数模复习题.docx
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数模复习题
1.写出下列线性规划问题的对偶问题：
（1）：
minz=7y1+4y2+8y3
St:
2y1+y2+y3>=2
y1-y2<=1
y1+y2+y3=1
Y1<=0,y2>=0,y3无限制。
（2）minz=7y1+9y2
St:
y1+2y2>=2
5y1+3y2>=1
4y1+y2>=5
6y1+y2>=1
2y1+6y2=3
Y1,y2无限制
2、某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过A、B机器加工。
有关数据如表所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
产品
机器生产率（件/小时）
原料成本（元）
产品价格（元）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ⅰ
10
20
36
65
Ⅱ
20
10
45
80
Ⅲ
10
15
25
50
Ⅳ
20
10
38
70
机器成本（元／小时）
25
25
27
每周可用小时数
180
150
100
解：
设A，B，C三种型号机器生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品各
小时，（i=1，2，3，4，j=1，2，年3）
3、某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要800克蛋白质、80克矿物质、250毫克维生素。
现有4种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如下表所示：
饲料
蛋白质（克）
矿物质（克）
维生素（毫克）
价格（元/公斤）
1
3
1
0．5
0．2
2
2
0．5
1．0
0．7
3
1
0．2
0．2
0．4
4
6
2
2
0．3
要求确定既满足动物生长的营养要求，又使费用最省的选择饲料的方案。
解：
设需1，2，3，4种饲料各
克，（i=1,2,3,4）
4、某农民承包了5块土地共266亩，打算小麦、玉米和蔬菜三种农作物，各种农作物的计划播种面积（亩）以及每块土地种植各种不同的农作物的亩产数量（公斤）见下表，试问怎样安排种植计划可使总产量达到最高？
土地块别
作物种类
甲
乙
丙
丁
戊
计划播种面积
1
2
3
4
650
500
850
1000
600
760
800
950
650
700
900
850
1050
880
900
550
800
950
700
850
86
60
70
50
土地亩数
56
48
64
42
56
解：
设1，2，3，4号农作物在甲乙丙丁戊五块土地分别种
亩（i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5）
max=650*x11+600*x12+650*x13+1050*x14+800*x15
+500*x21+760*x22+700*x23+880*x24+950*x25
+850*x31+880*x32+900*x33+900*x34+700*x35
+1000*x41+950*x42+850*x43+550*x44+850*x45;
x11+x12+x13+x14+x15<=86;
x21+x22+700+x24+x25<=60;
x31+x32+x33+x34+x35<=70;
x41+x42+x43+x44+x45<=50;
x11+x21+x31+x41<=56;
x12+x22+x32+x42<=48;
x13+x23+x33+x43<=64;
x14+x24+x34+x44<=42;
x15+x25+x35+x45<=56;
5、某工厂用甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D四种产品，每种产品消耗原料定额以及三种原料的数量如下表所示:
产品
A
B
C
D
原料数量（吨）
对原料甲的单耗（吨/万件）
2
1
1
2
420
对原料乙的消耗（吨/万件）
2
－
2
1
350
对原料丙的消耗（吨/万件）
1
3
－
2
260
单位产品的利润（万元/万件）
35
22
17
16
（1）求使总利润最大的生产计划和按最优生产计划生产时三种原料的耗用量和剩余量。
（2）求四种产品的利润在什么范围内变化，最优生产计划不会变化。
（3）求三种原料的影子价格。
（4）在最优生产计划下，哪一种原料更为紧缺?
如果甲原料增加220吨，这时紧缺程度是否有变化?
