答案
（1）参与了两个分运动，一个是船相对水的运动（即船在静水中的运动），一个是船随水漂流的运动（即一个分运动是水的运动）。
（2）如图所示，设v船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v船sinθ，时间t＝，当θ＝90°时，t＝最小，即当船头垂直河岸时，时间最短，与其他因素无关。
（3）当v船与v水的合速度与河岸垂直时，位移最短。
此时v船cosθ＝v水，v合＝v船sinθ，t＝。
[知识深化]
1。
不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
2。
当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
3。
当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为smin＝d。
注意：
小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短。
例4 一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2。
5m/s。
船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：
（1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
答案
（1）船头垂直于河岸 36s 90m
（2）船头偏向上游，与河岸夹角为60° 24s 180m
解析 将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向上的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向上的位移。
（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图所示。
时间t＝＝s＝36s，
v合＝＝m/s
位移为s＝v合t＝90m。
（2）欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一夹角β。
垂直河岸渡河要求v平行＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°，所以当船头偏向上游与河岸夹角β＝60°时航程最短。
最短航程s′＝d＝180m，
所用时间t′＝＝＝s＝24s。
针对训练2 （多选）下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。
则其中可能正确的是（ ）
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动。
虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B。
四、“绳联物体”的速度分解问题
“绳联物体”指物体拉绳（杆）或绳（杆）拉物体的问题（下面为了方便，统一说“绳”）：
（1）物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向。
（2）由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等。
例5 如图8所示，用船A拖着车B前进，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：
（与B连接的绳水平且定滑轮光滑）
图8
（1）车B运动的速度vB为多大？
（2）车B是否做匀速运动？
答案
（1）vAcosθ
（2）不做匀速运动
解析
（1）把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcosθ。
（2）当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
针对训练3 如图9所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑定滑轮拉动物体B在水平方向上运动。
当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度vB的大小。
图9
答案 vsinθ
解析 物块A沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点（即物块A）的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示。
其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB。
则有sinθ＝，因此vB＝vsinθ。
1。
（合运动性质的判断）（多选）关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ）
A。
物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动
B。
若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动
C。
合运动与分运动具有等时性
D。
速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则
答案 BCD
解析 物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动。
若合速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动。
2。
（合运动轨迹的判断）蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升。
如图10所示，若在蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置水平向右做匀速直线运动，则蜡块的实际运动轨迹可能是（ ）
图10
A。
曲线RB。
直线P
C。
曲线QD。
三种轨迹都有可能
答案 B
解析 蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上也做匀速直线运动，其合运动为匀速直线运动，所以轨迹为直线P，B正确。
3。
（两分运动的合成）（多选）一质量为2kg的质点在如图11甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度时间（v－t）图像和y方向的位移时间（y－t）图像分别如图乙、丙所示，由此可知（ ）
图11
A。
t＝0时，质点的速度大小为12m/s
B。
质点做加速度恒定的曲线运动
C。
前2s，质点所受的合力大小为10N
D。
t＝1s时，质点的速度大小为7m/s
答案 BC
解析 由v－t图像可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度为12m/s，而在y方向上，质点做速度为－5m/s的匀速运动，故在前2s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：
v0＝m/s＝13m/s，故A错误，B正确；由v－t图像可知，前2s，质点的加速度为：
a＝＝m/s2＝－5m/s2，根据牛顿第二定律，前2s质点所受合外力大小为F＝m|a|＝2×5N＝10N，故C正确；t＝1s时，x方向的速度为7m/s，而y方向速度为－5m/s，因此质点的速度大小为m/s＝m/s，故D项错误。
4。
（绳联物体的速度分解问题）如图12所示，某人用绳通过光滑定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx的大小为（ ）
图12
A。
小船做变加速运动，vx＝
B。
小船做变加速运动，vx＝v0cosα
C。
小船做匀速直线运动，vx＝
D。
小船做匀速直线运动，vx＝v0cosα
答案 A
解析 如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：
一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。
所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动。
5。
（小船过河问题模型）小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，小船在静水中的航速是4m/s。
求：
（1）要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
最短时间为多少？
（2）要使小船航程最短，应如何航行？
最短航程为多少？
答案
