六年级下册奥数专题练习立体图形的计算含答案 全国通用.docx

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六年级下册奥数专题练习立体图形的计算含答案全国通用

立体图形的计算

　　【表面积的计算】

　　例1一个正方体木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大小不等的长方体60块（如图5.69）。

那么，这60块长方体的表面积的和是平方米。

　　（1988年北京小学数学奥林匹克邀请赛试题）

　　讲析：

不管每次锯的长方体大小如何，横着锯2次一共增加了4个正方形面；前后竖直方向锯3次共增加了6个正方形面；左右竖直方向锯4次共增加了8个正方形面。

原来大正方体有6个正方形面，所以一共有24个正方形面。

　　所以，60块长方体的表面积之和是

　　（1×1）×24＝24（平方米）。

　　例2图5.70是由19个边长都是2厘米的正方体重叠而成的。

求这个立体图形的外表面积。

　　（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

如果按每一层有多少个正方体，然后再数出每层共有多少个外表面正方形，则很麻烦。

于是，我们可采用按不同的方向来观察的方法去计算。

　　俯视，看到9个小正方形面；正视，看到10个小正方形面；侧视，看到8个小正方形面。

　　所以，这个立体图形的表面积是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。

　　【体积的计算】

　　例1一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体，如图5.71，纸盒的容积有多大？

（π取3.14）

　　（全国第四届“华杯赛”复赛试题）

　　讲析：

因圆柱体的高、底面直径以及正方体的棱长都相等。

故可设正方

　　即：

正方体纸盒的容积是800立方厘米。

　　例2在一个棱长4厘米的正方体的上面、右面、前面这三个面的中心分别挖一个边长1厘米的正方形小孔（如图5.72所示），并通过对面，求打孔后剩下部分的体积。

　　（北京市第二届“迎春杯”小学数学竞赛试题）。

　　讲析：

打完孔之后，在大正方体正中央就有一个1×1×1的空心小正方体。

　　三个孔的体积是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。

　　所以，打孔后剩下部分的体积是4×4×4—10=54（立方厘米）。

　　例3一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体，从它的上面尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余部分中再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

　　（北京市第八届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：

解本题的关键，是要想到每次以哪个边长作棱长去切下正方体。

实际上，我们可以将三个数轮换相减，即，在三个数21、15、12中，第一次取最小数12为棱长切下一个正方体；第二次取大数与

小数的差21—12=9为棱长切下一个正方体；第三次取15与9的差为棱长切下一个正方体（如图5.73）

　　所以，剩下的体积是

　　21×15×12-（123+93+63）=107（立方厘米）。

解一般题用得较多的技巧

　　【巧换角度】从多种角度去思考、分析复合应用题，不仅可找到多种解题方法，而且还可找到比较巧妙的解法。

例如：

　　“挖一段56米长的水沟，每天挖7米，已经挖了5天。

照这样计算，剩下的还要挖几天？

”

　　按一般思考角度，可先求剩下的长度，再求要挖的天数。

如果能换一个角度，先求共要挖的天数，再求还要挖的天数，那么解答起来就既简便，又巧妙了：

　　56÷7-5=8-5

　　=3（天）

了多少名女队员？

”

　　如按一般的思考角度，应抓住“女队员人数”去寻找解法和答案。

可是这在小学的知识范围内，显然有一定困难，题目似乎是无法可解的。

但是，只要转换一个角度，从“男队员人数”方面去思考、分析，前景就“柳暗花明了”：

所以男队员人数是

在有的男女队员总数便是

　　于是，转进来的女队员人数便是

　　250-240=10（名）

　　【巧妙替换】有些应用题，已给的条件常出现两种或更多种不同属性的量，并且在不同量之间存在有换算关系。

这时，暂用其中的一种量去替换另一种量，有时候往往会给题目的解答，带来不少方便。

例如

　　“工地用5辆大车和4辆小车一次共运来水泥42.5吨，已知每辆大车比每辆小车多运4吨，每辆大车和每辆小车各运来水泥多少吨？

”

　　题目中有两个未知数，解答起来有一定困难。

但运用替换方法，把4辆小车换成大车，题目的解答就变得比较容易：

　　设每辆小车都多运4吨，那么小车运的吨数就和大车同样多了（也就是将小车都转换为大车了）。

这时，4辆小车就会共增加运量

　　4×4=16（吨）

　　总共运的吨数就会增加到

　　42.5＋16=58.5（吨）。

　　这58.5吨便是（5＋4）辆大车运的水泥数，所以，每辆大车运来的水泥便是

　　58.5÷（5＋4）=58.5÷9

　　=6.5（吨）

　　每辆小车运来的水泥便是

　　6.5-4＝2.5（吨）

　　显然，将大车转换为小车（即将小车去替换大车解题），也是可以的。

　　又如，“买3千克奶糖的钱与买4.8千克水果糖的价钱相等。

买4千克巧克力的钱与买6千克奶糖的钱相等。

那么，买9千克巧克力的钱可买水果糖多少千克？

”