解：
设生产A，B，C，D四种产品
万件（i=1,2,3,4）
6、某航空公司为满足客运量日益增长的需要，正考虑购置一批新的远程、中程及短程的喷气式客机。
每架远程客机价格880万元，中程客机660万元，短程客机550万元。
该公司现有资金18000万元可用于购买飞机。
据估计年净利润（扣除成本）每架远程客机102万元，中程客机80万元，短程客机64万元。
设该公司现有熟练驾驶员可用来配备30架新购飞机。
维修设备足以维修新增加38架新的短程客机，每架中程客机维修量相当于4／3架短程客机，每架远程客机维修量相当于5／3架短程客机。
为获取最大利润，该公司应购买各类客机各多少架?
解：
应该采购客机
架（i=1,2,3）
7、某市为方便学生，拟在新建的7个居民小区增设若干所学校。
已知各备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表1所示，问要覆盖所有居民小区至少应建多少所学校？
对应的校址代号是哪些？
表1
备选校址
A
B
C
D
E
F
小区编号
1，5，7
1，2，5
1，3，5
2，4，5
3，6
4，6
解：
解：
令
答案为在A，D，E三个备选校址建校。
8、在某海上油田的一个区块上有8口油井，它们相互之间的距离如表1所示。
已知1号井
距离海岸最近，这一最近距离为5海里。
试问从海岸经1号井铺设输油管线将各油井同陆地
连接起来，应如何铺设才能使输油管线的长度最短，最短输油管线的铺设长度是多少？
表1（单位：
海里）
到
从
2井
3井
4井
5井
6井
7井
8井
1井
1.3
2.1
0.9
1.7
1.8
3.0
1.5
2井
0.9
1.8
1.2
1.6
2.3
1.1
3井
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4井
0.7
1.6
1.5
0.9
5井
0.9
1.1
0.8
6井
0.6
1.0
7井
0.5
解：
最小支撑树
9、某饭店日夜服务，一天24小时中所需的服务员人数如表所示
时间
所需服务员的最少人数
时间
所需服务员的最少人数
2－6
6
14－18
10
6－10
12
18－22
22
10－14
20
22－2
10
每个服务员每天连续工作8小时。
现在目标使求出满足以上条件的最少人数，把这个问题表示成一个线性规划模型。
解min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;x1..x6表示每班次登记服务员人数;
x1>=6;
x1+x2>=12;
x2+x3>=20;
x3+x4>=10;
x4+x5>=22;
x5+x6>=10;
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
48.00000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
3
VariableValueReducedCost
X16.0000000.000000
X220.000000.000000
X30.0000000.000000
X412.000000.000000
X510.000000.000000
X60.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
148.00000-1.000000
20.000000-1.000000
314.000000.000000
40.000000-1.000000
52.0000000.000000
60.000000-1.000000
70.0000000.00000
10、某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。
第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工俩完成。
第二项工作可由一个技工或一个力工单独完成。
第三项工作可由五个力工组成的小组来完成，或由一个技工领着三个力工俩完成。
已知技工和力工每周工资分别为850元和600元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数为：
第一项工作1000小时，第二项工作2000小时，第三项工作3000小时。
又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。
试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少，使总的工资支出为最少。
解：
设xij为第i项工作采用第j种方式雇佣的单位数
min=48*850（x11+x12+x21+x32）+48*600（2*x12+5*x31+x22+3*x32）;
