第1章 命题逻辑 教案祥解.docx
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第1章命题逻辑教案祥解
第1章命题逻辑
1.教学目的
数理逻辑主要是研究推理的科学，是运用数学的方法研究思维形式和规律，特别是研究数学中的思维形式和规律。
本章培养学生的抽象思维能力，使学生掌握系统化的推理方法。
2.教学内容（本章目录与学时安排）
1.1现代逻辑学的基本研究方法（自学）
1.2命题及其表示法（2学时）
1.2.1命题的概念
1.2.2复合命题
1.2.3联结词
1.2.4复合命题真假值
1.3命题公式与翻译（1学时）
1.3.1命题公式的定义
1.3.2公式的层次
1.3.3翻译
1.4真值表与等价公式（1学时）
1.4.1真值表
1.4.2等价公式
1.5重言式与等值演算（2学时）
1.5.1重言式
1.5.2等值演算
1.6对偶与范式（2学时）
1.6.1对偶
1.6.2简单合取式和简单析取式
1.6.3范式
1.6.4范式的唯一性—主范式
1.7其他联结词（自学）
1.8推理理论（2学时）
1.8.1有效推理
1.8.2有效推理的等价定理
1.8.3重演蕴含式
1.8.5自然推理系统
3．基本要求（课堂教学目标）见每节的具体要求。
4．重点难点见每小节的具体重难点。
5.练习题与思考题附后。
6．教学后记主要是每节课后学生的问题和作业情况记载与分析。
7.参考章节
《离散数学》（第2版）（贲可荣、袁景凌、高志华，清华大学出版社）第1章
《离散数学》（耿素云，屈皖聆高等教育出版社）第1-3章
1.1现代逻辑学的基本研究方法（自学）
1.2命题及其表示法（2学时）
基本要求
（1）会判断命题；
（2）会使用联结词和复合命题；
（3）会进行命题的符号化。
重点难点
（1）蕴含联结词的含义和使用；
（2）命题符号化。
教学方法
（1）多媒体与板书教学相结合；
（2）老师演算推理示范与启发式教学相结合。
教学内容
1.2.1命题的概念
命题是研究思维规律的科学中的一项基本要素，它是一个判断的语言表达。
定义1.1命题是一个可以判断真假的陈述句。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值，真值只取两个值：
真或假。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是惟一的。
判断给定句子是否为命题，应该分两步：
首先判定它是否为陈述句，其次判断它是否有惟一的真值。
例1.1判断下列句子是否为命题。
（1）6是素数。
（2）
是无理数。
（3）x大于y。
（4）土星上有冰。
（5）2100年元旦是晴天。
（6）π大于
吗？
（7）请不要吸烟！
（8）这朵花真美丽啊！
（9）我正在说假话。
解:
本题的9个句子中，（6）是疑问句，（7）是祈使句，（8）是感叹句，因而这3个句子都不是命题。
剩下的6个句子都是陈述句，但（3）无确定的真值，根据x,y的不同取值情况它可真可假，即无惟一的真值，因而不是命题。
若（9）的真值为真，即“我正在说假话”为真，也就是“我正在说真话”，则又推出（9）的真值应为假；反之，若（9）的真值为假，即“我正在说假话”为假，也就是“我正在说假话”，则又推出（9）的真值应为真。
于是（9）既不为真又不为假，因此它不是命题。
像（9）这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论。
凡是悖论都不是命题。
本例中，只有
（1），
（2），（4），（5）是命题。
（1）为假命题，
（2）为真命题。
虽然今天我们不知道（4），（5）的真值，但它们的真值客观存在，而且是惟一的，将来总会知道（4）的真值，到2100年元旦（5）的真值就真相大白了。
命题一般用英文字母表示，如p：
6是素数。
q：
土星上有冰。
1.2.2复合命题
现实生活中的各种论述和推理，出现的命题多数比例1.1中的命题更加复杂。
例如下列命题：
（1）4是偶数且是2的倍数。
（2）武汉不是个小城市。
（3）小王或小李考试得第一。
（4）如果你努力，则你能成功。
（5）三角形是等边三角形，当且仅当三边相等。
上述命题都是通过诸如“或”，“且”、“如果……，则……”等连词联结而成，这样命题，称为复合命题。
相对地，构成复合命题的命题称为简单命题。
1.2.3联结词
日常生活中的联结词可以是“不”、“或者”、“并且”、“当且仅当”等等，在命题逻辑中，我们用真值表给出这些联结词的严格定义，使其表达意义准确，不会产生歧义，这样的联结词称为命题联结词。
例1.2
是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也是素数；2是素数当且仅当3也是素数。
要表示例1.2中的命题，通常通过下列“联结词”来构成复合命题。
方式一：
例1.2中“
是有理数是不对的”是“
是有理数”的否定。
定义1.2设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式,记作┐p，符号┐称作否定联结词。
并规定┐p为真当且仅当p为假。
表1.1┐p真值表
p
┐p
T
F
F
T
方式二：
例1.2中“2是偶素数”是“2是偶数”且“2是素数”的复合。
定义1.3设p,q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词。
并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
表1.2p∧q的真值表
p
q
p∧q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
