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高考文科数学真题分类解析

2014年高考文科数学真题分类解析（必修五部分）

蔡凤敏2014.09.28

专题一解三角形

一、选择题

1.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点

沿墙面的射击线

移动，此人为了准确瞄准目标点

，需计算由点

观察点

的仰角

的大小（仰角

为直线AP与平面ABC所成角）。

若

，

，

则

的最大值（）

A．

B．

C．

D．

2.[2014·四川卷]如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（　　）

图13

A．240（－1）mB．180（－1）m

C．120（－1）mD．30（＋1）m

3.[2014·江西卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为（　　）A．－B.C．1D.

二、填空题

1.[2014·全国新课标卷Ⅰ]如图13，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.

2.在

中，内角

所对的边分别是

.已知

，

，则

的值为_______.

3.[2014·北京卷]在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝________；sinA＝________．

4.[2014·福建卷]在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．

5.[2014·湖北卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．

6.[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．

三、解答题

1.[2014·安徽卷]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cosA与a的值．

2.[2014·浙江卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sinAsinB＝2＋.

（1）求角C的大小；

（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．

3.[2014·重庆卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

（1）若a＝2，b＝，求cosC的值；

（2）若sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC，

且△ABC的面积S＝sinC，求a和b的值．

（2）若

，且

的面积

，求

和

的值.

4.[2014·山东卷]△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.

（1）求b的值；

（2）求△ABC的面积．

5.[2014·湖南卷]如图14所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，

∠ADC＝，∠BEC＝.

（1）求sin∠CED的值；

（2）求BE的长．

6.[2014·辽宁卷]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，

cosB＝，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

7.[2014·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，

sinB＝sinC.

（1）求cosA的值；

（2）求cos的值．

8.[2014·新课标全国卷Ⅱ]四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

专题二数列

四、选择题

1.设等比数列

的前n项和为

，若

则

（）

A．31B．32C．63D．64

2.[2014·重庆卷]在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　）

A．5B．8C．10D．14

3.[2014·天津卷]设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（　　）

A．2B．－2C.D．－

4.[2014·辽宁卷]设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（　　）

A．d＞0B．d＜0C．a1d＞0D．a1d＜0

5.[2014·新课标全国卷Ⅱ]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）

A．n（n＋1）B．n（n－1）

C.D.

五、填空题

1.[2014·新课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．

2.[2014·江西卷]在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．

3.[2014·安徽卷]如图13，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．

4.[2014·广东卷]等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．

5.[2014·江苏卷]在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．

六、解答题

1.[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

2.数列

满足

.

（1）设

，证明

是等差数列；

（2）求

的通项公式.

3.[2014·江西卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：

对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

4.[2014·北京卷]已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{bn}的前n项和．

5.[2014·福建卷]在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.

（1）求an；

（2）设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.

6.[2014·湖北卷]已知等差数列{an}满足：

a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？

若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

7.[2014·湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an＋（－1）nan，求数列{bn}的前2n项和．

8.[2014·山东卷]在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝a，记Tm＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋（－1）nbn，求Tn.

9.[2014·陕西卷]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

（1）若a，b，c成等差数列，证明：

sinA＋sinC＝2sin（A＋C）；

（2）若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cosB的值．

10．[2014·浙江卷]已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

（1）求d及Sn；

（2）求m，k（m，k∈N*）的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

11.[2014·重庆卷]已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．

（1）求an及Sn；

（2）设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－（a4＋1）q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.

12.[2014·安徽卷]数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），n∈N*.

（1）证明：

数列是等差数列；

（2）设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.

