近速度的因素。
若它为正数，则瞬间远期利率曲线是随着期限的增大而下降的，反之则瞬间远期利率曲线随着期限的增大而上升。
和
分别代表不同的中期利率部分，它们决定了瞬间远期利率曲线极值点的性质和曲度。
、
是正数，与瞬间远期利率曲线的横坐标相对应，标志了远期利率曲线的极值点出现的位置。
即期利率是远期利率的一个平均，通过积分可以得到即期利率的表达形式。
根据即期利率公式可以求得贴现因子
。
扩展后的函数在计算短期债券价格时的灵活性大大增强。
整个目标函数的最小化决策就是确定参数
、
、
、
、
和
。
四、实证分析
（一）样本选择
目前，国债交易主要集中在银行间债券市场、上海和深圳证券交易所债券市场。
考虑流动性和数据齐全，选取交易所国债数据和银行间国债数据为实证样本，以全国间国债市场2008年1月10日的国债收盘数据作为样本数据，估计2008年1月10日的国债利率期限结构。
净
付息
到期收
剩余
修正
价
方式
益率（%）
期限
久期
106
2
3.48
9.15
7.86
100
1
4.03
47.99
20.85
100.58
1
3.27
7.8
7.22
101.39
1
3.22
7.67
7.07
103.91
1
2.93
2.73
3.03
101
2
2.21
1.28
1.77
99.13
1
3.5
10.87
9.34
97.2
1
3.18
5.29
5.35
114.1
1
1.48
5.05
4.97
98.36
1
3.25
3.81
4.06
99.9
2
2.61
0.73
1.24
100.3
2
2.29
0.47
0.98
101.16
1
3.49
8.45
7.48
100.15
2
2.02
0.22
0.77
104.79
1
3.64
12.94
10.15
104.2
1
2.82
2.73
3.04
100.96
2
2.24
1.28
1.77
99.28
1
3.48
10.87
9.35
97.64
1
3.09
5.29
5.35
106.7
1
3.4
9.15
7.88
（二）实证结果分析
在上述样本期内任意选取的某个同一时点的横截面数据进行四种模型的横向对比分析。
以2008年1月10日的样本数据为例，运用MATLAB进行程序操作，得出了多项式样条法、指数样条法、Nelson-Siegel模型、Nelson-Siegel-Svenson模型分和期限结构三维图的参数估计结果。
通过MATLAB软件，拟合的国债利率期限结构曲线，分别运用多项式样条、指数样条、Nelson-Siegel模型、Nelson-Siegel-Svensson模型和期限结构三维图，得到的曲线如图1、图2、图3、图4、图5：
图1多项式样估计的利率期限结构曲线
图2指数样条估计的利率期限结构曲线
图3Nelson-Siegel模型估计的利率期限结构曲线
图4Nelson-Siegel-Svensson模型估计的利率期限结构曲线
图5期限结构三维图
远期利率曲线可以更显著地反映出四种模型的差异，图1、图2、图3和图4给出了四个横截面数据下的远期利率曲线对比情况。
可以从中看出多项式样条法构造的远期利率曲线在远端常均呈现幕级数上升趋势，显然是不符合利率期限结构理论。
其原因是多项式样条法对样本数据极端敏感，当期限较长的债券出现定价错误时，模型对这些债券的过度拟合可能使得利率曲线不符合实际情况。
可以从图1、图2、图3和图4中发现，相比于Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型拟合的利率期限结构曲线，多项式样条和指数样条的波动较大，不如NS、NSS模型利率期限结构曲线平滑，规范性好。
多项式样条和指数样条拟合的利率期限结构曲线的波动，说明在价格拟合度方面多项式样条法与指数样条法更占有明显优势。
与NS和NSS模型相比，样条函数法在拟合曲线时更加符合原始数据，可以充分全面的体现原始数据的特征，包括一些特殊或者异常的数据。
这一方面也可以从图2实际拟合的数据中看出，造成这一结果的原因是样条函数在样条数目、分割区间和分界点上存在着比较大的选择空间。
选择的样条数目、区间的不同分割和分界点的不同都会影响样条函数刻画的曲线的走势，所以样条法可以拟合更加复杂的数据，突出数据的特点。
在成熟的金融市场中，国债交易反映的利率期限结构，其形状一般是非常规范的，因此样条类方法与Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型的差异较小。
但在我国这样金融市场不是很成熟、债券市场容量还相当狭小的环境下，债券市场反映的利率期限结构常常与规范的期限结构有相当的偏差，而且这种偏差由于市场摩擦往往需要较长一段时间才会逐渐消逝。
在这种下，Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型的应用就受到一定程度的限制，其结果也要经过仔细的分析校核。
这两种模型在拟合远端数据时显得更为平稳一些，是因为模型本身对到期期限较长的数据不十分敏感，加上其目标函数使得该模型不会出现对远端数据过度拟合的情况，所以其结果显得比较符合期限结构理论而具有规范性，但这种规范形状实际是以牺牲价格拟合精度的代价换来的。
作为期限结构的构造模型，这两种参数模型并没有如指数样条法一样充分有效地挖掘出样本债券价格所包含的市场信息。
指数样条法在保持较高的价格拟合精度和最佳的利率曲线光滑性的同时，能够兼顾远期利率曲线的平稳性和精确度。
指数样条模型预测能力要弱于多项式样条模型，这可能是由于中国样本债券的到期期限比较单一，短期和长期债券品种严重缺乏，多项式样条模型在最小化决策过程中出现过度拟合，导致验证过程出现较大偏差。
这表明，指数样条回归模型比较适合中国交易所的实际情况，适合作为中国利率期限结构的拟合方法。
所以从综合性能上比较，指数样条法较适合我国交易所市场的实际情况，推荐作为当前债券利率期限结构的构造模型。
五、结论与建议
运用全国间债券市场国债价格数据对多项式样条法、指数样法、Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型进行实证对比。
结果表明，多项式样法、指数样条法在价格拟合度方面占有明显优势；Nelson-Siegel模型和Nelson-Siegel-Svensson模型虽然规范性较好，但价格拟合精度牺牲较多，因此模型构造的利率期限结构与债券市场隐含的期限结构有一定差异；指数样条法在利率期限结构的综合效果比较好，比较能反映数据本身的特点，以便于对远期利率的估计。
结果同时还表明，利用NS和NSS两种模型参数方法来估计中国国债利率期限结构也是可行的，估计方法并不复杂，而且便于同国际接轨。
文中拟合的远期利率曲线几乎重合，主要是因为中国国债收益率变化不大，没有太复杂的形式，因而二者区别很小。
同时也和我们的样本有关，如果增加样本容量应该会看到利率的波动更为清晰。
在远端NSS模型相对要陡一些，在近端则是NS模型曲度更大。
但是在期限结构十分复杂时，NS模型的拟合能力存在不足，而此时NSS模型可以提高拟合效果。
六、参考文献
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