请思考“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”、“一面……一面……”、“不但……还是……”、“是……又是……”等联结而成的复合命题是否仍为合取式？
还有哪些“合取词”？
方式三：
例1.2中“2或4是素数”为“2是素数”与“4是素数”通过“或”复合而成。
定义1.4设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词。
并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
注意：
按定义1.4在析取式p∨q中，若p，q都为真，则p∨q为真。
“或”还有另外一种用法：
当p，q都为真时，析取起来为假。
前者称为相容或，后者称为排斥或（排异或）。
表1.3p∨q的真值表
p
q
p∨q
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
例1.3试将下列复合命题符号化。
（1）张洁爱唱歌或爱听音乐。
（2）张洁要嫁王杰或李涛。
解在解题时，先将原子命题符号化。
（1）p：
张洁爱唱歌。
q：
张洁爱听音乐。
显然
（1）中“或”为相容或，即p与q可以同时为真，符号化为p∨q.
（2）r：
张洁嫁王杰。
s：
张洁嫁李涛。
由题意可知，
（2）中“或”应为排斥或。
r，s的联合取值情况有四种：
同真，同假，一真一假（两种情况）。
如果也符号化为r∨s，这违背题意。
因而不能符号化为r∨s，可以符号化为（r∧┐s）∨（┐r∧s）。
此复合命题为真当且仅当r，s中一个为真，一个为假，它准确地表达了
（2）的要求。
可见，相斥或可由相容或表示出来。
思考题：
相容或能否由相斥或表示出来呢？
方式四：
例1.2中“如果2是素数，则3也是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“如果……,则……”复合而成的。
定义1.5设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。
并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
p→q的逻辑关系表示q是p的必要条件。
表1.4p→q的真值表
p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
条件命题假言命题通常有三种形式：
（1）因果关系。
如“如果天下雨，则地湿”。
（2）推理关系。
如“如果有人见过飞碟，那么飞碟就被人见过”。
“假如语言能够生产物质资料，那么夸夸其谈的人就成为世界上最富有的人了”。
（3）打赌：
“如果他能办成这事，太阳就要从西边生起来了”。
“如果A则”的其他表示形式：
“如果不A则不B”、“只有B才A”、“A仅当B”、“除非B否则不A”。
注意：
在使用联结词→时，要特别注意以下几点：
（1）在自然语言里，特别是在数学中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。
例如，“只要p，就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非q，否则非p”等等。
以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是q是p的必要条件，因而所用联结词均应符号化为→，上述各种叙述方式都应符号化为p→q.
（2）在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系。
而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系。
（3）在数学或其他自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前件p为真，后件q也为真的推理关系。
但在数理逻辑中，作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，p→q均为真。
也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p→q为假。
方式五：
例1.2中“2是素数当且仅当3是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“当且仅当”复合而成的。
定义1.6设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等值式，记作pq，称作等价联结词。
并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
pq的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。
表1.5pq的真值表
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
以上定义了五种最基本的联结词┐，∧，∨，→，，将它们组成一个集合{┐，∧，∨，→，}，称为一个联结词集。
其中┐为一元联结词，其余的都是二元联结词。
使用这些联结词可以将复杂命题表示成简单的符号公式。
例1.4将下列命题符号化。
（1）肖斌既用功又聪明。
（2）肖斌不仅用功而且聪明。
（3）肖斌虽然聪明，但不用功。
（4）张宇和王丽都是三好学生。
（5）张宇与王丽是同学。
解首先将原子命题符号化：
p:
肖斌用功；q:
肖斌聪明；r:
张宇是三好学生；
s:
王丽是三好学生；t:
张宇与王丽是同学。
（1）到（4）都是复合命题，它们使用的联结词表面看来各不相同，但都是合取联结词，都应符号化为∧，
（1）到（4）分别符号化为p∧q，p∧q，q∧┐p，r∧s.