13.[2014·江苏卷]设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．

（1）若数列{an}的前n项和Sn＝2n（n∈），证明：

{an}是“H数列”．

（2）设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值．

（3）证明：

对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn（n∈）成立．

专题三不等式

七、选择题

1.[2014·全国新课标卷Ⅰ]设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝（　　）

A．－5B．3C．－5或3D．5或－3

2.不等式组

的解集为（）

A．

B．

C．

D．

3.[2014·天津卷]设变量

满足约束条件

则目标函数

的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax

A．x3>y3B．sinx>siny

C．ln（x2＋1）>ln（y2＋1）D.>

5.[2014·四川卷]若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A.＞B.＜C.＞D.＜

6.[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为（　　）

A．8B．7C．2D．1

7.[2014·福建卷]已知圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：

若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（　　）A．5B．29C．37D．49

8.[2014·广东卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于（　　）

A．7B．8C．10D．11

9.[2014·湖北卷]若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是（　　）

A．2B．4C．7D．8

10[2014·山东卷]已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（　　）

A．5B．4C.D．2

11.[2014·四川卷]执行如图12的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）

图12

A．0B．1C．2D．3

12.[2014·重庆卷]若log4（3a＋4b）＝log2，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2　B．7＋2　

C．6＋4　D．7＋4　

13.[2014·福建卷]要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）

A．80元B．120元

C．160元D．240元.

八、填空题

1.[2014·全国新课标卷Ⅰ]设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是________．

2.[2014·全国卷]设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．

3.[2014·安徽卷]不等式组表示的平面区域的面积为________．

4.[2014·北京卷]若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．

5.[2014·湖南卷]若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．

6.[2014·辽宁卷]已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．

7.[2014·浙江卷]若实数x，y满足则x＋y的取值范围是________．

8.[2014·湖北卷]某项研究表明：

在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒）、平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式为F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/小时．

9.[2014·江苏卷]若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是______．

10.[2014·辽宁卷]对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．

11.[2014·浙江卷]已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．

九、解答题

1.[2014·全国新课标卷Ⅰ]

若a＞0，b＞0，且＋＝.

（1）求a3＋b3的最小值；

（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？

请说明理由．

高考文科数学试题分类解析（必修五）答案

专题一解三角形

一、选择题

1.D

2.C　[解析]由题意可知，AC＝＝120.

∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin（60°＋45°）＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝.

在△ABC中，由正弦定理得＝，

于是BC＝＝＝120（－1）（m）．故选C.

3.D　[解析]由正弦定理得，原式＝＝2－1＝2×－1＝.

二、填空题

1.150　[解析]在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，所以AC＝100.在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理有＝，即AM＝×100＝100，于是在Rt△AMN中，有MN＝sin60°×100＝150.

2.解：

因为

，所以

，解得

，

.

所以

.

3.2　　[解析]由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2；cosA＝＝＝，∴sinA＝＝.

4.1　[解析]由＝，得sinB＝＝1，

即B＝90°，所以△ABC为以AB，BC为直角边的直角三角形，

则AB＝＝＝1，即AB等于1.

5.或　[解析]由正弦定理得＝，即＝，解得sinB＝.又因为b>a，所以B＝或.

6.　[解析]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c.故

cosC＝＝＝＝－≥－＝，

当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．

三、解答题

1.解：

由三角形面积公式，得

，故

因为

所以

①当

时，由余弦定理得

所以

② 当

时，由余弦定理得

所以

2.解：

（1）由已知得

2[1－cos（A－B）]＋4sinAsinB＝2＋，

化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝，

故cos（A＋B）＝－，

所以A＋B＝，从而C＝.

（2）因为S△ABC＝absinC，

由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝.

3.解：

（1）由题意可知c＝8－（a＋b）＝.

由余弦定理得cosC＝＝

＝－.

（2）由sinAcos2＋sinBcos2＝2sinC可得

sinA·＋sinB·＝2sinC，

化简得sinA＋sinAcosB＋sinB＋sinBcosA＝4sinC.

因为sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）＝sinC，所以sinA＋sinB＝3sinC.

由正弦定理可知a＋b＝3c.又a＋b＋c＝8，所以a＋b＝6.

由于S＝absinC＝sinC，所以ab＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，所以b＝3.

4.解：

（1）在△ABC中，

由题意知，sinA＝＝.

又因为B＝A＋，

所以sinB＝sin＝cosA＝.

由正弦定理可得，b＝＝＝3.

（2）由B＝A＋得cosB＝cos＝－sinA＝－.

由A＋B＋C＝π，得C＝π－（A＋B），

所以sinC＝sin[π－（A＋B）]

＝sin（A＋B）

＝sinAcosB＋cosAsinB

＝×＋×

＝.

