中考数学高频考点之 相似模型探究与提升.docx

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中考数学高频考点之相似模型探究与提升

中考高频考点之”相似模型”探究与提升

在中考题中，相似作为不可或缺的重要知识点，在此,我们对相似的所有模型作一个归纳.

一.典型例题

例1.如图，在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数为______

分析：

主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．

解答：

由旋转的性质可知，∠BAD是旋转角，

AB＝AD，∠ADB＝∠B＝40°，

∠BAD＝100°

例2（2018•宁波）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

【分析】

（1）由题意可知：

CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）

（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：

∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．

【解答】解：

（1）由题意可知：

CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，

∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

由

（1）可知：

∠A=∠CBE=45°，

∵AD=BF，

∴BE=BF，

∴∠BEF=67.5°

二、模型精析

如果仅仅满足于做这两个简单题，那就真的太没意思了，笔者在讲评2道题完，立刻给同学们提了这样个问题，将上两例稍作改变，如下图，你能找出图中所有的全等和相似吗？

分析：

如图，例1中，连接了CE，则可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5，∠6＝∠7＝∠8，根据2角分别相等的两个三角形相似，我们可以确定其中所有的相似三角形．

全等旋转变换一定会产生相似，因此，两个等腰三角形必然相似．

解答：

三.中考真题

1.（2018•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．

=

B．

=

C．

=

D．

=

2.（2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（　　）

A．5B．4C．3

D．2

3.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（　　）

A．①②③B．①C．①②D．②③

4.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：

①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（

﹣1）EF．其中正确结论的个数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

5.（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A．6B．8C．10D．12

6.（2018•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=

AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则

的值为（　　）

A．

B．

C．

D．1

7.（2018•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（　　）

A．CE=

B．EF=

C．cos∠CEP=

D．HF2=EF•CF

8.（2018•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．

（1）求证：

Rt△ABM≌Rt△AND；

（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=

，求tan∠ABM的值．

9.（2018•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：

AC平分∠FAB；

（2）求证：

BC2=CE•CP；

（3）当AB=4

且

=

时，求劣弧

的长度．

10.（2018•上海）已知：

如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．

（1）求证：

EF=AE﹣BE；

（2）联结BF，如课

=

．求证：

EF=EP．

11.（2018•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．

（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．

12.（2018•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．

（1）求证：

AE=BF．

（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．

13.（2018•南充）如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．

（1）求证：

AE=C′E．

（2）求∠FBB'的度数．

（3）已知AB=2，求BF的长．

13.（2018•岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．

（1）如图1，若AB=AC，求证：

CD=2BE；

（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，将

（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求

（用含α的式子表示）．

14.（2018•广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如题图1，连接BC．

（1）填空：

∠OBC=　60　°；

（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？

最大值为多少？