在（5）中，虽然也使用了联结词“与”，但这个联结词“与”是联结该句主语的，而整个句子仍是简单陈述句，所以（5）是原子命题，符号化为t。
1.2.4复合命题真假值
将原子命题之间的真假关系抽象地概括出来，即从原子命题的真假来考虑复合命题的真假。
把与复合命题相当的由命题联结词构成的形式结构称为真值形式，命题逻辑中的公式都是表达真值形式的。
例1.5将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值：
（1）如果3+3＝6，则雪是白的。
（2）如果3+3≠6，则雪是白的。
（3）如果3+3＝6，则雪不是白的。
（4）如果3+3≠6，则雪不是白的。
以下命题中出现的a是一个给定的正整数：
（5）只要a能被4整除，则a一定能被2整除。
（6）a能被4整除，仅当a能被2整除。
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。
（10）只有a能被4整除，a才能被2整除。
解令p：
3+3＝6，p的真值为T。
q：
雪是白色的，q的真值也为T。
（1）到（4）的符号化形式分别为p→q，┐p→q，p→┐q，┐p→┐q。
这四个复合命题的真值分别为T，T，F，T。
以上四个蕴涵式的前件p与后件q没有什么内在的联系。
令r：
a能被4整除；s：
a能被2整除。
分析，（5）到（9）五个命题均叙述的是a能被2整除是a能被4整除的必要条件，只是在叙述上有所不同，因而都符号化为r→s。
由于a是给定的正整数，因而r与s的真值是客观存在的，但是我们不知道。
可是r与s是有内在联系的，当r为真（a能被4整除）时，s必为真（a能被2整除），于是r→s不会出现前件真后件假的情况，因而r→s的真值为T。
而在（10）中，将a能被4整除看成了a能被2整除的必要条件，因而应符号化为s→r。
由于a能被2整除不保证a一定能被4整除，所以当我们不知道给定的a为何值时，也不能知道s→r会不会出现前件为假的情况，因而也不知道s→r的真值。
例1.6将下列命题符号化，并讨论它们的真值。
（1）
是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
（2）2+3＝5的充要条件是
是无理数。
（2）若两圆A，B的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然。
（3）当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解令p：
是无理数，真值为T，
q：
加拿大位于亚洲，真值为F，
则将
（1）符号化为pq，其真值为F。
令r：
2＋3＝5，其真值为T，则将
（2）符号化为rp，真值为T.
令s：
两圆A，B面积相等，t：
两圆A，B的半径相等，
则将（3）符号化为st，虽然不知道s，t的真值，但由s与t的内在联系可知，st的真值为T。
令u：
王小红心情愉快，v：
王小红唱歌，
则将（4）符号化为uv。
其真值要由具体情况而定。
下面将由五个命题联结词构成的复合命题的真值总结如表1.6所示。
表1.6基本复合命题的真值
pq
┐p
p∧q
p∨q
p→q
pq
TT
F
T
T
T
T
TF
F
F
T
F
F
FT
T
F
T
T
F
FF
T
F
F
T
T
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序：
（），┐，∧，∨，→，，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
例1.7假设p，q，r的真值分别为T，T，F，求下列复合命题的真值：
（1）（（┐p∧q）∨（p∧┐q））→r
（2）（q∨r）→（p→┐r）
（3）（┐p∨r）（p∧┐r）
解:
容易算出
（1），
（2），（3）的真值分别为T，T，F。
教学后记
本节掌握情况较好，部分学生对蕴涵联结词理解不够。
1.3命题公式与翻译（1学时）1.4真值表与等价公式（1学时）
基本要求
（1）会判断命题公式及其层次；
（2）复合命题的符号化；
（3）用真值表判断真值和等价公式证明。
重点难点
（1）根据题意，进行复合命题的正确符号化。
教学方法
（3）多媒体与板书教学相结合；
（4）老师演算推理示范与启发式教学相结合。
教学内容
1.3.1命题公式的定义
由于简单命题是真值惟一确定的命题逻辑中最基本的研究单位，所以也称简单命题为命题常项或命题常元。