　　题目的条件中没有具体的钱数，可用替换方法去解。

但巧克力与水果糖不能直接替换，需要通过奶糖这一中间的“媒介”去进行替换。

　　解题方法可以是：

（1）6千克奶糖是3千克奶糖的多少倍？

　　6÷3=2（倍）

（2）6千克奶糖可换多少水果糖？

　　4.8×2=9.6（千克）

　　（3）1千克巧克力的钱可买多少水果糖？

　　9.6÷4=2.4（千克）

　　（4）9千克巧克力的钱可以买多少水果糖？

　　2.4×9=21.6（千克）

　　列成综合算式便是

　　4.8×（6÷3）÷4×9=4.8×2÷4×9

　　=9.6÷4×9

　　=21.6（千克）（答略）

　　【巧用等量关系】有些应用题已知条件间的关系比较复杂。

但是，如果能从这些复杂的关系中，找到一种合适的等量关系，则常常可使问题较简捷地解答出来。

这是一种力求寻找和巧用最佳等量关系的解题方法。

例如

　　“甲乙二人需要做同样多的零件数，甲比乙每天多做5个，乙因病中途休息了3天，所以8天后甲做的零件数刚好是乙做的零件数的2倍。

求这时甲乙二人各做的零件个数。

”

　　由题中的条件，可以得到两组等量关系：

　　甲每天做的个数-乙每天做的个数=5………①

　　甲8在做的个数=乙8天后做的个数×2………②

　　设甲每天做x个，则乙每天做（x-5）个；

　　设乙每天做x个，则甲每天做（x+5）个。

　　设元列方程以后，若使用等量关系①，很明显，方程的解答是比较繁琐的，因为分数需要通分。

于是，我们便选择等量关系②来列方程解题：

　　设乙每天做零件x个，则甲每天做零件（x＋5）个。

于是，有方程

　　（x+5）×8=2×（8-3）x

　　进而可知，甲每天做的是20+5=25（个）

　　8天后甲做的是25×8=200（个），

　　8天后乙做的是20×（8-3）=100（个）

　　（答略）

36名学生到乙校学习，则甲乙两校学生人数相等。

甲乙两校原来各有学生多少？

”

　　在题目中，可以找到三组等量关系：

　　甲校原来人数-乙校后来人数=36…………①

　　甲校原来人数-36=乙校原来人数+36…………②

　　经过比较，利用等量关系①列方程解题，显然比较简便：

　　设两校共有x人，可得方程为

　　乙校原有720-396=324（人）（答略）

　　在利用等量关系解题时，有时候通过“单位1”，可以找到最巧妙的解法。

比方下面的这一道工程问题：

　　“一项工程，甲独做24天完成，丙独做40天完成，甲、乙、丙三人合做，10天可以完成。

这项工程如果由乙来独做，多少天可以完成？

”

　　在题目条件中，我们可以得到下面的两组等量关系：

　　乙工效=三人工效和-（甲+乙）的工效…………①

　　乙工效×工时=工作总量…………………………②

　　然后，通过巧用“单位1”，还可找到更好的办法：

　　设乙独做，x天可以完成。

若把整个工程看作“单位1”，那么乙每天

　　所以，其解答就比较简便、快速而巧妙了：

　　设乙单独做，x天可以完成，则有

　　即乙独做30天可以完成。

（答略）

【巧用直觉思维】有些题目的条件和结构比较特殊，常常不需要把全部条件用于计算解题，而只要根据其特殊性，经过一次或两次计算，就能将题目解答出来。

这是“巧用直觉思维”的解法。

例如

　　“从同一个地点步行到火车站，甲要40分钟，乙要30分钟。

甲比乙先走5分钟，乙出发后，要走多少分钟才能追上甲？

”

　　若巧用直觉思维解答，可以这样去思考、解答：

　　甲先走5分钟，他比乙会晚到火车站5分钟。

那么，追及时，应是乙在路程的中心点追上，故可直接用30÷2=15（分钟），求得题目的答案。

（答略）

　　又如，“工厂运来一批煤，计划每天烧3吨，可以烧12天。

实际上每天比原计划节约0.6吨，实际上比原计划可多烧多少天？

”

　　巧用直觉思维，可以这样思考：

实际每天节约煤0.6吨，相当于实际每

　　再如，“有一只底面半径为30厘米的圆柱形水桶，桶中有一段半径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中。

当钢材从水桶中取出时，桶里的水下降了5厘米。

这段钢材有多长？

”

　　按一般方法解，必须先求钢材的体积（即下降的水的体积），再求钢材底面积，然后求钢材的长。

这是很麻烦、很费时的。

若用直觉思维思考、解答，可以设想一下钢材底面积同水面积的关系，再找出钢材长与水面下降部分的关系，便可不用求积，而直接求出钢材的长度：

　　根据水面半径30厘米和钢材底面半径10厘米，可知它们的关系是：

钢

妙的解答方法：

　　5×9=45（厘米）（答略）

【巧妙放缩】有些应用题，由于条件和问题的特殊情况，从直接给出的已知条件中不容易找到简捷的解题途径。

这时，我们不妨把某一个已知条件扩大或缩小一定的倍数，促使其他条件相应地发生变化，由此往往能找到简单的解法。

例如

　　“5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱，如果2元钱可买2.5千克大米，那么8元钱可买多少千克食油？