（1）船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s。
（2）船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200m。
解析
（1）如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，
即最短时间tmin＝＝s＝50s。
（2）如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cosα＝＝，解得α＝60°。
课时作业
一、选择题（1～7题为单选题，8～10题为多选题）
1。
关于合运动、分运动的说法，正确的是（ ）
A。
合运动的位移为分运动位移的矢量和
B。
合运动的位移一定比其中的一个分位移大
C。
合运动的速度一定比其中的一个分速度大
D。
合运动的时间一定比分运动的时间长
答案 A
解析 位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误。
2。
小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（ ）
A。
水速小时，位移小，时间也小
B。
水速大时，位移大，时间也大
C。
水速大时，位移大，但时间不变
D。
位移、时间大小与水速大小无关
答案 C
解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定。
水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小。
3。
下列关于运动的合成和分解的几种说法中正确的是（ ）
A。
互成角度的两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
B。
互成角度的两个直线运动的合运动一定不是曲线运动
C。
如果合运动是曲线运动，则其分运动至少有一个是曲线运动
D。
合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
答案 A
解析 做匀速直线运动的物体所受合力为零，根据做直线运动的条件可知，互成角度的两个匀速直线运动的合运动一定是沿合速度方向的匀速直线运动，A正确；根据物体做曲线运动的条件可知，互成角度的两个直线运动的合运动也可能是曲线运动，如互成角度的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动是曲线运动，B、C错误；类比合力与分力的关系可知，合运动的速度不一定大于每一个分运动的速度，D错误。
4。
如图1所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直且悬线总长度不变，则橡皮运动的速度（ ）
图1
A。
大小和方向均不变B。
大小不变，方向改变
C。
大小改变，方向不变D。
大小和方向均改变
答案 A
解析 设铅笔的速度为v，如图所示，橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2。
因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v。
因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向长度减小的速度大小与铅笔移动速度的大小相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，又因v1和v2的大小、方向都不变，故合速度（即橡皮运动的速度）大小、方向都不变，选项A正确。
5。
人用绳子通过光滑定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图2所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是（ ）
图2
A。
v0sinθB。
C。
v0cosθD。
答案 D
解析 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：
一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动。
而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示。
由几何关系可得v＝，所以D正确。
6。
一只小船渡河，运动轨迹如图3所示。
水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变。
由此可以确定（ ）
图3
A。
船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B。
船沿三条不同路径渡河的时间相同
C。
船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D。
船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大
答案 D
解析 因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是船相对于静水做匀加速运动，AB径迹是船相对于静水做匀速运动，AD径迹是船相对于静水做匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，D正确，故选D。
7。
如图4所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为Hm，沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起。
设经ts时间后，A、B之间的距离为lm，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图（ ）
图4
答案 A
解析 根据l＝H－t2，可知B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速率运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A。
8。
如图5所示，某同学在研究运动的合成时做了如下活动：
用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖。
若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是（ ）
图5
A。
笔尖做匀速直线运动
B。
笔尖做匀变速直线运动
C。
笔尖做匀变速曲线运动
D。
笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
答案 CD
解析 由题意知，笔尖的初速度竖直向上，水平向右的加速度恒定，故做匀变速曲线运动，选项A、B错误，C正确；由于竖直方向速度大小恒定，水平方向速度大小逐渐增大，故笔尖的速度方向与水平方向的夹角逐渐变小，D正确。
故本题选C、D。
9。
一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶。
已知快艇在静水中的速度图像如图6甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示。
则（ ）
图6
A。
快艇的运动轨迹一定为直线
B。
快艇的运动轨迹一定为曲线
C。
快艇最快到达岸边，所用的时间为20s
D。
快艇最快到达岸边，经过的位移为100m
答案 BC
解析 两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确。
当快艇垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0。
5m/s2，由d＝at2，得t＝20s，而位移大于100m，选项C正确，D错误。
故选B、C。
10。
在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图7所示。
关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（ ）
图7
A。
相对地面的运动轨迹为直线
B。
相对地面做匀变速曲线运动
C。
t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at
D。
t时间内猴子相对地面的位移大小为
答案 BD
解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子的实际运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定（加速度恒定），所以相对地
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