从本节开始对命题进一步抽象，首先称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元，也用p,q,r,…表示命题变项。
当p,q,r,…表示命题变项时，它们就成了取值T或F的变项，因而命题变项已不是命题。
这样一来，p,q,r,…既可以表示命题常项，也可以表示命题变项。
在使用中，需要由上下文确定它们表示的是常项还是变项。
下面给出命题公式的定义。
定义1.7
（1）单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式。
（2）若A是合式公式，则（┐A）也是合式公式。
（3）若A，B是合式公式，则（A∧B），（A∨B），（A→B），（AB）也是合式公式。
（4）只有有限次地应用
（1）～（3）形式的符号串才是合式公式。
合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称为公式。
如：
（p→q）∧（qr），（p∧q）∧┐r，p∧（q∧┐r）等都是合式公式，而pq→r，（p→（r→q）等不是合式公式。
注意：
定义1给出的合式公式的定义方式称为归纳定义方式，以后还将多次出现这种定义方式。
1.3.2公式的层次
为描述公式构造的复杂性，引入下列“层次”定义。
定义1.8
（1）若公式A是单个的命题变项，则称A为0层公式。
（2）称A是n+1（n≥0）层公式是指下面情况之一：
（a）A＝┐B，B是n层公式；
（b）A＝B∧C，其中B，C分别为i层和j层公式，且n＝max（i，j）；
（c）A＝B∨C，其中B，C的层次及n同（b）；
（d）A＝B→C，其中B，C的层次及n同（b）；
（e）A＝BC，其中B，C的层次及n同（b）；
（3）若公式A的层次为k，则称A是k层公式。
易知，（┐p∧q）→r，（┐（p→┐q））∧（（r∨s）┐p）分别为3层和4层公式。
1.3.3翻译
有了命题的概念，就可以用命题公式表示复合命题，常将这个过程称为命题的符号化，或称为命题的翻译。
命题的翻译可按如下步骤进行：
①找出复合命题中的原子命题；
②用小写英文字母或带下标的小写英文字母表示这些原子命题；
③使用命题联结词将这些小写英文字母或带下标的小写英文字母连接起来。
例1.8试翻译下列命题。
（1）这个材料无趣,习题也不难,而且这门课程也不使人喜欢。
（2）如果这个材料无趣,或者习题难,那末这门课程就不使人喜欢。
（3）这个材料有趣,意味着习题难,反之亦然。
（4）或者这个材料有趣,或者习题难,二者恰具其一。
解：
设p表示“这个材料有趣”,q表示“这些习题难”,r表示“这门课使人喜欢”,
（1）┐p∧┐q∧┐r
（2）（┐p∨q）→┐r
（3）pq
（4）（p∨q）∧┐（p∧q）,或为（p∧┐q）∨（┐p∧q）
注意，使用上述逻辑联结词，并不能表达自然语言中的所有连词。
如“与其说他是将军，到不如说他是院士”，“李丽爱他的孩子甚与他的丈夫”，“父在母先亡”，“即使将地球上的氧气全部拿来也救不了他”，“上次张三打了王五三个耳光”。
1.4.1真值表
定义1.9设p1,p2,…,pn是出现在公式A中的全部命题符号，给p1,p2,…,pn各指定一个真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的真值为T，则称这组值为A的成真赋值；若使A的真值为F，则称这组值为A的成假赋值。
在本书中，对含n个命题变项的公式A的赋值情况做如下规定：
若A中出现的命题符号为p1,p2,…,pn，给定A的赋值α1,α2,…,αn是指p1＝α1，p2＝α2,…，pn＝αn。
上述αi取值为T或F，i＝1,2,…,n。
例如，在公式（┐p1∧┐p2∧┐p3）∨（p1∧p2）中，FFF（p1＝F，p2＝F，p3＝F），TTF（p1＝T，p2＝T，p3＝F）都是成真赋值，而FFT（p1＝F，p2＝F，p3＝T），FTT（p1＝F，p2＝T，p3＝T）都是成假赋值。
不难看出，含n（n≥1）个命题变项的公式共有2n个不同的赋值。
例如，若公式中共有p、q、r三个不同命题变项，则共有23=8个指派，分别是：
（T,T,T）,（T,T,F）,（T,F,T）,（T,F,F）,（F,T,T）,（F,T,F）,（F,F,T）,（F,F,F）。
命题逻辑里的公式都是表达真值形式的，真值形式也可以用图表来说明，这种表就是真值表。
定义1.10在命题公式A中，对A的每一个赋值，就确定了A的一个真值，把它们汇列成表，称该表为命题公式A的真值表。
例1.9求公式（┐p∧q）→┐r的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