”

　　按一般方法解答，需要先求出5千克大米的价钱是多少，再求出0.8千克食油的价钱，然后求出每千克食油的价钱，进而才可求出8元钱可买的食油的数量。

　　若采用“放缩方法”，可把其中一个条件放大几倍来思考：

将2元钱买2.5千克大米这一条件放大4倍，可知8元钱可买10千克大米。

因为5千克大米的价钱相当于0.8千克食油的价钱，所以，10千克大米的价钱可买食油0.8×2=1.6（千克），即8元钱可买食油1.6千克。

（答略）

　　有些典型应用题，也可以用“放缩方法”去解答，从而较快、较巧妙地找出它的答案。

例如

　　“鸡兔同笼，共头48个，共足114只。

问：

鸡兔各有多少只？

”

　　如果把鸡和兔的足数缩小2倍，则鸡的足数和头数相等，兔的足数为头数的2倍。

这时，鸡和兔的总足数与总头数（总只数）的差数，就是兔子的只数，故可这样解答：

　　114÷2-48=9（只）……………兔数

　　48-9=39（只）…………………鸡数（答略）

　　上面两例，是单纯用放大，或单纯用缩小的办法解答的。

但有些较复杂的应用题，就既要用“放大法”，又需用“缩小法”，才能使问题正确而快速地解答出来。

　　例如

　　“甲乙两个商店去年平均每月的利润，甲店比乙店多5万元。

已知甲店

元？

”

　　根据这一新条件解题，还难很快发现其数量关系，这时不妨把这个条件再缩小2倍，于是得到

　　这样得到的新条件中，就可以清楚地看出，甲店比乙店每月多的5万元，也就是甲店比乙店多的那个

　　于是，甲店每月的利润数便是

　　乙店每月的利润数便是

　　6.25-5=1.25（万元）（答略）

　　还有比这更复杂一些的问题，可结合其他解法来运用“放缩方法”，使问题得到解答。

例如下面的这道英国名题——“第三牧场的牛数问题（实际上也是个牛顿问题）”：

　　“有三个牧场，场上的牧草长得同样的茂盛和同样的快，它的面积分别

　　二牧场饲养21头牛，可维持9个星期。

假若第三牧场饲养的牛，在该场要维持18个星期，那么，这牧场应养牛多少头？

”（注：

草料是边吃边生长的。

）

　　按照“牛顿问题”的解法来死套，是很难找到解法的。

不过，当我们运用“放缩法”，假定三个牧场面积同样大，这一道在三个牧场牧牛群的复杂题目，就会变成在同一牧场牧牛群的简单题目了。

这是因为题目中已交代：

三牧场牧草同样的茂盛，并且长得同样的快。

倍数），则

　　第一牧场可以有牛

　　第二牧场可以有牛

　　21×（120÷10）=252（头）（仍是9个星期可以吃完）

　　那么，第三牧场是多少头牛18个星期可以吃完呢？

　　这一道用放大了的假定数据编成的题目，还可以改编成一道与它同解的应用题：

　　“有一个牧场，养牛432头，4个星期可以吃完全部草料。

若养牛252头，则9个星期可以吃完全部草料。

如果要在18个星期内吃完这牧场里的全部草料，那么，它应该养牛多少头呢？

（草料是边吃边生长的）”

　　这是一道简单点的“牛顿问题”，可用“牛顿问题”的解法解答如下：

　　因为432头牛4星期吃的草料，等于432×4=1728（头牛一星期吃的草料）

　　252头牛9星期吃的草料，等于

　　252×9=2268（头牛一星期吃的草料）

　　而4星期吃完与9星期吃完，要相差

　　2268-1728=540（头牛一星期吃的草料）

　　显然，这多出的草料，是

　　9-4=5（个星期）

　　之内新长出的草料。

所以，牧场一个星期长出的草料是

　　540÷5=108（头牛一星期吃的草料）

　　因此，这牧场最初有的草料是

　　（432-108）×4=1296（头牛吃一星期的草料）

　　现在，这1296头牛吃一星期的草料，要求能维持18个月，则能饲养的牛数就只能是

　　1296÷18=72（头）

　　但这牧场的草料是不断生长的，还必须用108头牛来吃掉每个星期新长出的草料，所以，能饲养的牛数总共是

　　72＋108=180（头）

　　不过，这还只是假定这牧场为120英亩所得的结果。

实际上第三牧场面积只有24英亩，比假定数缩小了

　　120÷24=5（倍）

　　故第三牧场饲养的牛数，也应比这180头缩小5倍。

于是可知，第三牧场饲养的牛数便是

　　180÷5=36（头）（答略）

　　这道题的解答，显然是得益于“放缩方法”，将复杂题转化为基本题以后，才找到其解答的。