因此△ABC的面积S＝absinC＝×3×3×＝.

5.解：

设∠CED＝α.

（1）在△CDE中，由余弦定理，得

EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，

于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－

6＝0，解得CD＝2（CD＝－3舍去）．

在△CDE中，由正弦定理，得＝.

于是，sinα＝＝＝，即

sin∠CED＝.

（2）由题设知，0＜α＜，于是由

（1）知，

cosα＝＝＝.

而∠AEB＝－α，所以

cos∠AEB＝cos＝coscosα＋sinsinα

＝－cosα＋sinα

＝－×＋×＝.

在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝，故

BE＝＝＝4.

6.解：

（1）由·＝2，得c·acosB＝2，

又cosB＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

联立得或

因为a＞c，所以a＝3，c＝2.

（2）在△ABC中，sinB＝＝＝.

由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.

因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝

＝.

于是cos（B－C）＝cosBcosC＋sinBsinC＝

×＋×＝.

7.解：

（1）在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c.又由a－c＝b，有a＝2c.

所以cosA＝＝＝.

（2）在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.

所以cos＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.

8.解：

（1）由题设及余弦定理得

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC

＝13－12cosC，①

BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA

＝5＋4cosC．②

由①②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.

（2）四边形ABCD的面积

S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC

＝sin60°＝2.

专题二数列

四、选择题

1.C　[解析]设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝（－1）（1－43）＝63.

2.B　[解析]a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.

3.D　[解析]∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×（－1）＝4a1－6，且S1，S2，S4成等比数列，∴（2a1－1）2＝a1（4a1－6），解得a1＝－.

4.D　[解析]令bn＝2a1an，因为数列{2a1an}为递减数列，所以＝＝2a1（an＋1－an）＝2a1d<1，所以a1d<0.

5.A　[解析]由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即（a2＋4）2＝a2（a2＋12），解得a2＝4，即a1＝2，所以Sn＝2n＋×2＝n（n＋1）．

五、填空题

1.　[解析]由题易知a8＝＝2，得a7＝；a7＝＝，得a6＝－1；a6＝＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝.

2..　[解析]由题可知a8>0且a9<0，即7＋7d>0且7＋8d<0，所以－1

3..　[解析]在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝AB＝1，…，A6A7＝a7＝·AB＝2×＝.

4.5　[解析]在等比数列中，a1a5＝a2a4＝a＝4.因为an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝（a1a5）（a2a4）a3＝a＝25，

所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2（a1a2a3a4a5）＝log225＝5.

5.4　[解析]由等比数列的定义可得，a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，即a2q6＝a2q4＋2a2q2.又an＞0，所以q4－q2－2＝0，解得q2＝2，故a6＝a2q4＝1×22＝4.

六、解答题

1.解：

（1）方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，

故d＝，从而得a1＝.

所以{an}的通项公式为an＝n＋1.

（2）设的前n项和为Sn，由

（1）知＝，

则Sn＝＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋，

两式相减得

Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.

2.．解：

（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得

an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，

即bn＋1＝bn＋2.

又b1＝a2－a1＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由

（1）得bn＝1＋2（n－1），

即an＋1－an＝2n－1.

于是

所以an＋1－a1＝n2，

即an＋1＝n2＋a1.

又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.

3.解：

（1）由Sn＝，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.

（2）证明：

要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，即（3n－2）2＝1·（3m－2），即m＝3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，

所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

4.解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d＝＝＝3.

所以an＝a1＋（n－1）d＝3n（n＝1，2，…）．

设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得

q3＝＝＝8，解得q＝2.

所以bn－an＝（b1－a1）qn－1＝2n－1.

从而bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

（2）由

（1）知bn＝3n＋2n－1（n＝1，2，…）．

数列{3n}的前n项和为n（n＋1），数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，

所以，数列{bn}的前n项和为n（n＋1）＋2n－1.

5.解：

（1）设{an}的公比为q，依题意得

解得

因此，an＝3n－1.

（2）因为bn＝log3an＝n－1，

所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.

6.．解：

（1）设数列{an}的公差为d，

依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列