学年高中数学选修22学案133 最大值与最小值.docx

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学年高中数学选修22学案133最大值与最小值

1.3.3　最大值与最小值

1．会求在指定区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．（重点）

2．掌握含参数的最值问题的讨论．（难点）

3．掌握函数的极值与最值的联系与区别．（易混点）

[基础·初探]

教材整理　函数的最大（小）值与导数

阅读教材P32“例1”以上部分，完成下列问题．

1．函数的最大值与最小值．

（1）如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在定义域上的最大值．

（2）如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在定义域上的最小值．

函数的最大（小）值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大（小）值，那么函数的最大（小）值惟一．

2．利用导数求函数的最值

求可导函数f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

（1）求f（x）在区间（a，b）上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与f（a），f（b）比较，得到f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值．

1．判断正误：

（1）函数的最大值一定是函数的极大值．（　　）

（2）开区间上的单调连续函数无最值．（　　）

（3）函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．（　　）

【答案】　

（1）×　

（2）√　（3）×

2．函数f（x）＝2x－cosx在（－∞，＋∞）上________．（填序号）

①无最值；　　②有极值；

③有最大值；④有最小值．

【解析】　f′（x）＝2＋sinx>0恒成立，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，无极值，也无最值．

【答案】　①

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

疑问2：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

疑问3：

_______________________________________________

解惑：

_______________________________________________

[小组合作型]

求函数在给定区间上的最值

　求下列函数的最值：

（1）f（x）＝x3－

x2－2x＋5，x∈[－2,2]；

（2）f（x）＝e－x－ex，x∈[0,1]．

【精彩点拨】　首先利用函数求极值，再比较极值与端点值的大小，确定最值．

【自主解答】　

（1）f′（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），

令f′（x）＝0，得x1＝－

，x2＝1.

当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：

x

－2

－

1

（1,2）

2

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

－1

7

从上表可知，函数f（x）在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.

（2）f′（x）＝

′－（ex）′＝－

－ex＝－

.

当x∈[0,1]时，f′（x）<0恒成立，

即f（x）在[0,1]上是减函数．

故当x＝1时，f（x）有最小值f

（1）＝

－e；

当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝e－0－e0＝0.

求函数最值的四个步骤

（1）求函数的定义域；

（2）求f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）列出关于x，f（x），f′（x）的变化表；

（4）求极值、端点值，确定最值．

[再练一题]

1．（2016·盐城质检）函数y＝x＋2cosx在区间

上的最大值是________.

【导学号：

01580015】

【解析】　∵y′＝1－2sinx，x∈

，

令y′＝0，得x＝

.

由于f（0）＝2，f

＝

＋

，f

＝

，

∴函数的最大值为

＋

.

【答案】　

＋

由函数的最值确定参数的值

　已知函数f（x）＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

【精彩点拨】　首先求出f′（x）．然后讨论a的正负，根据函数f（x）的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b.

【自主解答】　由题设知a≠0，否则f（x）＝b为常函数，与题设矛盾．

求导得f′（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4），

令f′（x）＝0，得x1＝0，x2＝4（舍去）．

（1）当a>0，且x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

－1

（－1,0）

0

（0,2）

2

f′（x）

＋

0

－

f（x）

－7a＋b

单调递增

b

单调递减

－16a＋b

由表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f（0）＝b＝3.

又f（－1）＝－7a＋3，f

（2）＝－16a＋3

∴f

（2）＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.

（2）当a<0时，同理可得，当x＝0时，f（x）取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f（0）＝b＝－29.

又f（－1）＝－7a－29，

f

（2）＝－16a－29>f（－1），

∴f

（2）＝－16a－29＝3，解得a＝－2.

综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.

1．本题的解题关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，且最值也受a的符号的影响，因此需要对a的符号进行分类讨论．

2．已知函数的最值求参数问题属于逆向探究题型，解决该类问题的基本方法是待定系数法，列出关于参数的方程（组），从而求出参数的值，但在用参数表示最值时，需要根据参数的情况分类讨论．

[再练一题]

2．设

ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－

，求该函数的解析式.