S.t48（x11+x12）+48*2*x12>=1000;
48*x21+48*x22>=2000;
48*x32+48（5*x31+3*x32）>=3000;
X11+x12+x21+x32<=400;
2*x12+x22+5*x31+3*x32<=800;
Xij>=0且为整数,i=1,2,3;j=1,2
11、某养鸡厂有一万只鸡，用动物饲养和谷物饲料混合喂养。
每天每只鸡平均吃混合饲料1.5斤，其中动物饲料占的比例不得少于2/5。
动物饲料每斤0.8元，谷物饲料每斤0.45元。
饲料公司每周只保证供应谷物饲料50000斤。
问：
饲料应怎样混合，才能使成本最低，请建模。
12．一个工厂利用三种原料能生产6种产品，其有关数据如下表：
原材料
每单位材料所用材料数（千克）
可利用材料数量（千克）
A
B
C
D
E
F
甲
乙
丙
0.5
0.5
0.5
1
0
1
1.0
0.5
1
0
1.5
1
0.5
1
1
0.8
1
1.5
500
100
105
每单位产品利润（元）
4
10
5
10
10.5
8
（1）确定一种最优生产计划；
（2）对目标函数的系数
做灵敏度分析；
（3）对约束条件中的
做灵敏度分析；
（4）如果引进新产品G要用原料甲、乙、丙分别为0.5，1.5，0.5（千克）。
而每单位G可得利润10元，问：
产品是否有利于投产？
它的利润多少时才有利于投产？
10、已知某实际问题的线性规划模型为
maxz=100x1+50x2
10x1+16x2≤200（资源1）
11x1+3x2≥25（资源2）
x1，x2≥0
假定重新确定这个问题的目标为：
P1：
z的值应不低于1900；
P2：
资源1必须全部利用。
将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型。
解这是将线性规划模型转化为目标规划模型的典型例子。
转化后的模型为
maxz=P1d2-+P2d1-
10x1+16x2+d1--d1+=200
11x1+3x2≥25
100x1+50x2+d2--d2+=1900
x1，x2≥0，di-,di+≥0（i=1,2）
11、求解目标规划问题
minz=p1d1-+p2d2-+p3（5d3-+3d4-）+p4d1+
x1+2x2+d1--d1+=6
x1+2x2+d2--d2+=9
x1-2x2+d3--d3+=4
x2+d4--d4+=2
x1，x2≥0，di-,di+≥0（i=1,2,3,4）
解：
12、某种牌号的酒系由三种等级的酒兑制而成。
已知各种等级酒的每天供应量和单位成本如下：
等级ⅰ：
供应量1500单位/天，成本6元/单位；
等级ⅱ：
供应量2000单位/天，成本4.5元/单位；
等级ⅲ：
供应量1000单位/天，成本3元/单位；
该种牌号的酒有三种商标（红、黄、蓝），各种商标酒的混合及售价如表5.2所示。
表5.2
商标
总制配比要求
单位售价/元
红
ⅲ少于10%
ⅰ多于50%
5.5
黄
ⅲ少于70%
ⅰ少于20%
5.0
蓝
ⅲ少于50%
ⅰ多于10%
4.8
为保持声誉，确定经营目标为：
p1兑制要求配比必须严格满足；
p2企业获取尽可能多的利润；
p3红色商标酒每天量不低于2000单位。
试对该问题建立目标规划模型；
解设j=1,2,3分别代表红、黄、蓝三种商标的离序号，则
Xij——第i等级酒在第j种商标酒中所占数量；
yj——第j等商标酒的生产数量
可建立目标规划数学模型如下：
minz=p1（d1-+d1++d2-+d2++d3-+d3++d4-+d4++d5-+d5++d6-+d6+）+p2d7-+p3d8-
y1=X11+X21+X31
y2=X12+X22+X32（产量关系约束）
y3=X13+X23+X33
X11+X12+X13≤1500
X21+X22+X23≤2000（原料限制约束）
X31+X32+X33≤1000
p1X31+d1--d1+=10%y1
X11+d2--d2+=50%y1
X32+d3--d3+=70%y2
X12+d4--d4+=20%y2（配比限制）
X33+d5--d5+=50%y3
X13+d6--d6+=10%y3
P25.5y1+5.0y2+4.8y3+d7--d7+=5.5×4500（利润限制）
P3y1+d8--d8+=2000（红色商标酒产量限制）
yj≥0,Xij≥0,dk-,dk+≥0,（i=1,2,3;j=1,2,3;k=1,2,3,…8）
13、有九个城市V1，V2，...，V9，其公路网如下图所示，弧旁数字是该公路的长度，有一
批货物从V1走到V9，问走哪一条路最短。
解：
14、求解以下网络从A到F的最短路径。
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