解该公式是含3个命题变项的合式公式，它的真值表如表1.7所示。
表1.7（┐p∧q）→┐r的真值表
pqr
┐p
┐r
┐p∧q
（┐p∧q）→┐r
TTT
F
F
F
T
TTF
F
T
F
T
TFT
F
F
F
T
TFF
F
T
F
T
FTT
T
F
T
F
FTF
T
T
T
T
FFT
T
F
F
T
FFF
T
T
F
T
从表1.7可知，该公式的成假赋值为FTT，其余7个赋值都是成真赋值。
1.4.2等价公式
给定两公式A、B，A、B中共出现n个不同的命题变项，对于所有的2n个不同的指派，A、B两公式的真值均相同，我们就说公式A与公式B是等价的。
定义1.11设A和B是两个命题公式，若对A和B的任一赋值，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等的，记为AB。
根据定义，可以用真值表证明命题公式是等价的。
说明：
等值与等价不是一回事，等值是命题联结词，即AB是公式，在某些指派下为真，某些指派下为假。
等价不是逻辑联结词是公式关系符，AB描述的是A、B两公式之间的关系，只有“成立”，“不成立”的区别。
例如，公式A为（pq），公式B为（p∨q），以下给公式A与公式B的真值表如表1.8所示：
表1.8公式A与公式B的真值表
pq
（pq）
p∨q
TT
F
F
TT
F
F
TF
T
T
TF
T
T
FT
T
T
FT
T
T
FF
T
T
FF
T
T
由真值表可见公式A与公式B在2n个不同的指派下，两公式的真值均相同，因此可判定“公式A与公式B等价”。
教学后记本节掌握情况较好。
1.5重言式与等值演算（2学时）
基本要求
（1）会判断命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式）；
（2）熟练掌握16个等值演算的公式；
（3）掌握用等值演算的方法证明等式。
重点难点
（1）用等值演算的方法判断公式类型，化简等式，证明等式。
教学方法
（1）多媒体与板书教学相结合；
（2）老师演算推理示范与启发式教学相结合。
教学内容
1.5.1重言式
进一步对命题公式进行讨论，可根据公式的取值情况对公式进行如下分类。
定义1.12设A：
A（p1，p2，……，pn），B：
B（p1，p2，……，pn）两个命题公式，这里pi（i=1，2，…，n）不一定在两公式中同时出现；如果AB是重言式，即A与B对任何指派都有相同的真值，则称A与B逻辑等价（等值），记为AB，也称为逻辑恒等式，读做“A恒等于B”。
判断两个命题公式是否等价可以用真值表方法，也可以采用等价演算和范式方法（后面再介绍）。
定义1.13设A为任一命题公式。
（1）若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重言式（tautology）或永真式。
（2）若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛盾式（falsity）或永假式。
（3）若A不是矛盾式,则称A是可满足式。
从定义不难看出以下几点：
1.A是可满足式的等价定义是：
A至少存在一个成真赋值。
2.重言式一定是可满足式，但反之不真。
因而，若公式A是可满足式，且它至少存在一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式。
3.真值表可用来判断公式的类型:
（1）若真值表最后一列全为T，则公式为重言式。
（2）若真值表最后一列全为F，则公式为矛盾式。
（3）若真值表最后一列中至少有一个T，则公式为可满足式。
注意，关于n个命题变元p1,p2,…,pn,可以构造多少个真值表呢?
n个命题变元共产生2n个不同赋值,在每个赋值下,公式的值只有T和F两个值。
于是n个命题变元的真值表共有
种不同情况。
例1.10下列各公式均含两个命题变项p与q，它们中哪些具有相同的真值表?
（1）p→q
（2）pq
（3）（p∧q）
（4）（p→q）∧（q→p）
（5）q∨p
解构造过程不写,表1.9给出了这5个公式的真值表。
从表中可看出,
（1）,（3）具有相同的真值表,
（2）,（4）具有相同的真值表。
表1.95个公式的真值表
pq
p→q
pq
（p∧q）
（p→q）∧（q→p）
q∨p
TT
T
T
T
T
T
TF
F
F
F
F
T
FT
T
F
T
F
F
FF
T
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