【导学号：

01580016】

【解】　f′（x）＝3x2－3ax，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

－1

（－1,0）

0

（0，a）

a

（a,1）

1

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

－1－

a

＋b

单调递

增

b

单调递

减

－

＋b

单调递

增

1－

a＋b

从上表可知，当x＝0时，f（x）取得极大值b，

当x＝a时，f（x）取得极小值－

＋b，

而f（0）>f（a），又f

（1）>f（－1），

故只需比较f（0）与f

（1），f（－1）与f（a）的大小．

因为f（0）－f

（1）＝

a－1>0，

所以f（x）的最大值为f（0）＝b，所以b＝1.

又因为f（－1）－f（a）＝

（a＋1）2（a－2）<0，

所以f（x）的最小值为f（－1）＝－1－

a＋b

＝－

a，

所以－

a＝－

，

所以a＝

.

故所求函数的解析式是f（x）＝x3－

x2＋1.

[探究共研型]

与最值有关的恒成立问题

如图136为y＝f（x），x∈[a，b]的图象．

图136

探究1　观察[a，b]上函数y＝f（x）的图象，试找出它的极大值、极小值．

【提示】　f（x1），f（x3）为函数的极大值，f（x2），f（x4）为函数的极小值．

探究2　结合图象判断，函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？

若存在，分别为多少？

【提示】　存在．f（x）最小值＝f（a），f（x）最大值＝f（x3）．

探究3　函数y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值一定是其极值吗？

【提示】　不一定．也可能是区间端点的函数值．

　设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t>0）．

（1）求f（x）的最小值h（t）；

（2）若h（t）<－2t＋m对t∈（0,2）恒成立，求实数m的取值范围．

【精彩点拨】　

（1）利用配方法，即可求出二次函数f（x）的最小值h（t）；

（2）构造函数g（t）＝h（t）－（－2t＋m），只需使g（t）在（0,2）上的最大值小于零即可求得m的取值范围．

【自主解答】　

（1）∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1（x∈R，t>0），

∴当x＝－t时，f（x）取最小值f（－t）＝－t3＋t－1，

即h（t）＝－t3＋t－1.

（2）令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，

由g′（t）＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）．

当t变化时，g′（t），g（t）的变化情况如下表：

t

（0,1）

1

（1,2）

g′（t）

＋

0

－

g（t）

单调递增

极大值1－m

单调递减

∴g（t）在（0,2）内有最大值g

（1）＝1－m.

h（t）<－2t＋m在（0,2）内恒成立等价于g（t）<0在（0,2）内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为（1，＋∞）．

1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．

2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略

（1）a＞f（x）恒成立⇔a＞f（x）最大值，a＜f（x）恒成立⇔a

（2）f（x）＞g（x）＋k恒成立⇔k＜[f（x）－g（x）]最小值；

（3）f（x）＞g（x）恒成立⇔f（x）最小值＞g（x）最大值；

（4）a＞f（x）能成立⇔a＞f（x）最小值，a＜f（x）能成立⇔a＜f（x）最大值．

[再练一题]

3．上例

（2）若改为“存在t∈[0,2]，使h（t）<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？

【解】　令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，

由g′（t）＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）．

当t变化时，g′（t），g（t）的变化情况如下表：

t

0

（0,1）

1

（1,2）

2

g′（t）

＋

0

－

g（t）

－1－m

单调

递增

极大值

1－m

单调递减

－3－m

∴g（t）在[0,2]上有最小值g

（2）＝－3－m，

存在t∈[0,2]，使h（t）<－2t＋m成立，

等价于g（t）的最小值g

（2）<0.

∴－3－m<0，∴m>－3，

所以实数m的取值范围为（－3，＋∞）．

[构建·体系]

1．函数y＝x－sinx，x∈

的最大值是________．

【解析】　∵y′＝1－cosx≥0，∴y＝x－sinx在

上是增函数，∴y最大值＝π.

【答案】　π

2．函数f（x）＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________.

【导学号：

01580017】

【解析】　f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．

令f′（x）＝0得x1＝0，x2＝2（舍去）．

当x∈[－1,0）时，f′（x）>0，f（x）递增；

当x∈（